A717 : La pesée de Léonard
Parmi cent pièces, quatre sont fausses. Ces dernières ont toutes le même poids et sont plus légères que les bonnes pièces, elles mêmes de poids identiques. Comment identifier au moins douze bonnes pièces à l’issue de deux pesées faites avec une balance Roberval à deux plateaux ?
Pour les plus courageux : quel est le nombre maximum de bonnes pièces que l’on peut identifier avec deux pesées ?
Divisons l’ensemble des pièces en trois sous-ensembles A, B, C contenant
respectivement 2m, 2m et n=100-4m pièces. Posons A et B sur chaque plateau de la balance :
- si la balance ne s’équilibre pas, par exemple A>B, il y a donc au moins une fausse pièce de plus dans B que dans A, donc il y a au plus une fausse pièce dans A. En partageant A en deux plateaux de m pièces, on obtient soit l’équilibre ( chaque plateau est composé de vraies pièces) soit un déséquilibre ( le plateau supérieur est composé de vraies pièces): dans chaque cas on a identifié au moins m vraies
pièces.
- si la balance s’équilibre A=B, les ensembles A et B contiennent le même nombre (0, 1 ou 2) de fausses pièces, et C en contient donc un nombre pair (respectivement 4, 2 ou 0). Choisissons un sous-ensemble D de n-2m=100-6m pièces issues de B que nous ajoutons à A pour former un ensemble de n pièces, et mettons l’ensemble C sur l’autre plateau. Si nous avons équilibre (A+D=C), c’est qu’il y avait une fausse pièce dans chaque ensemble A et B, donc 2 dans C, et que la fausse pièce de B appartient à D. L’ensemble B-D ne contient que des vraies pièces, au nombre de 8m-100. Si A+D<C, C ne peut avoir ni 4 ni 2 fausses pièces, car A+B, donc A+D ne peut en avoir plus, donc C ne contient que des vraies pièces, au nombre de
n=100-4m. Enfin, si A+D>C, C contient 2 ou 4 fausses pièces ; si C en contient 2, A et B en contiennent une chacun, et A+D n’en contient qu’une, donc D n’en contient pas ; si C en contient 4, A et B, donc D n’en contiennent pas : dans tous les cas, D est composé de vraies pièces au nombre de n-2m=100-6m.
Cette méthode permet donc d’identifier un nombre de vraies pièces au moins égal au minimum de m, 8m-100, 100-4m et 100-6m. Pour m=14, ce minimum est égal à 12.
Peut-on faire mieux?
