A718. La balance du moindre effort
On dispose d’un très grand nombre de pièces de même apparence, les unes pesant 10 grammes et les autres pesant 9 grammes, que l’on répartit par piles de 24 pièces toutes de même poids. On choi- sit six piles parmi lesquelles il y a un nombre inconnu N de piles de 24 pièces de 10 grammes (N = 0 ou 1 ou 2 ...ou 6). On vous demande d’identifier les piles selon le poids des pièces qu’elles con- tiennent, en effectuant des pesées avec une balance de votre choix. Comme vous êtes partisan de la loi du moindre effort, vous prenez une balance électronique qui mesure le poids en grammes d’une collection quelconque d’objets. Quel est le nombre minimum de pesées qui vous permet de résoudre l’énigme?
Pour les adeptes d’un plus grand effort : même question avec un trébuchet qui se substitue à la ba- lance électronique.
Nota : on suppose que la balance électronique comme le trébuchet ont les mêmes qualités : justes, sensibles, précises, fidèles,....
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Dans la suite on nomme A, B, C, D, E, F les six sacs.
Pour ce qui concerne le trébuchet on remarquera que si on a donné à Zig 6 piles légères et à Puce six piles lourdes, pour tout choix des pièces à peser fait par Zig le choix analogue fait par Puce donne un résultat identique; aucun espoir, donc, de s’en sortir avec un trébuchet. Par ailleurs le cas
« homogène » (tous les sacs sont lourds, ou tous sont légers) est le seul qui pose des problèmes: si une au moins entre et est remplie, le trébuchet peut accomplir le travail. Par exemple on commencera comparer 15 pièces prises dans A contre une pièce de B plus deux pièces de C plus quatre pièces de D plus huit pièces de E…
Pour ce qui concerne la balance électronique l’analyse est plus compliquée. L’approche classique à ce type de problème consiste à minimiser au fur et à mesure le nombre de pièces que l’on choisit dans chaque sac; donc une seule pièce du sac A, deux du sac B, quatre de C (trois seules
donneraient lieu à une ambiguïté!) et ainsi de suite: huit de D, seize de E et … trente-deux de F, choix malheureusement impossible.
Admettant pour l’instant que F contient 32 pièces, on pèserait les 63 pièces ainsi choisies et, pour obtenir la solution, il suffirait de soustraire la valeur 561=9*63 du résultat; ce qui correspond à travailler avec pièces «légères» de poids nul et pièces «lourdes» de poids unitaire. La différence obtenue, écrite en base 2, fournit la solution, chaque bit 0 correspondant à un sac léger, chaque bit 1 à un sac lourd.
Apparemment donc, lorsqu’on a 28 pièces dans chaque sac, on a besoin de deux pesées (par exemple l’une avec 1, 2, 4, 8, 16 pièces tirées respectivement de A, B, C, D, E; l’autre qui mesure une seule pièce du sac F). Rien de plus faux !!!
En fait un petit programme montre qu’une seule pesée suffit: par exemple on peut choisir les quantités (1, 2, 12, 10, 24, 28) et les 64 résultats correspondants aux 64 possibles choix des sacs sont tous différents.
En réalité la famille des pesées suffisantes en un seul coup à donner la réponse est très nombreuse:
les pesées qui, comme dans le cas déjà vu de (11, 17, 20, 22, 23, 24), sont 264; mais on trouve aussi 52 pesées qui utilisent 27 pièces comme choix maximum, 41 pesées qui utilisent 26 pièces comme choix maximum, 11 pesées qui utilisent 25 comme choix maximum et finalement l’unique pesée (11, 17, 20, 22, 23, 24) lorsque les sacs contiennent seulement 24 pièces; par contre il n’existe pas de solutions en une seule pesée dès que les sacs contiennent 23 pièces au plus.
On doit donc se demander: qu’est-ce qu’on est en train de minimiser lorsqu’on considère des solutions du type (1, 2, 4, …) ? La réponse est simple mais, comme on verra, elle pose à son tour un problème plus général auquel je ne suis pas capable de donner une solution.
Précisément, on rappelle qu’à toute balance on peut associer une portée, à savoir un poids
maximum, au-delà duquel la balance n’est plus fiable (dans le meilleur des cas, si elle ne se casse pas). Lorsque sacs contiennent suffisamment de pièces, le choix minimise la portée de la balance suffisant à résoudre le problème avec une seule pesée. Dans notre cas, si les sacs contenaient 32 pièces (au moins!), une balance de portée 63*10 grammes suffirait; par ailleurs une balance de portée 1Kg ne suffit pas si les sacs contiennent seulement 24 pièces (le seul choix possible (11, 17, 20, 22, 23, 24) demandant une portée de au moins 1170 grammes) tandis que, ayant à disposition sacs avec 28 pièces, le choix (1, 2, 12, 10, 24, 28) marche bien.
Le cas où les sacs contiennent suffisamment de pièces mis à part, je ne connais aucun résultat relatif à la minimisation de la portée. Par exemple la propriété «plus on a de pièces, plus petite est la portée nécessaire» est fausse: parfois avoir des pièces supplémentaires ne modifie pas la portée nécessaire: la table suivante montre le meilleur choix (meilleur du point de vue du nombre total de pièces utilisées) dans le cas de 6 sacs, contenant chacun n pièces (n allant de 24 à 32):
Pièces Meilleur choix Total 24 (11, 17, 20, 22, 23, 24) 117 25 (3, 6, 12, 23, 24, 25) 93 26,27 (1, 6, 12, 22, 24, 26) 91 28,29,30,31 (1, 2, 12, 10, 24, 28) 87 32 (1, 2, 4, 8, 16, 32) 63
En particulier, si les sacs contiennent 27 pièces, on ne doit pas chercher de utiliser toutes les 27 pièces d’un des sacs: on aboutirait à (1, 6, 12, 23, 25, 27) comme meilleur choix, soit un total de 94, au lieu de 91.
