SectiontechniciensupérieurCoursdemathématiques Chapitre2 Nombrescomplexes

Cours de mathématiques

Chapitre 2

Nombres complexes

Calvin and Hobbes , by Bill Waterson

Les nombres omplexes portent bien leur nom! Ils interviennent partout : en algèbre, en

analyse, en géométrie, en életronique, en traitement du signal, en musique, et. Et en

plus, ils n'ontjamais lamême apparene : tanttsousforme algébrique,tanttsousforme

trigonométrique, tantt sous forme exponentielle, ... Leur suès vient en fait de deux

propriétés : en travaillant sur lesnombres omplexes, toutpolynme admet un nombrede

raines égalà son degré et surtout ils permettent de aluler failement en dimension 2.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2010–2011

1.

Rappels

Définition 1 : Ensemble des nombres complexes

On appelle

^C

l’ensemble des nombres de la forme x +

ⁱ

y, où x ∈

^R

, y ∈

^R

et

ⁱ

est le nombre vérifiant

ⁱ

² = − 1. Cet ensemble est appellé ensemble des nombres complexes.

Remarque : La notationi fut introduitepar Euler (Bâle 1707 - Saint Pétersbourg 1783).

Dans les exeries et le ours, onnotera parfois j à la plae de i pour éviter la onfusion

ave lanotation de l'intensité utiliséeen életriité.

Les règles de aluls (addition, dévellopement, fatorisation) valables pour les nombres

réels sont aussi valables pour les nombres omplexes.

Exerie résolu 1 :

On donne

z 1 = − 2 + 3

^{j et}

z 2 = 4 −

^j.

Érire sous formealgébrique :

1

^.

z ₁ + z ₂

^;

2

^.

2z ₁

^;

3

^.

z 1 × z 2

^.

Solution :

1

^.

z 1 + z 2 = ( − 2 + 3

^j

) + (4 −

^j

) = − 2 + 4 +

^j

(3 − 1) = 2 + 2

^j;

2

^.

2z 1 = 2( − 2 + 3

^j

) = − 4 + 6

^j;

3

^.

z 1 × z 2 = ( − 2 + 3

^j

)(4 −

^j

) = − 8 + 2

^j

+ 12

^j

− 3

^j

² = − 8 + 14

^j

− ( − 3) = − 5 + 14

^j.

1.1.

Forme algébrique

Définition 2 : Forme algébrique

L’écriture x +

^j

y est appellée forme algébrique du complexe z.

x s’appelle la partie réelle et est noté

^Re

(z).

y s’appelle la partie imaginaire et est notée

^Im

(z). C’est un nombre réel.

Théorème 1 : Nombres complexes égaux

Puisque l’écriture d’une nombre complexe sous la forme x+

^j

y est unique ; deux nom- bres complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie imagi- naire sont égales.

Définition 3 : Imaginaire pur

Soit z = x +

^j

y un nombre complexe.

Si y est nul, on a un nombre réel.

Si x est nul et y 6 = 0, on a un imaginaire pur.

Définition 4 : Complexe conjugué

Si z = x + y, on appelle conjugué de z le nombre z = x − y.

Théorème 2 : Propriétés sur les conjugués Soit z un nombre complexe. On a

z = z

^et

z × z = x ² + y ² .

Remarque : Lesnombres onjugués servent,entre autre, àrendre réel des dénominateurs

an d'obtenir des formes algébriques.

Exerie résolu 2 :

Mettre sous forme algébriquelesnombres

z 3 = 2

3 +

^{j et}

z 4 = 1 + 2

^j

5 − 6

^j.

Solution :

z ₃ = 2

3 +

^j

= 2(3 −

^j

)

(3 +

^j

)(3 −

^j

) = 6 − 2

^j

9 −

^j

² = 6 − 2

^j

10 = 3

5 − 1 5

^j.

z 4 = 1 + 2

^j

5 − 6

^j

= (1 + 2

^j

)(5 + 6

^j

)

(5 − 6

^j

)(5 + 6

^j

) = 5 + 6

^j

+ 10

^j

+ 12

^j

²

5 ² − (6

^j

) ² = 5 + 16

^j

− 12

25 − 36( − 1) = − 7 + 16

^j

61 .

1.2.

Représentation géométrique d'un nombre omplexe

Dans le plan muni d'un repère

(O; ~u, ~v)

^{, à tout nombre omplexe}

z = x +

^j

y

^{on peut}

assoier le point

M

^{de oordonnées}

(x; y)

^et réiproquement.

z = x +

^j

y ⇔

0 ^→ u

→ v

M(z)

x y

Définition 5 : Image, affixe

Le point M (x ; y) est l’image du nombre complexe x +

^j

y.

Le nombre x +

^j

y est l’affixe du point M .

Le vecteur ⁻ OM ^{− − − −→} est le vecteur image du nombre complexe x +

^j

y.

Remarque : Les réels ont leur image sur l'axe des absisses, et les imaginaires purs ont

leur image sur l'axe des ordonnées.

Théorème 3 : Complexes et géométrie

Si A a pour affixe z _A et B a pour affixe z _B alors :

• Le milieu I du segment [AB] a pour affixe z I = ¹ ₂ (z A + z B )

• z ^−→ _AB = z _B − z _A

• AB = | z _B − z _A |

• ( ^→ u ; ⁻ AB) = ^{− −→} arg(z B − z _A )

1.3.

