3) a) Déterminer l’intégrale Z 1 −2 f(x)dxà l’aide de F

(1)

Intégrale d’une fonction : Exercices Int´egrale et aire

On consid`ere la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B.

1) D´eterminer l’expression def(x).

2) En déduire une primitive F def. 3) a) Déterminer l’intégrale

Z 1

−2

f(x)dx`a l’aide de F.

En d´eduire l’aire du domaine vert.

b) D´eterminer l’aire du domaine vert d’une autre fa¸con.

Int´egrale et aire

On a trac´e la courbe d’une fonctionf d´efinie sur [-4 ;2].

Sur [-2 ;0], la courbe est un demi-cercle.

1) D´eterminer Z −2

−4

f(x)dx, puis Z 0

−2

f(x)dx, puis Z 2

0

f(x)dx 2) En d´eduire

Z 2

−4

f(x)dx

Calcul intégral - Intégrale d’un polynôme-xⁿ Calculer les intégrales suivantes :

a) Z 2

−1

2x⁵−x²−1 dx b) Z −1

0

(1−t²)(2 + 3t)dt c) Z 5

2

3dx d)

Z 3

−1

1 n dx

Int´egrale et primitive d’un quotient- u⁰ Calculer les int´egrales suivantes : u

a) Z 1

0

1

1 + 2xdx b)

Z e

1

6x²+ 4x−1

x dx c)

Z 1

0

x²

1 +x³dx d) Z 4

1

1 3t− 3

t²dt

Int´egrale et primitive avec des exponentielles ou des racines-u⁰e^u - u⁰

√u Calculer les int´egrales suivantes :

a) Z 1

0

e^−x+ 6

e^2xdx b) Z 2

−1

xe^−x²dx c) Z 4

0

√ 3

2x+ 1dx

Intégrale et primitive d’un quotient- u⁰ Calcul intégral avec un quotient de polynôme :u

1) ´Etudier suivant les valeurs du r´eelx, le signe dex²+ 2x+ 5.

2) En d´eduire la valeur de Z 1

−2

x+ 1 x²+ 2x+ 5dx

(2)

Int´egrale et primitive

Calculer les int´egrales suivantes : a)

Z −2

−4

x−1dx b)

Z 2

5

1

2x+ 1dx c)

Z 1

−2

e^2t−1dt d) Z 1

0

x²+x−1

4 dx

e) Z 1

−1

e^x

e^x+ 1dx f) Z 3

0

1

(2x+ 1)²dx g) Z ^π₂

0

sin(2x)dx h)

Z 3

1

t²−2t+ 3 t dt

Int´egrale et aire

On a trac´e la courbe de la fonctionf d´efinie sur ]0; +∞[ parf(x) = 1 x.

On a tracé également les courbes des fonctionsg ethdéfinies sur [0; +∞[ parg(x) =x² eth(x) =x.

1) D´eterminer l’aire du domaine rose.

2) D´eterminer l’aire du domaine bleu.

3) D´eterminer l’aire du domaine vert.

(3)

Int´egrale et aire entre deux courbes

On a représenté les courbes des fonctionsf etg définies surRpar : f(x) = (1−x)(x−3) etg(x) = 2x−3.

D´eterminer l’aire de la surface hachur´ee.

Cf et Cg sont les courbes repr´esentatives de deux fonctionsf et g d´efinies surRparf(x) =x²−4 et g(x) = (x+ 2)²(x−2).

1) ´Etudier la position relative de leurs courbes repr´esentatives.

2) En d´eduire l’aireAdu domaine en unit´e d’aire compris entre les deux courbes sur l’intervalle [-2 ;2].

Int´egrale et aire - fonction changeant de signe

La courbeC représente dans un repère orthogonal, la fonction f définie surRparf(x) =x²−2x−3. Les unités graphiques sont : 1 cm sur l’axe des abscisses et 0.5 cm sur l’axe des ordonnées.

