Spé Travail maison 2 2011-2012
EXERCICE 1 :
Pour deux entiers relatifs aetb, on dit quea est congru àb modulo 7, et on écrita≡b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatifktel que a=b+ 7k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances (a) Soienta, b, cet ddes entiers relatifs.
Démontrer que : sia≡b mod 7 etc≡d mod 7 alorsac≡bd mod 7.
(b) En déduire que : pouraetb entiers relatifs non nuls
sia≡b mod 7 alors pour tout entier natureln, an≡bn mod 7.
2. Poura= 2 puis poura= 3, déterminer un entier naturelnnon nul tel quean≡1 mod 7.
3. Soitaun entier naturel non divisible par 7.
(a) Montrer que :a6≡1 mod 7.
(b) On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le resterde la division euclidienne de 6 parkvérifiear≡1 mod 7.
En déduire quek divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles dek?
(c) Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiersacompris entre 2 et 6.
4. À tout entier natureln, on associe le nombre
An= 2n+ 3n+ 4n+ 5n+ 6n Montrer queA2006≡6 mod 7.
EXERCICE 2 :
1. On considère l’équation (E) :
109x−226y= 1 oùxet y sont des entiers relatifs.
(a) Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?
(b) Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141 + 226k,68 + 109k), oùkappartient àZ.
En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nuldinférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nuletels que 109d= 1 + 226e. (On précisera les valeurs des entiersdete.)
2. Démontrer que 227 est un nombre premier.
3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturelsatels quea6226.
On considère les deux fonctionsf et gde A dans A définies de la manière suivante :
• à tout entier de A,f associe le reste de la division euclidienne dea109 par 227.
• à tout entier de A,g associe le reste de la division euclidienne dea141 par 227.
(a) Vérifier que g[f(0)] = 0.
On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
Si pest un nombre premier et a un entier non divisible parpalors ap−1≡1 modulop.
(b) Montrer que, quel que soit l’entier non nulade A,a226≡1 [modulo 227].
(c) En utilisant1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nulade A. g[f(a)] =a.
Que peut-on dire def[(g(a)] =a?
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