Interrogation 13

Lyc´ee Fran¸cois Couperin - pr´epa ECE 1`ere ann´ee (2015/2016)

Interrogation 13

mardi 17 mai

1. Soient X₁,X₂, X₃ et X₄ des variables al´eatoires telles que: X₁ ,→ U(J1,7K), X₂ ,→ B(15,¹₃), X₃ ,→ G(¹₅) et X₄ ,→ P(2). Donner pour tout i∈J1,4K, X_i(Ω), P(X_i =k) pour k ∈X_i(Ω), E(X_i) et V(X_i).

2. Pour n∈N, on note I_n= Z 1

0

tⁿe^−tdt. A l’aide d’une int´egration par parties montrer que, pour toutn ∈N,I_n+1 =−e⁻¹ + (n+ 1)I_n.

3. Donner les bases canoniques et les dimensions de: R³, M₂(R) et R²[X].

4. Montrer que l’ensemble E ={(x,y,z)∈R³|x+y+z = 0} est un sous-espace vectoriel deR³, donner une base de E puis sa dimension.

5. Soient n∈N^? etA une matrice de Mn(R) fix´ee. Montrer queF ={M ∈ Mn(R)|AM =M A}

est un sous-espace vectoriel deM_n(R).

6. On note A=

1 2 0 3

, B =

0 1 0 1

, C =

0 0 1 0

et D=

−1 0

1 −1

. Montrer que A est combinaison lin´eaire deB,C etD. La famille (A,B,C,D) est-elle libre?

7. Soit X une variable al´eatoire telle que X(Ω) =N et∀k ∈N, P(X =k) = e−1

e e^−k. Montrer que X admet une esp´erance et la calculer.

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