Jeudi22Octobre2020 RedaChhaibi Chapitre2:Nombrescomplexes

(1)

Racines carrées Calcul : forme algébrique et exponentielle Équation du second degré À venir

Chapitre 2 : Nombres complexes

Reda Chhaibi

Bureau 212 – Bâtiment 1R2 [email protected]

Jeudi 22 Octobre 2020

(2)

CM13 : Racines carrées d’un nombre complexe

But : donner les racines carrées de ° 3 + 4 i et résoudre (dans ^C ) l’équation de degré 2

z ² ° z + 1 ° i = 0 .

Plan :

• racines carrées d’un nombre complexe,

• calcul avec la forme algébrique ou avec la forme exponentielle,

• résoudre une équation du second degré.

If ^lien trinames ^avec ^la a ^re

⁼

^'s ^obit b ^?

^'

4

^a

^de c

=

I -4 C ^l

^-

^it

=

-3+4 ⁱ

(3)

1. Racines carrées

Soit x un nombre réel. Les racines carrées de x sont les nombres y satisfaisant y ² = x.

• Si x > 0 alors x admet deux racines carrées réelles : p x et ° p x .

• Si x = 0 alors il n’y a que 0.

• Si x < 0 alors x n’admet pas de racine réelle ! Mais x admets deux racines complexes :

i p

° x et ° i p

° x . V

i' §

^a

LA _racine ^LES

^"

^RAC ^ines

^.

②

^←

^LEE ^racing

[?NoN

(4)

Definition

On appelle racine carrée d’un nombre complexe z tout nombre complexe

± tel que ± ² = z.

Remarque

Pour tout entier n, on appelle racine n-ème d’un nombre complexe z, tout nombre ± qui satisfait ± ⁿ = z.

•

UNE

"

V

=

(5)

Question 1

Supposons que le nombre 1 + 5 i est une racine de z . On peut affirmer que :

1 1 ° 5 i est aussi une racine de z.

2 ° 1 ° 5 i est aussi une racine de z.

3 ° 1 + 5 i est aussi une racine de z.

4 aucune réponse n’est correcte.

£

⁼

It ⁵ⁱ ⁾

^- ⁼

¹

^-

^52+2×5 ⁱ

⁼

^-24 Hoi

Se

^-

₂₄₊₁₀

ⁱ^'

II

11

← ⁸⁾

² ⁼

^ti ⁾

"

82

⁼

1×8

^- =

z

(6)

Théorème 3

Pour tout z 2 C ^§ , il existe exactement deux racines carrées de z qui sont opposées l’une de l’autre : ± et ° ± .

Démonstration.

Démonstration 1 :

avec la forme algébrique Démonstration 2 : avec la forme exponentielle

Remarque

Si z = 0 alors la seule racine carrée est 0.

(7)

2. Calcul : forme algébrique ou exponentielle

Bilan : Soit z 2 C . Nous cherchons une racine carrée ± = Æ +iØ tel que

± ² = z. L’autre racine carrée sera ° ± .

Méthode 1 :

Résoudre le système : 8 <

:

Æ ² + Ø ² = | z | Æ ² ° Ø ² = Re(z)

2 ÆØ = Im(z) .

Méthode 2 :

1 Mettre z sous forme exponentielle :

z = | z | e ^iµ .

2 On a alors ± = p

| z | e ⁱ

^µ²

.

(8)

Question 2

Choisissez la bonne réponse :

1 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est 25 e ⁱ

¹⁴^º

.

2 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est 25 e ⁱ

^º⁷

.

3 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est 25 e ⁱ

^2º⁷

.

4 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est ^p 5 e ⁱ

^15º¹⁴

.

5 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est ^p 5 e ⁱ

^2º⁷

.

6 Une racine carrée de 5 e ⁱ

^º⁷

est ^p 5 e ^°i

¹⁴^º

.

