• Aucun résultat trouvé

87 page 144

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "87 page 144"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

TS:DM5 Correction 2017-2018

60 page 192

Soient f la fonction définie sur [0;π2] par f(x) = cos(x) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On noteAle point de coordonnées (1; 0) et, pourx∈[0;π2], on noteM le point d’abscissexdeC.

L’objectif du problème est de déterminer s’il existe une valeur de xtelle que la distance AM est minimale.

1. Grâce à l’animation Geogebra, on peut conjecturer une distance minimale d’environ 0,4.

2. On note g(x) la distanceAM2en fonction dex.

(a) A(1; 0) etM(x; cos(x)) donc

AM2= (xMxA)2+ (yMyA)2= (x−1)2+ (cos(x)−0)2 et g(x) =x2−2x+ 1 + cos2(x).

g est une fonction dérivable surRet on obtient : g(x) = 2x−2−2 sin(x) cos(x) =

f orm.trigo2x−2−sin(2x).

(b) g est également dérivable surRet,

g′′(x) = 2−2 cos(2x) = 2(1−cos(2x))

cos(2x)<1 sur ]0;π2[ doncg′′(x)>0 sur ]0;π2[ etg est strictement croissante sur [0;π2].

(c) Par ailleursg est continue sur [0;π2].g(0) =−2 etg(π2) =π−2 etπ−2>0.

Ainsi 0 est une valeur de [−2;π−2] donc d’après le théorème de la bijection l’équation g(x) = 0 admet une unique solutionα.

À la calculatrice, 1,27< α <1,28 carg(1,27)<0 etg(1,28)>0.

(d) On peut résumer le signe de g(x) de la façon suivante :

• Pour toutxappartenant à [0;α[, g(x)<0 ;

g(α) = 0 ;

• Pour toutxappartenant à ]α;π2[, g(x)>0 ;

(e) On en déduit le tableau de variations de la fonctiong : x

Signe deg(x) Variations de g

0 α π2

− 0 +

22

g(α) g(α)

π 2 −1

π 2 −1

g(α) est le minimum de g sur [0;π2], donc p

g(α) est le minimum de pg(x) =AM. La valeur αdonne donc le minimum de la longueurAM.

x y

M 1

1 A

π

O 2

bc bc

bc

• • •

My Maths Space 1 sur 3

(2)

TS:DM5 Correction 2017-2018

89 page 145

On place, dans un four chauffé à 180˚, un gâteau à température ambiante (20˚) à l’instantt= 0 (test exprimé en minutes).

On admet que la température du gâteau est donnée par la fonction de la forme f(t) = 180−keλt, oùket λsont deux réels strictement positifs 1. L’énoncé précise quef(0) = 20⇔180−keλ×0= 20⇔k= 160.

2. La fonctionf est dérivable sur [0; +∞[ et pour toutt>0 : f(t) =kλeλt= 160λeλt

Or, l’écart de température entre le gâteau et le four estf(t)−180, c’est à dire−160eλt. Ainsi, on obtient :f(t) =−λ(f(t)−180), c’est à dire le résultat attendu.

3. On constate qu’au bout de 20 minutes, la température initiale du gâteau a doublé : f(20) = 40⇔180−160eλ×20= 40⇔e−20λ= 140

160= 7

8 ⇔ −20λ= ln(78)

λ=−1

20ln(78)≈0,3744 à 10−4près

4. f(t) ne s’annule pas et f(t) > 0 pour t > 0 donc f est stricteemnt croissante sur [0; +∞[.

t→+∞lim eλt= 0 carλ >0 donc lim

t→+∞f(t) = 180 par opérations sur les limites. Le tableau de variations est laissé à la sagacité du lecteur.

5. Au bout de combien de temps la température du gâteau a-t-elle atteint 150˚ : on résout f(t) = 150,

180−keλt= 150⇔keλt= 30⇔eλt= 3

16⇔ −λt= ln(163)⇔t=−1

λln(163)≈4,47 soit environ 4,47 minutes.

Cf

O 1

150

4.47 180

bc

bcbc bcbc

bc

• • •

87 page 144

Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = 1 1 + e−3x. 1. f est de la forme 1

u avecu:x7→1 + e−3x.uest dérivable surRet ne s’annule pas surRdoncf est dérivable et f=−u

u2. De plus,u:x7→ −3e−3x.

Finalement, pour toutxréel :f(x) = e−3x

(1 + e−3x)2. Comme e−3x >0 et le dénominateur également,f(x)>0 surRet donc la fonctionf est strictement croissante surR.

My Maths Space 2 sur 3

(3)

TS:DM5 Correction 2017-2018

2. On cherche la limite en +∞def : lim

x→+∞e−3x= 0 et par opérations sur les limites, lim

x→+∞f(x) = 1 et la courbe def admet une asymptote horizontale ∆ d’équationy= 1.

3. Écrire un algorithme avecAlgoBoxou enPythonqui affiche le plus petit entier positifntel quef(n)>0,99 : Il est naturel de se poser cette question puisque f(x) tend vers 1 lorsque x tend vers +∞. f(x) > 0,999 ⇔ 1−f(x)<0,001quantité qui intervient dans la définition de la limite.

My Maths Space 3 sur 3

Références

Documents relatifs

Montrer qu'il n'existe pas de fonction périodique qui di- verge vers +∞ en +∞.. Donner un exemple de fonction périodique

Montrer qu'une fonction somme d'une fonction croissante et d'une fonction dé- croissante est à variations bornées.. On suppose que V f ([a, b]) contient un

Cette expression est appel´ ee formule des diff´ erences divis´ ees de Newton du polynˆ ome d’interpolation.. Th´ eor`

[r]

[r]

Il n'y a pas de solutions car un carré est toujours

[r]

[r]