Forme trigonométrique

Définition 6 : module

on appelle module de z le nombre réel p

x ² + y ² . On le note | z | ou r.

Il s’agit de la longueur du segment OM.

Définition 7 : argument

On appelle argument de z une mesure de l’angle entre −→ Ox et −−→ OM . On le note souvent θ.

Remarques :

•

^{la dénition de l'argument d'un omplexe néessite que le plan soit orienté (il le sera}

impliitementàpartir de maintenant).

•

^{Un point étant donné, il existe plusieurs mesures de l'angle}

( ^→ u; ⁻ OM ^{− − − − − − →} )

^{. Ainsi, on parle}

d'un argument etpas de l'argument.

•

^{Lanotationalgébriqueorrespond aurepérageartésien d'unpointduplan,lanotation}

trigonométrique orrespond au repérage polaire. Suivant l'étude menée, haque point

de vue présente ses avantages.

Méthode : passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Si l’on connait le module (noté r) et un argument (noté θ) d’un nombre complexe, on peut retrouver sa forme algébrique x +

^j

y. En considérant les projections orthogo- nales du point M sur les axes (O, ^→ u ) et (O, ^→ v ), on obtient les relations :

x = r cos θ y = r sin θ.

On a alors

z = x +

^j

y = r cos θ +

^j

r sin θ = r(cos θ +

^j

sin θ)

0 ^→ u

→ v

r = p

x ² + y ² M(z)

θ

x = r cos θ y = r sin θ

Définition 8 : Forme trigonométrique

L’écriture r(cos θ + j sin θ) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.

Exerie résolu 3 :

Donner la formealgébriquedu nombre omplexe

z 5

^{de module}

2

^{et d'argument}

^π ₃

^.

Solution :

z 5 = r(cos θ +

ⁱ

sin θ) = 2 cos( π

3 ) +

^j

sin( π 3 )

= 2 1 2 +

^j

√ 3 2

!

= 1 +

^j

√

3

^.

Méthode : passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique Supposons connue la forme algébrique x +

^j

y d’un nombre complexe.

En utilisant le théorème de pythagore, on obtient :

| z | = r = p

x ² + y ²

Avec les formules trigonométrique, on obtient le système : cos θ = ^x _r

sin θ = ^y _r

qui permet de déterminer avec les lignes trigonométriques une valeur d’un argu- ment θ.

Exerie résolu 4 :

Donner la formetrigonométriquede

z 6 = 1 +

^j

√ 3.

Solution :

Calul du module de

z 6

^:

| z 6 | = r = p

x ² + y ² = q

1 ² + √

3 ² = √ 4 = 2.

Calul d'un argumentde

z 6

^:

cos θ = x r = 1

2 sin θ = y

r =

√ 3 2



 



 



π 3

1 2

√ 3 2

don

θ = π

3

⁽

2π

^près).

z 6

^{a pour module}

r = 2

^{etpour argument}

θ = π 3

^.

Théorème 4 : Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2π près.)

Autrement dit, z = r(cos θ + j sin θ) et z ^′ = r ^′ (cos θ ^′ + j sin θ ^′ ) sont égaux si et seulement si r = r ^′ et θ = θ ^′ + k2π.

Théorème 5 : propriété des modules et des arguments

| zz ^′ | = | z || z ^′ | arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ )

| z

z ^′ | = | z |

| z ^′ | arg( z

z ^′ ) = arg(z) − arg(z ^′ )

Remarque:Pourquoiutilisertanttlaformealgebrique,tanttlaformetrigonométrique?

On priviligiera la forme algébrique lorsque on s'interresse à une translation et que l'on

veut additionnerdesnombres etàlaformetrigonométriquelorsque l'ons'interresse àdes

rotations etque l'on veut multiplieres nombres.

1.4.

Forme exponentielle

Définition 9 :

On pose par définition :

e

i

θ = cos θ + j sin θ

Les propriétés sur les modules etles arguments se traduisent dès lors :

Théorème 6 :

e i

θ

e

i

θ ^′ = e ^{i(θ+θ ′ )} et

^e

i

θ

e

i

θ ^′ = e ^{i(θ − θ ′ )}

En généralisantla formule, onobtient :

Théorème 7 : Formule de Moivre

(cos θ + j sin θ) ⁿ = cos(nθ) + j sin(nθ)

Des relationse

i

θ = cos θ + j sin θ

^ete

⁻

ⁱ

^θ = cos − θ − j sin θ

^{,ondéduitlesformulesd'Euler:}

Théorème 8 : Formule d’Euler

cos θ =

^e

i

θ +

^e

⁻

ⁱ

^θ

2 sin θ =

^e

i

θ −

^e

⁻

ⁱ

^θ 2i

Remarque : Les formules d'Euler et de Moivre sont à la base de la méthode permettant

de linéariser

cos ⁿ θ

^(ou

sin ⁿ θ

^).

Définition 10 :

Linéariser une expression trigonométrique, c’est trouver une expression du premier degré qui lui soit égale.

Exerie résolu 5 :

Linéariser

cos ⁴ θ

^.

