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D1920 – La saga de l’angle de 60° (3

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Academic year: 2022

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D1920 – La saga de l’angle de 60° (3

ième

épisode)

Problème proposé par Dominique Roux

Trouver tous les triangles scalènes dont l’un des angles vaut 60° et dont les dimensions des côtés sont des nombres entiers de centimètres, l’une d’elles étant égale à 2011 cm.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

D’après le théorème de Carnot le problème se réduit à une équation diophantienne dans les inconnues (mesures en cm des deux autres côtés); équations qu’on peut par exemple résoudre à l’aide de la calculette de Dario Alpern. On a deux cas:

 Si l’angle de 60° est adjacent au côté de mesure 2011, les valeurs doivent

satisfaire l’équation (ou l’analogue avec et

échangés) dont les solutions positives sont [2301,1421] et [2301,880] (le couple [2011,2011] ne correspond pas à un triangle scalène).

 Si l’angle de 60° est opposé au côté de longueur 2011, les valeurs doivent satisfaire l’équation dont (ordre à part, et triangle équilatéral exclus) les solutions positives sont [2301,1421] et [2301,880].

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