1) ´Etudier la position relative de la courbeC par rapport `a l’axe des abscisses.

2) En déduire l’aireAdu domaine en unité d’aire puis en cm²compris entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=−2 etx= 3.

Int´egrale et aire - fonction changeant de signe

On considère la fonction définie surRparf(x) = (1−x²)e^−xdont on a tracé la courbe ci-dessous :

1) D´eterminera,b etc tels que la fonction d´efinie surRpar F(x) = (ax²+bx+c)e^−x soit une primitive def.

2) En d´eduire l’aire de la surface bleue.

(4)

Fonction définie par une intégrale - signe d’une intégrale

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonctionf d´efinie surR: x

f

−∞ −4 2 +∞

1 1

3 3

−5

−1

−1 1

0

On d´efinit la fonctionF surRparF(x) = Z x

1

f(t)dt.

1) D´eterminer le tableau de variations de F.

2) D´eterminer le signe de l’int´egrale Z 3

1

f(t)dtet de Z −5

1

f(t)dt.

3) D´eterminer la limite de F en +∞et en −∞.

Signe d’une int´egrale

On considère la fonction f définie surRparf(x) = e^−4x 1 +e^−4x. Pour tout réel x, on pose I(x) =

Z x

3

f(t) dt.

D´eterminer le signe de I(x) en fonction de x, en justifiant.

Int´egrale - Aire finie ou infinie ?

En voyant cette courbe repr´esentative d’une fonction :

Lætitia affirme que : ”Si la fonction représentée tend vers 0 en +∞alors l’aire hachurée sous la courbe sur [1; +∞[ est finie”.

Antoine lui répond : ”Même si cette fonction tend vers 0 en +∞, la longueur de l’intervalle [1; +∞[ étant infinie, l’aire hachurée ne peut pas être finie”.

A l’aide de deux exemples, justifier qu’ils ont tort tous les deux.

Fonction connaissant une primitive

Soitf une fonction d´efinie [-2 ;5] etF une primitive def. On a trac´e la courbe deF ci-dessous :

1) D´eterminer le tableau de signe def sur [-2 ;5].

2) D´eterminer la valeur de l’int´egrale Z 3

1

f(x)dx.

Comparer des int´egrales

(5)

On a trac´e ci-dessous la courbe d’une fonctionf d´efinie surR.

1) Comparer les int´egrales Z 1

0

f(x) dxet Z 2

1

f(x) dx.

2) Comparer les int´egrales Z 0

−2

f(x) dxet Z 2

0

f(x) dx.

3) Encadrer l’int´egrale Z 2

−1

f(x) dx.

(6)

Encadrer une int´egrale

On a trac´e ci-dessous la courbe d’une fonctionf d´efinie surR.

D´eterminer un encadrement de l’int´egrale Z 4

1

f(x) dx.

Fonction d´efinie par une int´egrale

On consid`ere la fonction d´efinie surRparg(x) = Z x

1

1 1 +t² dt.

1) Justifier queg est bien d´efinie surR. 2) D´eterminer le tableau de variations deg.

3) D´eterminer le tableau de signe deg(x).

4) D´emontrer que pour toutx≥1,g(x)≤1.

5) Démontrer que l’inégalité du 4) reste vraie pourx≤1.

QCM Int´egrale

f est une fonction continue surR.

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : a)

Z −1

2

f(x) dx=− Z −2

1

f(x) dx b) Si

Z 1

0

f(x) dx= Z 1

0

g(x) dxalors pour toutx∈[0; 1],f(x) =g(x).

c) Si Z 1

−1

f(x) dx= 0 alors pour toutx∈[−1; 1],f(x) = 0.

d) Sif est positive sur [2 ;3] alors Z 3

2

f(x) dx≥0.

e) Si Z 3

2

f(x) dx≥0 alors pour toutx∈[2; 3],f(x)≥0.

f) Z 3

2

f⁰(x)f(x) dx=F(3)−F(2) o`u F=f².