7 Aucune des réponses précédentes.

-

i'

'

^II

^'

-0-8

.

iI¥ ^?

-

^-

^Ya ?

(9)

Exercice 11

1 Calculez les racines carrées de z 2 = 3 + 2 i et de z 4 = 1 ° 7 i .

2 Calculer les racines carrées de z 1 = 1 ° i et de z 3 = 5 ^p 3 + 5 i .

① ^Fornes ^trigo

^non

^accessible ^!

^my

^teeth ^ode ^I

f

=

AtiB Lz= ^8-

^d

^'t ^BE lay

⁼

^372T

⁼

{ ^ah _2dB

^-

^pot

₌⁼

₂ ^Re ^Zz

⁼

³

⇐

{ ^B

^d-

dB

^' ⁼⁼=

⁽

a

^ins

^-^*

³⁾ ^3k ¹²

^ma^no ^d^B

^=±F¥l

⁼ ^I

^¥3

2 ^'

Done 8

=

¥231

⁺

if

^ou ^l^'^oppose^'^.

£

_, ⁼

1127 ( Eg

^-ⁱ

Iz )

^,

^Mae

^-

^ith ^,

¥ ^: ^: _: _tan ^: ^;÷ ^! ^:

.

? ^a ^to

^"

f racemes de £3

ⁱ

^± No

.

e.it/2

(10)

Question 3

Choisissez la bonne réponse :

1 Les racines carrées de z sont z 1 et z 2 .

2 Les racines carrées de z sont z 1 et z 3 .

3 Les racines carrées de z sont z 1 et z 4 .

4 Les racines carrées de z sont z 2 et z 3 .

5 Les racines carrées de z sont z 2 et z 4 .

6 Les racines carrées de z sont z 3 et z 4 .

i

1 z 1 z 3

z

z 4

z 2

¥

=-

Zz

a

(11)

3. Équation du second degré

Nous cherchons à résoudre l’équation suivante :

(E ) az ² + bz + c = 0 ,

pour a, b, c 2 C et a 6= 0.

(12)

Proposition 16.

Appelons ¢ : ₌ b ² _° 4ac le discriminant de l’équation, et ± et _° ± les deux racines carrées de ¢. Alors,

1 si ¢ ₌ 0, l’équation (E) n’a qu’une seule solution z 0 = ° b 2a ,

2 si ¢ ₆₌ 0, l’équation (E) a deux solutions (racines) distinctes qui sont

z 1 = ° b + ±

2a et z 2 = ° b ° ± 2a ^.

Aina ^O

⁼

@ tzba ⁾

^-

⑤ _g

₌

St ^dans ^Q

=

(Itza )tftba )

⁼

_Cz

^-

_a) _Lz _-22 ₎

=

↳ Deux racemes

^.

( Double ^si ^8=0*0 ^£

,⁼

Zz )

Hee

^.

^Meine ^que

^'

^avant ^ca

^'

^des petit ^details Pret ^! )

o

⁼ ^a

£4 bat

c ⇐

so

^-_

⇐ taba )

^'^-

b¥iac

⇐x O ⁼

£7 by

^2-^t ^I ^z

o

=

Itza )

^-

year

⇐

o

=

Itza ⁾

^'^-

Ikari

^-

El _CEIEE.az

(13)

Méthode pour résoudre l’équation du second degré : az ² + bz + c = 0 .

1 Calculer le discriminant ¢ ₌ b ² ° 4ac.

2 Calculer les racines carrées ^± et ° ± de ¢.

3 Les solutions sont z 1 = ^° ^b _2a ^+± et z 2 = ^° ^b _2a ^°± .

f

si 430

^, ^c^'

^est ^bien

de

'feni ^done ^OK

→

si

^a

Ed

,

ilya

& ^racine

^.

Laquelle ?

① ^neg :p ^: ^" ^msn.ua

€ ① I

a-

^-

Fas

une

mince affaire !

