1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1
Leçon 14 Étude d’une fonction du type
0 , 0 , )
( 2
2
+
+ +
= + a d
g ex dx
c bx x ax
f
Exemple 1 : Soit f une fonction définie par
2 1 ) 2
( 2
2
− +
−
= +
x x
x x x
f .
Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(
O;i, j)
.a. Déterminer l’ensemble de définition b. Déterminer les équations des asymptotes
c. Calculer la dérivée f'(x), dresser le tableau de variations et déterminer le sens de variation de f
d. Tracer la courbe Cf et les aymptotes.
Solution
a. 2
1 ) 2
( 2
2
− +
−
= +
x x
x x x
f est définie pour tout x2+x−20
x2+x−2=
(
x+2)(
x−1)
0x−2,x1Donc Df =−−2,1
b. . On a :
−
=
− = +
− +
+
=
− = +
− +
→ −
→ +
− +
0 2 2
1 lim 2
0 2 2
1 lim 2
2 2 0
2 2 1
x x
x x
x x
x x
x x
La droite d’équation x=1 est une asimptote verticale à Cf .
. On a :
−
− =
− = +
− +
+
− =
− = +
− +
− +
→
− −
→
− +
0 1 2
1 lim 2
0 1 2
1 lim 2
2 2 2
2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x
La droite d’équation x=−2 est une asimptote verticale à Cf .
. On a :
− = +
− +
− = +
− +
−
→
+
→
2 1 1 lim 2
2 1 1 lim 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x
La droite d’équation y =1 est une asimptote horizontale à Cf .
c.
2 2 2 2) 2 (
) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 (
) 2 2 ) ( ( ' , 1 ,
2 + −
+
− +
−
− +
= +
−
−
x x
x x
x x
x x x
f x
2 2
2 2 3 2
2 3
) 2 (
) 1 2 2 4 2
( ) 4 2 2 4 2 2 ) ( (
' + −
−
− + + +
−
− + +
−
= +
x x
x x x x x x
x x x x x
f
(
xx xx)
x Dfx x
x x x
f
− +
+
− +
− = +
−
−
= − 0,
2 3 2 )
2 (
3 ) 2
(
' 2
2 2 2
2 2
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2
Donc f est une fonction décroissante sur Df . Cette fonction n’admet pas d’extêmums.
d.
Exemple 2 : Soit f une fonction définie par
1 1 3 ) 2
( 2
2
+ +
+
= −
x x
x x x
f .
Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(
O;i, j)
.a. Déterminer l’ensemble de définition b. Déterminer les équations des asymptotes
c. Calculer la dérivée f'(x), dresser le tableau de variations et déterminer le sens de variation de f
d. Tracer la courbe Cf et les aymptotes.
Solution
a. 1
1 3 ) 2
( 2
2
+ +
+
= −
x x
x x x
f , x2+x+10. Donc Df =
b. . On a :
+ = +
+
− + = +
+
−
−
→
+
→
1 2 1 3 lim 2
1 2 1 3 lim 2
2 2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x
La droite d’équation y =2 est une asimptote horizontale à Cf .
c. 2 2
2 2
) 1 (
) 1 3 2 ( ) 1 2 ( ) 1 (
) 3 4 ) ( ( '
, + +
+
− +
− + +
= −
x x
x x x
x x x x
f x
2 2
2 2
3 2
2 3
) 1 (
) 1 3 2 2 6 4 ( ) 3 3 3 4 4 4 ) ( (
' + +
+
− + +
−
−
−
−
− +
= +
x x
x x x x x x
x x x x x
f
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
2 3 4
-1 -2 -3
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3
2 2
2
) 2 (
4 2 ) 5
(
' + −
−
= +
x x
x x x
f
0 4 2 5 0 ) (
' x = x2+ x− =
f , '=1+20=21 et
5 21 1
1
−
=−
x ,
5 21 1
2
+
= − x x −
5 21 1−
−
5 1+ 21
− + '
f + − +
f
. f'(x)0 sur
− + +
− − − ,
5 21 1 5
21
, 1 donc f(x) est croissante sur
− + +
− − − ,
5 21 1 5
21 , 1
. f'(x)0 sur
− − − + 5
21 , 1
5 21
1 donc f(x) est décroissante sur
− − − + 5
21 , 1
5 21
1 .
