A718 : La balance du moindre effort
On dispose d’un très grand nombre de pièces de même apparence, les unes pesant 10 grammes et les autres pesant 9 grammes, que l’on répartit par piles de 24 pièces toutes de même poids.On choisit six piles parmi lesquelles il y a un nombre inconnu N de piles de 24 pièces de 10 grammes (N = 0 ou 1 ou 2 ...ou 6). On vous demande d’identifier les piles selon le poids des pièces qu’elles contiennent, en effectuant des pesées avec une balance de votre choix.Comme vous êtes partisan de la loi du moindre effort,vous prenez une balance électronique qui mesure le poids en grammes d’une collection
quelconque d’objets. Quel est le nombre minimum de pesées qui vous permet de résoudre l’énigme ? Pour les adeptes d’un plus grand effort : même question avec un trébuchet qui se substitue à la balance électronique.
Nota : on suppose que la balance électronique comme le trébuchet ont les mêmes qualités : justes,sensibles, précises,fidèles,....
Avec une balance électronique, une pesée suffit, en prenant un certain nombre de pièces dans chaque pile ; on est, en effet ramené au problème suivant : trouver six nombres tels que les sommes de un à six d’entre eux soient toutes distinctes. La solution la plus naturelle serait de prendre des puissances d’un même nombre, 2 par exemple, mais cela est impossible, puisque l’on ne dispose que de 24 (<32) pièces par pile. En partant de 24, et en construisant une suite décroissante, on trouve que les nombres 24, 23, 22, 20, 17 et 11 conviennent.
En l’absence de poids de référence, le trébuchet ne permet pas de distinguer les deux cas où toutes les pièces sont identiques (soit N=0 ou 6), donc de résoudre l’énigme, quel que soit le nombre des pesées. Hormis ce cas, quatre pesées (81 résultats possibles) permettent de connaître le poids des pièces de chaque pile (que nous noterons a,b,c,d,e,f, avec 64 combinaisons possibles) : mettons sur un plateau 2a, sur l’autre b+c ; puis une deuxième pesée avec 2d face à e+f.
Si les deux pesées sont équilibrées a=b=c, d=e=f et il suffit d’une troisième pesée (a face à d par exemple) pour savoir si l’on est, ou non, dans le cas indéterminé.
Si les deux pesées sont déséquilibrées, on connait a et d, et on pèse b face à c et e face à f pour les identifier (en cas d’égalité, ils sont differents de a ou d).
Enfin, si une seule pesée est déséquilibrée, on compare les pièces du second
plateau, puis une pièce du premier plateau à l’une des pièces de la pesée équilibrée.
