ECE2 TD n ◦ 10 : Variables al´ eatoires ` a densit´ e
Exercice 1. Exemple d’une densit´e nulle en dehors d’un segment
On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar : f(t) =
at(2−t) sit∈[0,2]
0 sinon
1. D´eterminer le r´eel apour que la fonctionf soit une densit´e de probabilit´e.
2. On noteX une variable al´eatoire de densit´ef. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
3. CalculerP(X >1/2).
4. X a-t-elle une esp´erance ? Si oui, la calculer.
5. X a-t-elle une variance ? Si oui, la calculer.
Exercice 2. Exemple d’une densit´e paire
Reprendre l’exercice 1. (sauf question 3.) avecf d´efinie surRpar : f(t) =a2−|t|
Exercice 3. A partir de la fonction de r´epartition (loi logistique) F est d´efinie surRpar : F(x) = ex
1 +ex
1. Montrer queF peut ˆetre consid´er´ee comme la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire `a densit´eX.
2. D´eterminer une densit´ef deX et montrer quef est paire.
3. Montrer queX a une esp´erance et la calculer.
4. On poseY =eX.
(a) D´eterminer la fonction de r´epartition deY.
(b) En d´eduire queY est une variable al´eatoire `a densit´e et d´eterminer une densit´e deY. (c) Y admet-elle une esp´erance ?
Exercice 4. Loi de Pareto
Soitλun r´eel strictement positif.
On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar : f(t) =
λ
tλ+1 sit>1 0 sinon 1. Montrer quef est une densit´e de probabilit´e.
2. On noteX une variable al´eatoire de densit´ef. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
3. X a-t-elle une esp´erance ? Si oui, la calculer.
4. X a-t-elle une variance ? Si oui, la calculer.
5. On poseY =bXc. D´eterminer la loi deY.
Exercice 5. Variable al´eatoire `a valeurs dans [0,+∞[
SoitX une variable al´eatoire `a densit´ef, de fonction de r´epartitionF.
On fait les hypoth`eses suivantes : f est nulle sur ]− ∞,0[,f est continue et strictement positive sur ]0,+∞[ etf est continue `a droite en 0.
1. Montrer que : ∀x∈R, P(X > x)>0.
2. Montrer que l’´equationF(x) = 1
2 admet une solution uniquemsur ]0,+∞[. (mest alors appel´e m´ediane de X).
Exercice 6. Loi uniforme : max et min
X1, X2, . . . , Xn sontnvariables al´eatoires `a densit´e ind´ependantes et suivant toutes la loi uniforme sur [0,1].
Montrer que
Sn= max(X1, X2, . . . , Xn) etIn= min(X1, X2, . . . , Xn)
sont des variables al´eatoires `a densit´e et d´eterminer une densit´e, l’esp´erance et la variance de chacune d’entre elles.
Exercice 7. Loi uniforme : transfert
1. La variable al´eatoireX suit la loi uniforme sur [0,1].
Dans chacun des cas suivants, reconnaˆıtre la loi deY et donner sans calcul l’esp´erance de Y. (a) Y = 2X+ 1
(b) Y =−2X+ 1 (c) Y =−lnX (d) Y =|X−0,5|
2. La variable al´eatoireX suit la loi uniforme sur ]−1,1[. On poseY = ln 1 +X
1−X
. (a) Expliciter la fonction de r´epartition deY.
(b) En d´eduire queY est une variable al´eatoire `a densit´e, puis donner une densit´e deY. (c) Montrer queY admet une esp´erance et en donner la valeur.
Exercice 8. Loi exponentielle : m´ediane
La variableX suit la loi exponentielle de param`etreλ, r´eel strictement positif.
Calculer la m´ediane deX. Comparer la m´ediane et la moyenne deX. Exercice 9. Loi exponentielle : utilisation comme outil de calcul
On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar : f(x) =
xe−x six>0 0 six <0
1. Montrer quef peut ˆetre consid´er´ee comme une densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoireX.
2. Montrer queX admet une esp´erance et une variance que l’on d´eterminera avec le moins de calculs possibles.
Exercice 10. Loi normale N(0,1) : transfert
SoitX une variable al´eatoire suivant la loi normaleN(0,1) et soitY =|X|.
1. Montrer queY est une variable al´eatoire `a densit´e, puis donner une densit´e deY. 2. Montrer queY admet une esp´erance et une variance et en donner la valeur.
Exercice 11. Loi normale N(0,1) : manipulation de la fonctionΦ La variableX suit la loi normaleN(0,1).
Soitnun entier naturel fix´e, sup´erieur ou ´egal `a 2.
Pour quelle valeur du r´eel positifala probabilit´eP(a < X < na) est-elle maximale ?
On commencera par exprimer cette probabilit´e `a l’aide de la fonctionΦ, fonction de r´epartition deX.
Exercice 12. Loi normale N(m, σ2)
T, temp´erature moyenne au mois de juillet `a Massy, suit la loi normaleN(28,25).
Pr´eciser une densit´e, l’esp´erance et la variance deT. Donner l’allure de la courbe repr´esentative de la densit´e.
Exercice 13. Lois normales : utilisation comme outil de calcul
1. SoitU une variable al´eatoire suivant une loi normale d’esp´erance nulle et de variance 1 2. (a) Rappeler l’expression d’une densit´e deU.
(b) Montrer que l’int´egrale Z +∞
0
x2e−x2dxest convergente et que :
Z +∞
0
x2e−x2dx=
√π 4
2. (a) En utilisant une loi normale bien choisie, montrer que, pour tout r´eelm, Z +∞
−∞
e−(x−m)2dx=√ π.
(b) En d´eduire la valeur deI= Z +∞
−∞
e−(ax2+bx+c)dxen fonction dea,b etc(aveca >0).
