A717. La pesée de Léonard
Mettons dans chaque plateauppièces où 16p650.S’il y a déséquilibre, alors le côté le plus lourd contient au plus 1 fausse pièce parmip.En les comparant lors d’une deuxième pesée (quitte à en éliminer une sipest impair) il est ainsi possible de déterminer au plusp
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bonnes pièces.
Considérons à présent l’égalité en première pesée. Transférons q = 100−3p pièces (où 16q 6p−1, ce qui nécessite 266p633) du plateau de gauche (G) vers celui de droite (D) qui en contient désormaisp+q= 100−2ppièces, et remplaçons lesp−q= 4p−100 pièces restantes à gauche par les 100−2pnon encore pesées. Examinons les différents cas selon le nombre de fausses pièces par tas : pour un même résultat de pesée, nous choisirons toujours le ou les mêmes tas, ne devant jamais contenir de fausse pièce (0).
p−q q p G: 100−2p GvsD D:p+q Pièces
0 0 0 4 < 0 q
1 0 1 2 < 1 q
0 1 1 2 = 2 p−q
2 0 2 0 > 2 100−2p
1 1 2 0 > 3 100−2p
0 2 2 0 > 4 100−2p
Puisquep−q < p+q= 100−2p,nous cherchons alorsm= max
q min{q, p−q}. D’oùm= max
p min{100−3p,4p−100}= max{12,13}= 13.
En particulier avecp= 28,nous déterminons 12 bonnes pièces.
Mais avecp= 29,nous faisons mieux avec 13 bonnes pièces.
Au prix d’une variante consistant à ajouter 1 pièce supplémentaire àG et D, nous arrivons à 14 bonnes pièces, sans savoir toutefois montrer qu’il s’agisse bien du maximum.
1 q= 14 14 29 42 G: 42 + 1 GvsD D: 29 +q Pièces
0 0 0 0 4 4 < 0 q
1 0 0 1 2 3 < 1 q
0 1 0 1 2 2 = 2 14
0 0 1 1 2 2 < 1 q
1 1 0 2 0 1 > 3 42
1 0 1 2 0 1 > 2 42
0 1 1 2 0 0 > 3 42
0 2 0 2 0 0 > 4 42
0 0 2 2 0 0 > 2 42
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