(14)

Question 4

Soit z 1 une solution de l’équation 153z ² ° z + 372 = 0. Alors

1 ° z 1 est une autre racine.

2 z 1 est une autre racine.

3 Il n y a pas d’autre racine.

4 Aucune des réponses précédentes n’est exacte.

I

⁼

^b.

^2-

^Lcac

=

I

^-

4×372×153 ^SO ^carries

- _Les

_racine^" ^de ⁴

sont

→ I _s= if ^et

^-

^S

a. roscoff -b±iI

a-

(15)

Question 5

Soit z 1 une solution de l’équation 36z ² ° i z + 522 = 0. Alors

1 ° z 1 est une autre racine.

2 z 1 est une autre racine.

3 Il n y a pas d’autre racine.

4 Aucune des réponses précédentes n’est exacte.

[ Coefficients

complexes !

-

µ

Se

metier

^.

_Toujours

^Krai

si

les caffs ^sont reefs et

-

TT

Mais ^ice D= bZ_4ac

=

⇐ 12 ^-4×36×522

= ^-

t

^-

4×36×522 reel mi

si

coeff ^complexes

Done _racing

^-

^b

Ice ^.

(16)

Exercice 15

Déterminez les solutions des équations

1 z ² ° z + 1 ° i = 0,

2 4z ² ° 4z + 9 ° 6 i = 0,

3 z ² + ( i ° 1)z ° i = 0.

Remarque

On dit aussi que les solutions précédentes sont les racines des poly- nômes

1 P 1 (X ) = X ² ° X + 1 °i ,

2 P 2 (X ) = 4X ² ° 4X + 9 ° 6 i ,

3 P 3 (X ) = X ² + ( i ° 1)X °i .

⑦ ^a

⁼

^BE ^Hac

⁼

¹²

^-

^4G

^-

^it

⁼ ^1-4 ^t

⁴

ⁱ ⁼ ^-3 ^t

⁴

ⁱ

S

=

setiy

^I ⁼ ⁸^'

^acting ¹²

⁼

^-3+4

ⁱ

1812=14

⁼

73¥ =f¥kI/

^se^'_se^-

_'t ^y _YE

^'

^thing ₁₈₁₂₌₅ ₎

⁼

_A

^-_stove

³⁺⁴

ⁱ

q2

^-

_y

^'⁼ ^-

³

{ _gag

⁼

4 {

^a^'

_: II

iyk.SE?ixy--2.fom#E:tio:IIai:o deux

^cos

^③ ^↳

⁼

^b'

^-^Uac

^'s

⁼

^Li

^-

^D2

^-

^4×1×1 ^a

^-ⁱ

⁾

=

1=1

^-^gi

⁺⁴

ⁱ ⁼

²

ⁱ ⁼ ²

either

F-

^-

b

_Done

je

^emesis

8=1126*14 ^et

La

-

S

ut l^'

autre

racine.

Ca cecal ^de ^S tog ⁸²⁼⁴

^,

² ^methods { ^Forme ^Forme ^olg _trig

^.

(17)

Jeudi22Octobre2020 RedaChhaibi Chapitre2:Nombrescomplexes

Chapitre 2 : Nombres complexes

Reda Chhaibi

Bureau 212 – Bâtiment 1R2 [email protected]

Jeudi 22 Octobre 2020

CM13 : Racines carrées d’un nombre complexe

But : donner les racines carrées de ° 3 + 4 i et résoudre (dans C ) l’équation de degré 2

z 2 ° z + 1 ° i = 0 .

Plan :

• racines carrées d’un nombre complexe,

• calcul avec la forme algébrique ou avec la forme exponentielle,

• résoudre une équation du second degré.

If lien trinames avec la a re

's obit b ?

4

de c

I -4 C l

it

-3+4 i

1. Racines carrées

Soit x un nombre réel. Les racines carrées de x sont les nombres y satisfaisant y 2 = x.

• Si x > 0 alors x admet deux racines carrées réelles : p x et ° p x .