Solution : A l'aide de la relation

(a + b) ⁴ = a ⁴ + 4a ³ b + 6a ² b ² + 4ab ³ + b ⁴

^{et de la}

formule d'Euler,onérit

cos ⁴ θ = (

^ei

^{θ +} ₂

^e

⁻

ⁱ

^θ ) ⁴

= ⁽

^ei

^{θ ) 4 +4(}

^ei

^{θ ) 3}

^e

⁻

ⁱ

^{θ +6(}

^ei

^{θ ) 2} ₁₆ ⁽

^e

⁻

ⁱ

^{θ ) 2 +4}

^ei

^{θ (}

^e

⁻

ⁱ

^{θ ) 3 +(}

^e

⁻

ⁱ

^{θ ) 4}

=

^ei

^{4θ +4}

^ei

^{2θ +6+4} ₁₆

^e

⁻

ⁱ

^{2θ +}

^e

⁻

ⁱ

^4θ

= ⁽

^ei

^{4θ +}

^e

⁻

ⁱ

^{4θ )+4(} ₁₆

^ei

^{2θ +}

^e

⁻

ⁱ

^{2θ )+6}

= 2 cos 4θ+4 cos 2θ+6

= ^cos4θ ₈ + 16 ^cos2θ ₂ + ³ ₈

2.

Équations du seond degré

2.1.

Équations du seond degré à oeients réels

Théorème 9 : Équation du second degré

On considère l’équation az ² + bz + c = 0 où a, b et c sont trois nombres réels.

On pose ∆ = b ² − 4ac.

• si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions − b ± √

∆ 2a ;

• si ∆ = 0, l’équation admet une solution double − b 2a ;

• si ∆ < 0, l’équation n’admet pas de solution dans

^R

mais admet deux solutions conjuguées dans

^C

: − b ±

^j

√

− ∆

2a .

2.2.

Raine arrée d'un nombre omplexe

2.2.1 Reherhe sous forme trigonométrique

Nous allons traiterun exemplequi sera plus parlantque la théorie.

On veut déterminer la raine arrée de

1 +

^j

√

3

^{('est à dire résoudre l'équation}

z ² = 1 +

^j

√

3

^{).On herhe}

z

^{sous la forme}

ρ

^ei

^θ

^.

z ² = 1 +

^j

√

3 ⇔ ρ

^ei

^θ 2

= ρ ²

^ei

^2θ = 2

^ei

^{π 3}

Commedeux nombres sont égaux si etseulementsi leur module sontégaux et leur argu-

ment égaux à

2π

^{près, onobtientle système :}

( ρ ² = 2

2θ = π

3 + k2π ⇔

( ρ = √ 2 θ = π

6 + kπ ⇔

( ρ = √ 2 θ = π

6

^ou

θ = 7π 6

Ainsi, lesraines arréesde

p 1 +

^j

√

3

^sont

√ 2

^ei

^{π 6} =

√ 6 2 +

^j

√ 2 2

^et

−

√ 6 2 −

^j

√ 2 2

Remarque :

•

^{La méthode a l'avantage d'être la même si l'on veut résoudre une équation du type}

z ³ = α

^,

z ⁸ = α

^{, ...}

•

^{La méthode a un gros} inonvenient : Il n'est pas toujours possible de trouver lavaleur exate d'un argument d'un nombre omplexe. Par suite, on n'obtiendra pas de valeur

exate pour laraine arrée.La méthode i-dessous est plus longue mais plus exate.

2.2.2 Reherhe sous forme algébrique

Traitonsun autre exemple.

On veut déterminer la (les) raine(s) arrée(s) de

4 + 3

^{j. On herhe lessolutions sous la}

forme

x +

^j

y

^.

z ² = (x +

^j

y) ² = 4 + 3

^j

⇔ x ² − y ² +

^j

2xy = 4 + 3

^j

Deux nombres omplexes étant égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie

imaginairesont égales,on obtient lesystème :

x ² − y ² = 4

2xy = 3

On peut résoudre e système en exprimant

x

^{en fontion de}

y

⁽

x = 3

2y

^{) que l'on re-}

porte dans le première ligne qui devient une équation bi-arrée (type

ax ⁴ + bx ² + c = 0

⁾

quel'onrésoutparun hangementdevariablepourobteniruneéquationduseonddegré.

Une astue onsisteà utiliserun autre renseignement:

( | z ² | = | 4 + 3

^j

| = √

4 ² + 3 ² = 5

| z ² | = | z | ² = p

x ² + y ² 2

= x ² + y ²

On onlut que

x ² + y ² = 5

^{. On peut remplaer le système préédent par le système}

suivant :

x ² + y ² = 5 x ² − y ² = 4

Par addition (et soustration) des lignes, on obtient

x ² = 9/2

^et

y ² = 1/2

^{, don}

x =

± 3 √

2/2

^et

y = ± √

2/2

^.Or

2xy = 3

^{, don}

x

^et

y

^{sont de même signe.}

Les solutionssont don

√ 2

2 (3 +

^j

)

^et

− ^√ 2 ² (3 +

^j

).

2.3. Équations du seond degré à oeients omplexes

Nous savons déjà résoudre les équations du seond degré pour lesquelle les oeients

sont des nombres réels (par exemple :

2x ² + 3x + 9 = 0

^{). On} s'interresse désormais à la résolution des équations du seonddegré pour lesquellesles oeientssont des nombres

omplexes (par exemple

z ² − (3 + 2i)z + 1 + 3i = 0

^).

Les régles onnues pour lesoeientsréels s'étendent auas omplexe.