Cette fonction a pour : . maximum en
5 21 1−
= −
x :
− −
= 5
21
max f f 1 .
. minimum en
5 21 1+
= −
x :
− +
= 5
21 min f f 1
d.
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
2 3 4 5 6
-1
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4
Exemple 3 : Soit f une fonction définie par
3 2 ) 1
( 2
2
−
− +
= +
x x
x x x
f .
Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(
O;i, j)
.a. Déterminer l’ensemble de définition b. Déterminer les équations des asymptotes
c. Calculer la dérivée f'(x), dresser le tableau de variations et déterminer le sens de variation de f
d. Tracer la courbe Cf et les aymptotes.
Solution
a. 2 3
) 1
( 2
2
−
− +
= +
x x
x x x
f est définie pour tout x2−2x−30
(
x+1)(
x−3)
0. Donc Df =−−1,3b. On a : On a :
+
=
− =
− + +
−
=
− =
− + +
− +
→
− −
→
− +
0 1 3 2 lim 1
0 1 3 2 lim 1
2 2 1
2 2 1
x x
x x
x x
x x
x x
La droite d’équation x=−1 est une asimptote verticale à Cf .
. On a :
−
=
− =
− + +
+
=
− =
− + +
→ −
→ +
− +
0 13 3 2 lim 1
0 13 3 2 lim 1
2 2 3
2 2 3
x x
x x
x x
x x
x x
La droite d’équation x=3 est une asimptote verticale à Cf .
. On a :
− =
− + +
− =
− + +
−
→
+
→
3 1 2 lim 1
3 1 2 lim 1
2 2 2
2
x x
x x
x x
x x
x
x
La droite d’équation y =1 est une asimptote horizontale à Cf .
c. 2 2 2 2
) 3 2 (
) 1 (
) 2 2 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ) ( ( ' , 3 ,
1 − −
+ +
−
−
−
−
= +
−
−
x x
x x x x
x x x
f x
2 2
2 2
3 2
2 3
) 3 2 (
) 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 6
4 2 ) ( (
' − −
−
−
− + +
−
−
− +
−
= −
x x
x x x x x x
x x x x x
f
2 2
2
) 3 2 (
1 8 ) 3
(
' − −
−
−
=−
x x
x x x
f
0 1 8 3 0 ) (
' x = − x2− x− =
f , '=16−3=13
3 13 4 3
13 4
1
+
=−
−
= −
x ,
3 13 4 3
13 4
2
−
= −
−
= + x
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 5 x −
3 13 4−
− −1
3 13 4+
− 3 + '
f − + + − − f
. f'(x)0 sur
− − +
− − −
3 13 , 4
1 1
3 , 13
4 donc f(x) est croissante sur
− − +
− − −
3 13 , 4
1 1
3 , 13 4
. f'(x)0 sur
+
− +
− −
− ,3 3,
3 13 4 3
13
, 4 donc f(x) est
décroissante sur
+
− +
− − − ,3 3,
3 13 4 3
13 , 4
Cette fonction a pour : . maximum en
3 13 4+
= −
x :
− +
= 3
13
max f f 4 .
. minimum en
3 13 4−
=−
x :
− −
= 3
13 min f f 4
d.
2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
0 1
1
x y
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 6
Exercices Pour chacune des fonctions suivants :
a. Déterminer l’ensemble de définition b. Déterminer les équations des asymptotes
c. Calculer la dérivée f'(x), dresser le tableau de variations et déterminer le sens de variation de f en déduire les extrêmums.
d. Tracer la courbe Cf et les aymptotes.
1. 2 3 1
1 ) 2
( 2
2
+
−
− +
= +
x x
x x x
f
2. 2
4 3 ) 2
( 2
2
− +
+
= −
x x
x x x
f
3. 3
1 2 ) 5
( 2
2
− +
+
= +
x x
x x x
f
4. 2 1
5 4 ) 2
( 2
2
+
− +
= −
x x
x x x
f
5. 5 4
12 ) 3
( 2
2
+
− +
= +
x x
x x x
f