• Si x = 0 alors il n’y a que 0.

• Si x < 0 alors x n’admet pas de racine réelle ! Mais x admets deux racines complexes :

i p

° x et ° i p

° x . V

i' §

LA racine LES

RAC ines

②

LEE racing

[?NoN

Definition

On appelle racine carrée d’un nombre complexe z tout nombre complexe

± tel que ± 2 = z.

Remarque

Pour tout entier n, on appelle racine n-ème d’un nombre complexe z, tout nombre ± qui satisfait ± n = z.

UNE

V

Question 1

Supposons que le nombre 1 + 5 i est une racine de z . On peut affirmer que :

1 1 ° 5 i est aussi une racine de z.

2 ° 1 ° 5 i est aussi une racine de z.

3 ° 1 + 5 i est aussi une racine de z.

4 aucune réponse n’est correcte.

£

It 5i )

1

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II

← 8)

ti )

82

1×8

z

Théorème 3

Pour tout z 2 C § , il existe exactement deux racines carrées de z qui sont opposées l’une de l’autre : ± et ° ± .

Démonstration.

Démonstration 1 :

avec la forme algébrique Démonstration 2 : avec la forme exponentielle

Remarque

Si z = 0 alors la seule racine carrée est 0.

2. Calcul : forme algébrique ou exponentielle

Bilan : Soit z 2 C . Nous cherchons une racine carrée ± = Æ +iØ tel que

± 2 = z. L’autre racine carrée sera ° ± .

Méthode 1 :

Résoudre le système : 8 <

:

Æ 2 + Ø 2 = | z | Æ 2 ° Ø 2 = Re(z)

2 ÆØ = Im(z) .

Méthode 2 :

1 Mettre z sous forme exponentielle :

z = | z | e iµ .

2 On a alors ± = p

| z | e i

.

But : donner les racines carrées de ° 3 + 4 i et résoudre (dans ^C ) l’équation de degré 2

z ² ° z + 1 ° i = 0 .

If ^lien trinames ^avec ^la a ^re

^'s ^obit b ^?

^de c

I -4 C ^l

^it

-3+4 ⁱ

Soit x un nombre réel. Les racines carrées de x sont les nombres y satisfaisant y ² = x.

LA _racine ^LES

^RAC ^ines

^LEE ^racing

± tel que ± ² = z.

Pour tout entier n, on appelle racine n-ème d’un nombre complexe z, tout nombre ± qui satisfait ± ⁿ = z.

It ⁵ⁱ ⁾

¹

^52+2×5 ⁱ

^-24 Hoi

₂₄₊₁₀

← ⁸⁾

^ti ⁾

Pour tout z 2 C ^§ , il existe exactement deux racines carrées de z qui sont opposées l’une de l’autre : ± et ° ± .

± ² = z. L’autre racine carrée sera ° ± .

Æ ² + Ø ² = | z | Æ ² ° Ø ² = Re(z)

z = | z | e ^iµ .

| z | e ⁱ

1 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est 25 e ⁱ

2 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est 25 e ⁱ

3 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est 25 e ⁱ

4 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est ^p 5 e ⁱ

5 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est ^p 5 e ⁱ

6 Une racine carrée de 5 e ⁱ

est ^p 5 e ^°i

^II

iI¥ ^?

^Ya ?

2 Calculer les racines carrées de z 1 = 1 ° i et de z 3 = 5 ^p 3 + 5 i .

① ^Fornes ^trigo

^accessible ^!

^teeth ^ode ^I

AtiB Lz= ^8-

^'t ^BE lay

^372T

{ ^ah _2dB

^pot

₂ ^Re ^Zz

³

{ ^B

⁽

^ins

³⁾ ^3k ¹²

^=±F¥l

^¥3

^Mae

^ith ^,

¥ ^: ^: _: _tan ^: ^;÷ ^! ^:

? ^a ^to

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