Correction rapide

UTBM - MT12 - le 5 Juin 2007

correction final printemps 2006

Exercice 1 (6 points) Soit la matrice A=



 a 0 a 0 a 0 a 0 a



∈ M₃(R) avec a∈R fix´e.

i) Quelles sont les valeurs propres deA? (1 point) Pour quelles valeurs de a est-on sˆur que A est diagonalisable `a ce stade ? (1 point)

[det(A − λ.I₃) = −λ.(λ − a).(λ − 2.a). les val. propres sont donc λ₁ = 0,λ2 = a,λ3 = 2.a qui sont diff´erentes ssi a 6= 0. A est donc diagonalisable quand a 6= 0. Si a = 0, A est d´ej`a diagonale.]

ii) D´eterminer les sous-espaces propres associ´es aux valeurs propres ci-dessus. (1 points) Que peut-on en d´eduire ? (1 point)

[On prend a 6= 0. E_λ1 = vect{



 1 0

−1



}, E_λ2 = vect{



 0 1 0



}, E_λ3 =

vect{



 1 0 1



}]

iii) Diagonaliser ou trigonaliser A suivant la valeur de a (Donner P et D ou T telles que A=P DP⁻¹ ou A =P T P⁻¹). (2 points)

[On prenda 6= 0.A =P DP⁻¹ avecD =



 0 0 0 0 a 0 0 0 2.a



etP =



 1 0 1 0 1 0

−1 0 1



.]

1

Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)

On se propose d’int´egrer sur l’intervalle contenu dans ]0,+∞[ le plus grand possible, l’´equation diff´erentielle :

(E) y⁰(x)− y(x)

x −y(x)² =−9x².

1) D´eterminer a ∈]0,+∞[ tel que y₀(x) = ax soit solution particuli`ere de (E). (1 points)

[On trouve facilement y0(x) = 3.x solution de (E). ]

2) Montrer que le changement de fonction inconnuey(x) = y₀(x)−_z(x)¹ (avec y₀(x) du 1) transforme l’´equation (E) en l’´equation diff´erentielle

(E₁) z⁰(x) + (6x+ 1

x).z(x) = 1 (2 points)

(ne pas se pr´eoccuper du cas z(x) = 0 et multiplier parz(x)² apr`es avoir fait le changement de fonction).

[en posant y(x) = 3.x− _z(x)¹ on a y⁰(x) = 3 + _(z(x))^z0(x)2. d’o`u le r´esultat en rempla¸cant et en multipliant par z(x)².]

3) Int´egrer (E₁) sur ]0,+∞[ (2 points).

[On trouve en r´esolvant l’´equation homog`ene et en faisant la m´ethode de la variation de la constante :

SE1 = {z(x) = 1

6x +C.e^−3.x2

x , C ∈R}.]

4) Donner toutes les solutions de (E) d´efinie sur ]0,+∞[ (1 points).

2

Exercice 3 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) On se propose d’int´egrer

I = Z _ln(2)

0

e^3x+ 2e^x+ 2 e^x(e^2x+ 2) dx.

1) En utilisant le changement de variables u = e^x, montrer que I = R₂

1 u³+2u+2 u²(u²+2)du.

(justifier soigneusement) (2 points)

[Puisque dx= ^du_u, e⁰ = 1 et e^ln(2) = 2, on obtient le r´esultat]

2) D´ecomposer la fraction rationnelle apparaissant ci-dessus en ´el´ements simples. (2 points)

[On obtient ^u_u³2^+2u+2(u²+2) = _u¹2 + _u¹ − _u2¹+2.]

3) Calculer I. (2 points)

[I = [−_u¹+ln(u)−^√1₂ arctan(^√1₂.u)]²₁ = ¹₂+ln(2)−^√1₂arctan(√

2)+^√1₂arctan(^√1₂).]

3

Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) On pose Ω =R²/{(0,0)}.

Soit f :R² →R

½ f(x, y) = _x2^x+y^{4 2} si (x, y)∈Ω f(0,0) = 0

1) Montrer quef est continue sur R². (2 points)

[On a facilement 0 ≤ |f(x, y)| ≤ ^k(x,y)k_k(x,y)k⁴2 donc lim(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0. f est donc continue en (0,0). Elle est clairement continue partout ailleurs.]

2) Montrer quef est diff´erentiable sur Ω et calculer sa diff´erentielle. (2 points)

[En tant que produit et quotient de fonctions diff´erentiable sur Ω, f est diff´erentiable sur Ω et :

∂f

∂x(x, y) = 2x³(x² + 2y²) (x² +y²)² ,

∂f

∂y(x, y) = −2x⁴y (x²+y²)².]

3) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles ^∂f_∂x(0,0) et ^∂f_∂y(0,0). (2 points) [^f(x,0)−f_x−0^(0,0) = x

donc ^∂f_∂x(0,0) = lim_x→0 ^f(x,0)−f_x−0^(0,0) = 0,

f(0,y)−f(0,0)

y−0 = 0

donc ^∂f_∂y(0,0) = lim_y→0 f(0,y)−f(0,0)

y−0 = 0.]

QUESTIONS SUPPL´EMENTAIRES (3 points) :

4) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles secondes _δxδy^δ2f (0,0) et _δyδx^δ2f (0,0).

(1.5 points)

4) Que peut-on en d´eduire sur la continuit´e des d´eriv´ees _δxδy^δ2f (x, y) et _δyδx^δ2f (x, y)? (1.5 points)

4