Théorème 10 :

L’équation ax ² + bx + c = 0 avec a, b et c nombres complexes admet toujours deux solutions dans

^C

:

x = − b + δ

2a

^et

x = − b − δ 2a où δ est une racine carrée de ∆ = b ² − 4ac.

Remarque : Toute ladiulté est de déterminer la rainearrée de

∆

^.

Preuve.

ax ² + bx + c = 0 ⇔ a

"

x + b

2a 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

= 0 ⇔

x + b 2a

2

= b ² − 4ac (2a) ²

^.

En notant

δ

^{lenombre telque}

δ ² = b ² − 4ac

^{,on obtient}

x + b

2a = ± δ 2a

^d'où

x = − b ± δ 2a

Exerie résolu 6 :

Résoudre dans Cl'équation

(1 −

^j

)z ² − (5 −

^j

)z + 4 + 2

^j

= 0

Solution : C'estuneéquationduseonddegréave

a = 1 −

^j,

b = − (5 −

^j

)

^et

c = 4 + 2

^j.

1

^{. On alule le}disriminantde ette équation:

∆ = b ² − 4ac = ( − (5 −

^j

)) ² − 4(1 −

^j

)(4 + 2

^j

) = 25 − 10

^j

+

^j

² − 4(4 + 2

^j

− 4

^j

− 2

^j

² ) = 24 − 10

^j

− 4(6 − 2

^j

) = − 2

^j

2

^{. On herhe laraine de}

− 2

^{j sous forme}algébrique.

z ² = − 2

^j

⇔ (x +

^j

y) ² = − 2

^j

⇔ x ² − y ² +

^j

2xy = − 2j

Par uniitéde laforme algébrique,onobtient:

x ² − y ² = 0 2xy = − 2

On utilise le module de

− 2

^{j pour résoudre plus failement lesystème :}

( | z ² | = | − 2

^j

| = p

0 ² + ( − 2) ² = 2

| z ² | = | z | ² =

p x ² + y ² 2

= x ² + y ²

Ononlutque

x ² +y ² = 2

^{.Onpeutremplaerlesystèmepréédentparlesystème}

suivant :

x ² + y ² = 2 x ² − y ² = 0

Par addition (et soustration) des lignes, on obtient

x ² = 2/2

^et

y ² = 2/2

^{, don}

x = ± 1

^et

y = ± 1

^{. Or}

2xy = − 2

^,don

x

^et

y

^{sont de signe ontraire.}

Les rainesde

∆

^{sont don}

δ 1 = 1 −

^{j et}

δ 2 = − 1 +

^j.

3

^{. On alule lessolutions :}

x 1 = − b + δ 1

2a = (5 −

^j

) + (1 −

^j

)

2(1 −

^j

) = (6 − 2

^j

)(1 +

^j

)

2(1 −

^j

)(1 +

^j

) = 8 + 4

^j

4 = 2 +

^j

x 2 = − b + δ 1

2a = (5 −

^j

) − (1 −

^j

)

2(1 −

^j

) = 4(1 +

^j

)

2(1 −

^j

)(1 +

^j

) = 4 + 4

^j

4 = 1 +

^j

x 3 = − b + δ 2

2a = (5 −

^j

) + ( − 1 +

^j

) 2(1 −

^j

) = x 2

x 4 = − b + δ ₂

2a = (5 −

^j

) − ( − 1 +

^j

) 2(1 −

^j

) = x 1

Les aluls ave

δ ₂

^{donnent les mêmes solutions que les aluls fait ave}

delta ₁

^,

'est pourquoi, dans la pratique,on ne les faitpas.

lessolutions sont

x 1 = 2 +

^{j et}

x 2 = 1 +

^j.

3.

Lignes de niveau

Définition 11 :

Dans un repère orthonormal (O; ~ u, ~v), la ligne de niveau k d’une fonction f est l’ensemble des points d’abscisse x (ou d’affixe z) tels que f(x) = k (ou f (z) = k)

Exemple : Soit

f

^{lafontion dénie sur R par}

f (x) = x ²

^.

La ligne de niveau

1

^{de lafontion}

f

^est

{− 1; 1 }

^.

La ligne de niveau

− 1

^{de lafontion}

f

^{est vide.}

Théorème 11 : Les principales lignes de niveau sont : 1

^.

Ligne de niveau de la fonction f : z 7→

^Re

(z).

f (z) = k ⇔ f (a + jb) = a = k

La ligne de niveau k de la fonction

^Re

(z) est la droite d’équation x = k 2

^.

Ligne de niveau de la fonction f : z 7→ | z | .

| z | = k ⇔ OM = k

La ligne de niveau k de la fonction | z | est le cercle de centre O et de rayon k.

(d’où la necessité d’avoir k > 0, sinon la ligne de niveau est vide) 3

^.

Ligne de niveau de la fonction f : z 7→ arg(z).

arg(z) = k ⇔ ( ^→ u ; ⁻ OM) = ^{− − − −→} k

La ligne de niveau k de la fonction arg(z)est la demi-droite d’origine O exclu et d’angle polaire k.

Exemple :

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

En bleu, laligne de niveau

2

^{de la fontionRe}

(z)

^.

En rouge,la ligne de niveau

π

4

^{de lafontion}

arg(z)

^.

En vert, laligne de niveau

3

^{de la fontion}

| z |

^.

4.

