ECE2 Fiche 5 : pr´ eparation aux parisiennes
Exercice 1.
[HEC 2016]
Soitnet pdeux entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. Si M est une matrice deMn,p(R),la matricetM deMp,n(R) d´esigne la transpos´ee deM.
On identifie les ensemblesM1,1(R) etRen assimilant une matrice deM1,1(R) `a son unique coefficient.
On noteBn la base canonique deMn,1(R) et Bp la base canonique deMp,1(R).
Si M ∈ Mn,p(R) et N∈ Mp,q(R) (q∈N∗),on admetquet(M N) =tNtM.
1. SoitX une matrice colonne non nulle donn´ee deMn,1(R) de composantesx1, x2, ..., xn dans la baseBn. On pose :A=XtX etα=tX X.
(a) ExprimerAetαen fonction dex1, x2, ..., xn.Justifier que la matriceAest diagonalisable.
(b) Soitf l’endomorphisme de Mn,1(R) de matriceA dans la baseBn.
D´eterminer Im(f) et Ker(f) ; donner une base de Im(f) et pr´eciser la dimension de Ker(f).
(c) Calculer la matriceAX.D´eterminer les valeurs propres deAainsi que les sous-espaces propres associ´es.
2. On suppose quenetpv´erifient 1≤p≤n.Soit (V1, V2, ..., Vp) une famille libre depvecteurs de Mn,1(R).
On noteV la matrice deMn,p(R) dont les colonnes sont, dans cet ordre,V1, V2, ..., Vp. Soitgl’application lin´eaire deMp,1(R) dansMn,1(R) de matriceV dans les basesBp et Bn. (a) Justifier que le rang deV est ´egal `ap.D´eterminer Ker(g).
(b) SoitY une matrice colonne deMp,1(R).
Montrer que l’on aV Y = 0 si et seulement si l’on atV V Y = 0.
(c) En d´eduire que la matrice tV V est inversible.