(7)

Fonction définie par une intégrale - dérivée - variations On considère la fonction g définie parg(x) =

Z x

−1

t 1 +t² dt.

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : a) La fonctiong est d´efinie surR.

b)g⁰(−1) = 0 c) g(−1) = 0

d)g est croissante surR. e) g(x) =1

2ln(x²+ 1).

Inégalité et intégrale

1) D´emontrer que pour tout x≥1, 1

2x≤ 1

x+√ x ≤ 1

2√ x. 2) En d´eduire un encadrement de l’int´egrale :

Z 3

2

1 x+√

x dx Inégalité et intégrale - encadrement de lnx

1) D´emontrer que pour tout r´eel t≥1, 1 t² ≤1

t ≤ 1

√t. 2) En d´eduire que pour tout r´eelx≥1, 1− 1

x ≤lnx≤2√ x−2.

3) En déduire un encadrement de ln 2. Vérifier la cohérence du résultat à l’aide d’une calculatrice.

Inégalité et intégrale - encadrement de ln 2 1) Démontrer que pour tout t≥0, 1−t≤ 1

1 +t ≤1−t+t². 2) En d´eduire que pour r´eelx≥0, x−x²

2 ≤ln(1 +x)≤x−x² 2 +x³

3 .

3) En déduire un encadrement de ln 2. Vérifier la cohérence du résultat à l’aide d’une calculatrice.

Suite d´efinie par une int´egrale Pour tout entier natureln, on pose :un =

Z 1

0

1 1 +xⁿ dx, fn d´esigne la fonction d´efinie sur [0 ;1] parfn(x) = 1

1 +xⁿ, Cn d´esigne la courbe defn.

On a tracéC0,C1, C2,C3, C4 dans un repère orthonormé.

1) A l’aide du graphique, conjecturer le sens de variation de (un).

2) D´eterminer le sens de variation de (un) par le calcul.

3) D´emontrer que pour tout entier natureln, et toutx∈[0; 1] : 1

1 +xⁿ ≤1

4) En d´eduire que la suite (un) est convergente.

(8)

Suite d´efinie par une int´egrale Pour tout entier natureln, on poseun=

Z n

0

1 1 +x² dx.

1) D´emontrer que la suite (un) est croissante.

2) Justifier que pour tout entier n≥1, un≤ Z 1

0

1

1 +x² dx+ Z n

1

1 x² dx.

3) D´emontrer que Z 1

0

1

1 +x² dx≤1. En d´eduire que la suite (u_n) est convergente.

Suite d´efinie par une int´egrale Pour tout entier natureln, on poseun=

Z 1

0

xⁿe^−x dx.

1) D´etermineru₀.

2) D´emontrer que (u_n) est d´ecroissante.

3) D´emontrer que (un) est convergente.

4) D´emontrer que pour tout entier natureln, 0≤un≤ 1 n+ 1. 5) Que peut-on d´eduire ?

Fonction définie par une intégrale - dérivation - variations - limite On considère la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) =

Z x

1

e^t t dt.

1) Justifier quef est définie et dérivable sur ]0; +∞[, déterminerf⁰(x) puis les variations def. 2) En déduire le tableau de signe def(x).

3) D´emontrer que pour tout r´eelt∈]0; +∞[, e^t t ≥1

t. 4) D´eduire du 3) que pour toutx∈[1; +∞[, f(x)≥lnx.

5) D´eduire du 3) que pour toutx∈]0; 1], f(x)≤lnx.

6) En d´eduire lim

x→+∞f(x) et lim

x→0x>0

f(x).

On se place dans un repère orthogonal d’unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées.

On a trac´e les courbes de 2 fonctionsf etg d´efinies sur ]0; +∞[ parf(x) =lnx

x etg(x) = (lnx)² x .