Complexes et transformations géométriques

Les fontions sont un proédé qui a un nombre fait orrespondre un autre nombre. Dans

le as des fontions qui àun omplexeassoieun autre omplexe(exemple :

f : z 7→ z ²

^),

on obtientaussi, en utilisantlareprésentation géométrique des omplexes, une opération

qui à un point du plan assoie un autre point. Nous allons voir dans ette setion, les

transformations déritepar ertaines fontionstypes.

4.1.

Transformations assoiées à

f : z 7→ z + α, α ∈

^C

Théorème 12 :

La tranformation géométrique associée à f : z 7→ z + α (α est un complexe) est la translation de vecteur d’affixe α.

Preuve. Soit

M ^′

^{lepoint d'axe}

z ^′ = f (z)

^.

z ^′ = z + α ⇒ z ^′ − z = α ⇒ ⁻ M M ^{− − − − − −→ ′} = ^→ u

^où

^→ u

^{estun veteur xed'axe}

α

^.

Exemple :

f : z 7→ z + (3 − i)

2 4

− 2

2 4 6

− 2

− 4

− 6

Par

f

^{, l'imagede la gure noire est lagure rouge. Pour l'obtenir, onpeut :}

•

^{soitalulerlesimagesdehaundespointsdelagure(l'imagede}

A

^d'axe

z = 2+2i

est

f (2 + 2i) = 2 + 2i + 3 − i = 5 + i

^{, ... ;}

•

^{soiteetuer la} translationde veteur

(3; − 1)

^{(e quiest plus rapide).}

4.2.

Transformations assoiées à

f : z 7→ z

Théorème 13 :

La tranformation géométrique associée à f : z 7→ z est la symétrie d’axe (O; ~ u).

Preuve. Soit

M ^′

^{lepoint d'axe}

z ^′ = f (z)

^.

si

M

^{apour axe}

a + jb

^,alors

M ^′

^{a pour axe}

a − jb

^.

Exemple :

f : z 7→ z

2 4

− 2

− 4

2 4 6

− 2

− 4

− 6

Par

f

^{,l'imagedelagurenoireestlagurerouge.Pourl'obtenir,onaeetuélasymétrie}

d'axe

(O, ^→ u)

4.3.

Transformations assoiées à

f : z 7→ az

^,

a ∈

^C

Théorème 14 :

La tranformation géométrique associée à f : z 7→ az est la composée d’une rotation de centre 0, d’angle arg(a) et d’un agrandissement de centre O de rapport | a | .

Preuve. Soit

M ^′

^{lepoint d'axe}

z ^′ = f (z)

^.

z ^′ = az ⇔

| z ^′ | = | a || z |

arg(z ^′ ) = arg(z) + arg(a) ⇔

( OM ^′ = | a | OM

( ^→ u ; ⁻ OM ^{− − − − −→ ′} ) = ( ^→ u ; ⁻ OM ^{− − − −→} ) + arg(a)

Définition 12 :

La transformation géométrique associée à f : z 7→ az est appellée similitude de centre O, d’angle arg(a) et de rapport | a | .

Remarque : dans leas oùlerapportest de 1, ils'agit simplementd'une rotation.

Exemple :

f : z 7→ 2

^ei

^{π 2} z

2 4 6

− 2

2 4 6

− 2

− 4

− 6

− 8

− 10

Par

f

^{, l'imagede la gure noire est lagure rouge. Pour l'obtenir, onpeut :}

•

^{soitalulerlesimagesdehaundespointsdelagure(l'imagede}

A

^d'axe

z = 2+2i

est

f (2 + 2i) = (2 + 2i)(2

^ei

^{π 2} ) = (2 + 2i)(2i) = − 4 + 4i

^{, ... ;}

•

^{soit eetuer la rotationde entre}

O

^etd'angle

π

2

^suiviede l'homothétie de rapport 2 et de entre

O

^{(e qui est plus rapide).}

4.4. Transformations assoiées à

f : z 7→ 1 z

Définition 13 :

La transformation géométrique associée à f : z 7→ 1

z est appellée inversion com- plexe.

Remarque : Lepoint

O

^{n'a pas d'image par ette} transformation.

Théorème 15 : image d’une droite

L’image d’une droite qui ne passe pas par O est un cercle qui passe par O mais privé

de O.

Preuve.Onpeutfaireunedémonstrationdansleasgénéral,maisonseborneraàl'étuded'un

exemple. (Ilsut deremplaer les valeursdonnéespar deslettres pouravoir leasgénéral).

Soit

M ^′

^{lepoint d'axe}

z ^′ = f(z)

^et

( D )

^{ladroite d'équation}

2x + 4y + 1 = 0

^.

Cherhonsd'abord lelien entre lesoordonnées de

M

^etellede

M ^′ = f (z)

^.

M ^′ = f (M ) ⇔ z ^′ = 1

z

^et

z 6 = 0

⇔ z = 1

z ^′

^et

z ^′ 6 = 0

⇔ x + iy = 1

x ^′ + iy ^′ = x ^′ − iy ^′

x ^′2 + y ^′2

^et

(x ^′ ; y ^′ ) 6 = (0; 0)

⇔

^par identiation



 

 



 

 



x = x ^′ x ^′2 + y ^′2 y = − y ^′

x ^′2 + y ^′2 (x ^′ ; y ^′ ) 6 = (0; 0)

D'autre part, si

M

^{estsur ladroite}

( D )

^{,sesoordonnées vérient}

2x + 4y + 1 = 0

^.

