A718. La balance du moindre effort
On dispose d’un très grand nombre de pièces de même apparence, les unes pesant 10 grammes et les autres pesant 9 grammes, que l’on répartit par piles de 24 pièces toutes de même poids. On choisit six piles parmi lesquelles il y a un nombre inconnu N de piles de 24 pièces de 10 grammes (N = 0 ou 1 ou 2 ...ou 6). On vous demande d’identifier les piles selon le poids des pièces qu’elles contiennent, en effectuant des pesées avec une balance de votre choix. Comme vous êtes partisan de la loi du moindre effort, vous prenez une balance électronique qui mesure le poids en grammes d’une collection quelconque d’objets. Quel est le nombre minimum de pesées qui vous permet de résoudre l’énigme ? Pour les adeptes d’un plus grand effort : même question avec un trébuchet qui se substitue à la balance électronique.
Nota : on suppose que la balance électronique comme le trébuchet ont les mêmes qualités : justes, sensibles, précises, fidèles,....
Solution de Jean Nicot
1-Il est aisé de déterminer les poids en 2 pesées, avec la pesée de 1, 2 et 4 pièces de chacune des trois premières piles et une seconde pesée similaire avec les piles restantes.
Pour réussir en une pesée unique, il faut élargir la plage des valeurs possibles, donc utiliser des valeurs fortes à prendre dans les 6 piles.
On utilise alors 24, 23 et 22.
21 est à éviter car 21+24=22+23. Mais on peut utiliser 20.
19 est à éviter (19+24=20+23) ainsi que 18 (18+24=20+22). Mais on peut utiliser 17.
16 est à éviter (16+24=17+23), 15 aussi (15+24=17+22), 14 aussi (14+23=17+20), 13 également (13+24=17+20) , 12 encore (12+23+24=17+20+22). Mais on peut utiliser 11.
Il est facile de vérifier que les sommes des éléments de tous les sous-ensembles de ( 11 ; 17 ; 20 ; 22 ; 23 ; 24) sont toutes différentes. Une pesée avec ces nombres de pièces prises respectivement dans chacune des 6 piles donnera une valeur de 1153 à 1170 g. L’écart avec 1170 sera la somme des éléments appartenant aux piles légères.
2-Avec un trébuchet, sans disposer de poids marqués, on peut seulement comparer deux tas de pièces. On notera a, b, c, d, e, f une pièce de chacune des 6 piles.
On compare a+b+c+d+e à 5f. Si inégalité : cela donne le poids de f et il faut une pesée supplémentaire.
Si égalité : toutes ont le même poids. On le détermine en comparant la totalité des 6 piles à 144 pièces prises dans 144 piles différentes. On recommence si égalité, avec au plus les 150 piles utilisées comparées à une pièce de 3600 autres piles, si on dispose de suffisamment de piles et si le trébuchet est robuste ; cela termine l’expérimentation.
On compare a+b+c+d à 4e. Si égalité : a b c d e ont le même poids, contraire à celui de f et on a terminé.
Si inégalité : cela donne le poids de e et il faut une pesée supplémentaire.
On compare a+b+c à 3d. Si égalité : a b c d ont le même poids, contraire à celui de e et on a terminé.
Si inégalité : cela donne le poids de d et il faut une pesée supplémentaire.
On compare a+b à 2c. Si égalité : a b c ont le même poids, contraire à celui de d et on a terminé.
Si inégalité : cela donne le poids de c et il faut une pesée supplémentaire.
On compare a à b. Si égalité : a b ont le même poids, contraire à c. Si inégalité : on obtient les poids de a et b.
Il faut au maximum cinq pesées.
