TD no 2 : DIAGONALISATION DE MATRICES
• Exercice 1
On consid`ere la matrice :
M =
1 1 0
1 1 0
0 0 0
1. Trouver les valeurs propres de M.
2. D´eterminer les espaces propres associ´es et donner une base pour chacun d’eux.
3. Montrer qu’il existe une base de R3 form´ee des vecteurs propres de M.
4. En d´eduire que la matrice M est diagonalisable, c’est-`a-dire qu’il existe une matrice P in- versible, de taille 3, telle que D=P−1M P soit diagonale. Calculer P etD.
5. Calculer M5.
• Exercice 2
Parmi les matrices suivantes :
A=
3 1 2 2
; B =
5 1
−4 1
; C =
1 0 3
0 −2 5
0 0 9
; D=
1 2 −3
2 7 0
−3 0 9
d´eterminer celles qui sont diagonalisables. Justifier.
• Exercice 3
Donner une matrice carr´ee
a b c d
telle que 1
2
soit vecteur propre pour la valeur propre 2 et
−1 0
soit vecteur propre pour la valeur propre −1. Justifier.
• Exercice 4
Existe-t-il une matrice
a b c d
avec b 6= 0, qui soit diagonalisable et qui poss`ede une unique valeur propre ?
1