En utilisant dansl'équation de ladroite, les expressions de

x

^et

y

^{obtenue dansle système, on}

obtient :

2

x ^′ x ^′2 + y ^′2

− 4

y ^′ x ^′2 + y ^′2

+ 1 = 0

^d'où

2x ^′ − 4y ^′ + (x ^{′ 2} + y ^{′ 2} ) = 0.

Cetteéquations'éritenore

(x ^′ + 1) ² + (y ^′ − 2) ² = 5

^ouenore

AM ^′2 = 5

^(soit

AM = √

5

^)don

M ^′

^{estsurleerle deentre}

A( − 1; 2)

^{etde rayon}

√

5

^.

Illustration :

f : z 7→ 1 z

L'imagede la droite par

f

^{est leerle bleu. (On peut aluler l'imagepar}

f

^{de point}

situé sur ladroite).

2 4

− 2

− 4

2 4 6

− 2

− 4

− 6

( D ) : 2x + 4y + 1 = 0

Remarque : En utilisant le même raisonnement et en utilisant des valeurs littérales, on

montre que l'imagede ladroite d'équation

ax + by + c = 0

^{est leerle privé du point}

O

de entre

( − a 2c ; b

2c )

^{et de rayon}

√ a ² + b ² 2 | c |

^.

Théorème 16 : image d’un cercle

L’image d’un cercle passant par O et privé de O est une droite.

Preuve.

f (f (z)) = z

^{donl'image de l'image d'unpoint}

M

^{este même point.}

Par onséquent, l'image de l'image d'une droite est elle-même d'où l'image d'un erle est une

droite.

Remarque : L'image d'unerle ne passant pas par

O

^{est un erle. Cette propriétén'est}

pas auprogramme.

4.5.

Compositions de transformations élémentaires

Exerie résolu 7 :

Soit

s

^la transformationqui à

M (z)

^assoie

M ^′ (z ^′ )

^{telle que}

z ^′ = (1 + √

3

^j

)z + 3

^j

. 1

^{. Déomposer}

s

^{en une suession de} transformations élémentaires.

2

^{. Soit}

( C )

^{leerle de entre}

Ω

^d'axe

2

^{j etde rayon1.}

Dans un repère

(O; ~u, ~v)

^{, onstruire l'imagede e erle par la} transformation

f

^.

(On ne demande auunalul).

Solution :

1

^{. On a}

s : z − → ^X z − → ^Y (1 + √

3

^j

)z − → ^Z (1 + √

3

^j

)z + 3

^j

où

X

^{est lafontion}

z 7→ z

^{(symétried'axe (Ox));}

Y : z 7→ (1 + √

3

^j

)z

(similitudede rapport

| 1 + √

3

^j

| = 2

^etd'angle

arg(1 + √ 3

^j

) = π

3

^);

Z : z 7→ z + 3

^j (translationde veteur 3j).

2

^{. On eetuelesdiérentes}transformationssurleerledeentre

(0; 2)

^{etde rayon}

1

^.

X

Y

Z

L'image du erle rouge initialest leerle noir.

5.

Nombres omplexes en életriité

5.1.

Introdution de la notation

On onsidère leiruit életrique:

u(t)

i 1 (t)

i 2 (t) i(t)

Lorsquel'onétudieuniruitenrégimesinusoïdaldepulsation

ω

^{,lesgrandeurséletriques}

s'érivent :

u(t) = U √

2 sin ωt i(t) = I √

2 sin (ωt − ϕ) i 1 (t) = I 1

√ 2 sin (ωt − ϕ 1 ) i 2 (t) = I 2

√ 2 sin (ωt − ϕ 2 )

On voit que les termes qui hangent d'une grandeur à l'autre sont la valeur eae

(U, I, I ₁ , I ₂ )

^{etledéphasage}

(ϕ, ϕ ₁ , ϕ ₂ )

^{.Seulsestermessontdon}intérréssants,lesautres ne hangeant pas.

Remarque: EDFdistribuedestensionséletriques sinusoïdalesde fréquene

f = 50

^Hertz.

Lapulsationest

ω = 2πf ≈ 314

^rad.s

⁻¹

^{:'estlamêmeonstantepourtouteslesfontions}

i

^et

u

^{ainsi dénies.}

D'où l'idée de représenter, dans un premier temps, les grandeurs életriques par des

veteurs, dont la longueur est proportionnelle à la valeur eae, et en faisant ave un

axe de réferene un angle égal au déphasage ('est laméthode de Fresnel).

L'inonvénientde ette méthode est quel'on ne dispose pas sur lesveteurs de toutesles

opérations intervenant dans les aluls en életriité (notamment inverse d'un veteur).

Les grandeurs (intensité ou tension) étant de la forme

a(t) = A √

2 sin (ωt + ϕ)

^{, on leur}

assoie le nombre omplexe, noté

A

^{, de module}

A

^{(valeur maximale ou eae) et d'ar-}

gument

ϕ

^{(déphasage à l'originedes tempsen radian.)}

Définition 14 : Notation complexe d’une grandeur physique

A toute tension (intensité) sinusoïdale u (i), on associe le nombre complexe, noté U (I )

• de module U , la valeur efficace de u,

• d’argument ϕ, la phase initiale de u.

5.2.

