TS:DM5 Sujet 2017-2018
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Soient f la fonction définie sur [0;π2] parf(x) = cos(x) etCsa courbe représentative dans un repère orthonormé. On note A le point de co- ordonnées (1; 0) et, pourx∈[0;π2], on noteM le point d’abscissexdeC.
L’objectif du problème est de déterminer s’il existe une valeur de xtelle que la distance AM est minimale.
1. Conjecturer la réponse au problème à l’aide d’un logiciel de géo- métrie dynamique.
2. On note g(x) la distanceAM2en fonction dex.
(a) Montrer queg′(x) = 2x−2−sin(2x).
(b) En calculant la dérivée deg′, que l’on noteg′′, montrer queg′ est croissante sur [0;π2].
(c) En déduire que l’équationg′(x) = 0 admet une unique solution αdont on donnera un encadrement à 10−2près.
(d) Trouver le signe deg′(x) sur [0;π2].
(e) En déduire la réponse au problème.
x y
M 1
1 A
π
O 2
bc bc
bc
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On place, dans un four chauffé à 180◦, un gâteau à température ambiante (20◦) à l’instant t= 0 (test exprimé en minutes).
On admet que la température du gâteau est donnée par la fonction de la forme f(t) = 180−ke−λt, oùket λsont deux réels strictement positifs 1. En utilisant la température initiale du gâteau, déterminer la valeur de k.
2. Montrer que la vitesse d’accroissement de la température est proportionnelle à l’écart de température entre le gâteau et le four.
3. On constate qu’au bout de 20 minutes, la température initiale du gâteau a doublé.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de λà 10−4 près.
4. Dresser le tableau de variations de la fonction f. Quelle est la température limite du gâteau ?
5. Au bout de combien de temps la température du gâteau a-t-elle atteint 150◦?
Aide : soita∈Retb >0 : ea=b⇔a= ln(b)
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Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = 1 1 + e−3x.
1. Démontrer que la fonctionf est strictement croissante surR.
2. Démontrer que la courbe def admet une asymptote horizontale ∆ dont on précisera l’équation.
3. Écrire un algorithme avecAlgoBoxou enPythonqui affiche le plus petit entier positifntel quef(n)>0,99.
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