1) Associer `a chaque fonction la courbe qui lui correspond. Justifier.

2) D´eterminer les positions relatives des courbes def etg par le calcul.

3) D´eterminer une primitive def puis degsur ]0; +∞[.

4) Déterminer l’aire du domaine vert en unité d’aire puis en cm². Intégrale et primitive

On considère la fonction f définie surRparf(x) = (x+ 2)e¹²^x. Soituetv les fonctions définies surRparu(x) =xet v(x) =e¹²^x.

a) V´erifier quef = 2(u⁰v+uv⁰).

b) En d´eduire la valeur de l’int´egrale Z 1

0

f(x) dx.

(9)

D’après sujet Bac Pondichéry 2015 Terminale S Soitf et hles fonctions définies surRparf(x) = 3

1 + e^−2x et h(x) = 3−f(x).

1. Justifier que la fonctionhest positive surR. 2. SoitH la fonction d´efinie surRparH(x) =−3

2ln 1 + e^−2x . D´emontrer queH est une primitive dehsurR.

3. Soitaun r´eel strictement positif.

a. Donner une interpr´etation graphique de l’int´egrale Z a

0

h(x) dx.

b. D´emontrer que Z a

0

h(x) dx= 3 2ln

2

1 + e^−2a

.

c. On noteDl’ensemble des pointsM(x; y) du plan d´efinis par

x>0

f(x)6y63 . D´eterminer l’aire, en unit´e d’aire, du domaineD.

Baccalaur´eat 2014 - Am´erique du Nord exercice 2

Intégrale et aire - théorème des valeurs intermédiaires - calcul d’intégrale On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ parf(x) = 5e^−x−3e^−2x+x−3.

On noteCf la représentation graphique de la fonctionf et Dla droite d’équationy=x−3 dans un repère orthogonal du plan. On considère la fonctionA

d´efinie sur [0; +∞[ parA(x) = Z x

0

f(t)−(t−3) dt.

1. Justifier que, pour tout r´eeltde [0; +∞[, f(t)−(t−3)>0.

2. Hachurer sur le graphique ci-contre le domaine dont l’aire est donn´ee parA(2).

3. Justifier que la fonctionAest croissante sur [0; +∞[.

4. Pour tout r´eelx≥0, calculerA(x).

5. Existe-t-il une valeur dextelle queA(x) = 2 ?

Logarithme et aire maximale d’un rectangle Soitf la fonction d´efinie sur ]0 ; 14] parf(x) = 2−lnx

2

dont la courbeCf est donn´ee dans le rep`ere orthogonal d’origine O ci-contre :

A tout point M appartenant `` a Cf, on associe le point P projet´e orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et

le point Q projet´e orthogonal de M sur l’axe des ordonn´ees.

• f est-elle positive sur ]0; 14] ?

• L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du point M surCf?

• L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Justifier les r´eponses.

Calculer une intégrale à l’aide d’un argument géométrique L’objectif de cet exercice est de calculer :

Z 1

0

p1−x² dx.

On considère la fonction f définie parf(x) =p 1−x². 1) Déterminer le domaine de définition de la fonctionf.

2) Quelle conjecture peut-on faire concernant la courbe de la fonctionf? D´emontrer cette conjecture.

3) En d´eduire la valeur de l’int´egrale Z 1

0

p1−x² dx.

(10)

Suite d´efinie par une int´egrale Soit un entiern>1.

On notef_n la fonction d´efinie pour tout r´eelxde l’intervalle [0; 1] parf_n(x) = 1 1 +xⁿ. Pour tout entiern>1, on note In =

Z 1

0

fn(x) dx.

1) D´eterminer I1.

2) Démontrer que, pour tout réelx∈[0; 1] et pour tout entiern>1, on a : 1−xⁿ6 1 1 +xⁿ 61 3) En déduire que la suite (I_n) est convergente et préciser sa limite.