Intêret de la notation : Addition de grandeur sinusoïdale

Nousvenonsd'introduireune notation. Unequestionest alorslégitime:A quoielanous

sert-il?

Pourrépondreàettequestion,ononsidèreun premierexempleonretave lasituation

i-dessous :

i(t) i 1 (t)

i 2 (t)

Loi des noeuds

Connaissant

i 1 (t) = I 1

√ 2 sin(ωt + ϕ 1 )

^et

i 2 (t) = I 2

√ 2 sin(ωt + ϕ 2 )

^{,onherhe àonnaître}

i(t)

^{, 'est à dire onherhe lavaleur eae}

I

^{etla valeur du déphasage}

ϕ

^.

Laloidesnoeuds nousditque

i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = I 1

√ 2 sin(ωt + ϕ 1 ) + I 2

√ 2 sin(ωt + ϕ 2 )

^.

Il faut alors plusieurs lignes de aluls (voir la démonstrationdu théorème) pour arriver

à transformer l'ériture i-dessus en elle voulue. L'utilisation des omplexes évite es

diultés (voirexemple).

Théorème 17 :

Dans le cas de signaux de même pulsation, on a

I ₀ = I ₁ + I ₂ U ₀ = U ₁ + U ₂

Preuve. La loidesnoueds nousditque, àhaque instant

t

^,

i(t) = i ₁ (t) + i ₂ (t)

^.

En utilisant larelation

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

^{,on montre que:}

i ₁ (t) + i ₂ (t) = I ₁ √

2 sin(ωt + ϕ ₁ ) + I ₂ √

2 sin(ωt + ϕ ₂ )

= h I ₁ √

2 sin(ωt) cos ϕ ₁ + I ₁ √

2 sin ϕ ₁ cos(ωt) i + h

I ₂ √

2 sin(ωt) cos ϕ ₂ + I ₂ √

2 sin ϕ ₂ cos(ωt) i

= I ₁ √

2 cos ϕ ₁ + I ₂ √

2 cos ϕ ₂

sin(ωt) + I ₁ √

2 sin ϕ ₁ + I ₂ √ 2 sin ϕ ₂

cos(ωt).

D'autre part

i(t) = I √

2 sin(ωt + ϕ)

= I √

2 cos ϕ

sin(ωt) + I √

2 sin ϕ

cos(ωt).

Puisquelarelation

i(t) = i ₁ (t) + i ₂ (t)

^{estvraieàhaqueinstant,elleestdonvraieenpartiulier}

au temps

t = 0

^{, d'où}

√

2 I sin ϕ = √

2 I ₁ sin ϕ ₁ + √

2 I ₂ sin ϕ ₂

^{(ar on a alors}

sin(ωt) = 0

^et

cos(ωt) = 1)

^{. La relation est aussi vraie en}

t = π

2

^{. On obtient}

√ 2 I cos ϕ = √

2 I ₁ cos ϕ ₁ +

√ 2 I ₂ cos ϕ ₂ .

^{Onpeutainsiérire:}

I = √

2 I (cos ϕ +

^j

sin ϕ)

= √

2 I cos ϕ +

^j

√

2 I sin ϕ

= √

2 I ₁ cos ϕ ₁ + √

2 I ₂ cos ϕ ₂ +

^j

√

2 I ₁ sin ϕ ₁ +

^j

√

2 I ₂ sin ϕ ₂

= √

2 I ₁ (cos ϕ ₁ +

^j

sin ϕ ₁ ) + √

2 I ₂ (cos ϕ ₂ +

^j

sin ϕ ₂ )

= I ₁ + I ₂

Exemple : Considérons

i 1 = 2 √ 2 sin

ωt + π 4

et

i 2 = 3 √ 2 sin

ωt − π 6

.

Ondéterminelaformealgébriquede

I 1

^et

I 2

^pouradditionneresnombresplusfailement.

On obtient:

I 1 = 2 cos π

4

+

^j

sin π 4

= √

2 (1 +

^j

) I ₂ = 3

cos

− π 6

+

^j

sin

− π 6

= 3 2

√ 3 −

^j

.

Nous en déduisons que

I = I 1 + I 2 = √

2 + 3 √ 3 2

! +

^j

√ 2 − 3

2

.

Comme on ne reonnais pas de lignes trigonométriques onnues, on utilise des valeurs

approhées.

I ≈ 4, 012289774 − 0, 08578643763

^j

Nousen déduisons quel'intensitéeaevautenviron

| I | ≈ 4, 01

^{Ampèresetune mesure}

de son argument

− 0, 021

^{radians, etdon}

i(t) ≈ 4, 01 √

2 sin(ωt − 0, 021)

5.3.

Impédane omplexe

Définition 15 : impédance

L’impédance complexe du circuit est le nombre complexe Z = U I .

L’impédance du circuit est le module de l’impédance complexe noté | Z |

Théorème 18 :

En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parrallèle, la loi d’association des impédances est la même que celle des résistances, en courant continu, dans le même type de circuit.

Théorème 19 :

L’impédance complexe d’un circuit contenant une résistance est Z = R.

L’impédance complexe d’un circuit contenant une bobine parfaite est Z =

^j

Lω.

L’impédance complexe d’un circuit contenant un condensateur parfait est Z = 1

j

Cω = − 1 Cω

^j

.

Preuve. Onne feraqueleasde labobineparfaite, lesautres as étant similaire.

