UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire 2013-2014
MIPI 23 R´ eduction des endomorphismes (suite)
Exercice 1. SoitA=
0,8 0,3 0,2 0,7
∈M2(R). On noteB= (e1, e2)la base canonique deR2. 1. D´eterminer les valeurs propres de A.
2. D´eterminer une baseC= (v1, v2)deR2form´ee de vecteurs propres deA, puis ´ecrire la matrice de passage P = MatB(C)et calculerP−1.
3. D´eterminer sans calculD=P−1AP.
4. Pour toutn∈N∗, exprimerAn en fonction deP et deDn, puis calculer explicitementAn. On poseE=
x
y
∈R2
0≤x, y≤1 x+y= 1
. 5. Pour toutX ∈E, montrer queAX∈E.
6. Soit U0 = x0
y0
∈ E. Pour tout n ∈ N∗, notonsUn = xn
yn
le vecteur AnU0. D´eterminer le vecteur U∞= lim
n→+∞Un (i.e.U∞= x∞
y∞
o`ux∞= lim
n→+∞xn ety∞= lim
n→+∞yn).
7. Pour toutn∈N∗, donner une majoration de|xn−x∞|+|yn−y∞|.
8. D´eterminernpour que|xn−x∞|+|yn−y∞|<0,01.
1