Par dénitiondel'intensité

i(t)

^,ona

u(t) = L

^d

i(t)

d

t

^.Comme

i(t) = I √

2 sin (ωt + ϕ)

^,onobtient

u(t) = L d(I √

2 sin (ωt + ϕ))

d

t

= LI √

2ω cos (ωt + ϕ)

= LωI √ 2 sin

ωt + ϕ + π 2

ar

sin x + π

2

= cos(x)

Don

U = h

ILω, ϕ + π 2 i

etpar suite,

Z = U I =

h

ILω, ϕ + π 2 i [I, ϕ] = h

Lω, π 2

i =

^j

Lω.

On montre de même que l'impédane omplexe d'un ondensateur parfait de apaité

C

^vaut

1

j

Cω

^{(pardénition}

i(t) = C

^d

u(t)

d

t

⁾

6. Exeries

Révisions

2.1

^{On donne}

z 1 = − 2 + 3

^{j et}

z 2 = 4 −

^{j. Érire sous formealgébrique:}

1

^.

z 1 + z 2

2

^.

2z 1 − 3z 2

3

^.

z ₁ × z ₂

4

^.

z 1 × z 1

5

^.

z ₁ ²

6

^.

z ₁ z 2

7

^.

3 z 1 + z 2

8

^.

z 1 + z 2

z 1 − z 2

2.2

^{Érire sous forme algébriquehaun des nombres omplexes suivants:}

1

^.

z 1 = 5 +

^j

3

^j

2

^.

z ₂ = 2 7 −

^j

3

^.

z 3 = 1 + 2

^j

(2 +

^j

) − 5

4

^.

z 4 = 3 +

^j

(4 + 2

^j

) + (5 −

^j

) 5

^.

z 5 = 3

^j

2 − 5

^j

6

^.

z 6 = 3 +

^j

− 1

1 + 2

^j

7

^.

z 7 = 1 − 3

^j

+ 2 +

^j

3

^j

8

^.

z 8 = 5j

(2 −

^j

) − (2 − 5

^j

) ² 9

^.

z 9 = 5

^j

(2 −

^j

)(3 − 2

^j

)

2.3

^{Érire en fontion de}

x

^et

y

^{la forme algébrique de haun des nombres omplexes}

suivants :

1

^.

5

x +

^j

y 2

^.

2 − 3

^j

x + 4

^j

3

^.

1 +

^j

2 + x +

^j

y 4

^.

5 +

^j

(1 − 3

^j

) − (x +

^j

y)

2.4

^{Résoudre haune des équationssuivantes.}

1

^{. j}

z + 2 −

^j

= 0

^;

2

^{. j}

z = 1 −

^j;

3

^.

(3 + 5

^j

)z = 1 − z

^;

4

^.

1

z +

^j

= 3 +

^j;

5

^.

z + 1 z − 1 = 2

^j;

6

^.

(

^j

z + 1)(z + 3

^j

) = 0

^;

7

^.

(7 −

^j

)z + 3 = 0

^;

8

^.

z − z ^′ =

^j

j

z + z ^′ = 1

^;

9

^.

2z + z ^′ = 1 −

^j

z −

^j

z ^′ = 0

^.

2.5

^{Leplanomplexe}

P

^{est rapporté aurepére} orthonormal

(O; ~u, ~v)

^{d'unitégraphique}

2 m. On note i le nombre omplexe de module1 et d'argument

π 2

^.

Soit

P (z) = z ³ − 8z − 32

^{, où}

z

^{est un nombre omplexe.}

1

^.

a

^{. Caluler}

P (4)

^.

b

^{. Déterminerles réels}

a, b, c

^{tels que:}

P (z) = (z − 4) (az ² + bz + c)

^.

c P (z) = 0

Dans le plan omplexe,ononsidère lespoints A, B, Cet D d'axes respetives:

z

^A

= − 2 − 2

ⁱ

; z

^B

= − 2 + 2

ⁱ

; z

^C

= 2e ^{iπ 3}

^et

z

^D

= z

^B

× z

^C

.

où iest lenombre omplexe de module 1 etd'argument

π 2

^.

2

^{. Déterminer laformealgébrique de}

z

^{C puis elle de}

z

^D.

3

^.

a

^{. Calulerle module etun argument de}

z

^B.

b

^{. Endéduire lemodule et un argument de}

z

^D.

4

^{. Déduire desquestions2.et3.b. lesvaleursexates de}

cos 13π

12

etde

sin 13π

12

.

2.6

1

^{. Mettre sous formealgébrique puis plaer dans un repère haun des nombres suiv-}

ants :

a

^.

z 1 = [4 ; ^π ₄ ]

^;

b

^.

z 2

^{de module}

2

^etd'argument

− ^π ₆

^;

c

^.

z 3 = [1 ; ^4π ₃ ]

^.

2

^{. Mettre sous forme} trignométriquehaun des nombres suivants :

a

^.

z 4 = 2 − 2

^i;

b

^.

z 5 = 2 √

3 + 2

^i;

c

^.

z ₆ = 1

√ 2 (1 +

ⁱ

)

^.

2.7

^{On onsidère lesdeux nombres omplexes suivants:}

z 1 = 1 +

ⁱ

√

3

^et

z 2 = 1 −

^i.

1

^{. Déterminer lemodule et un argumentde}

z 1

^et

z 2

^.

2

^{. En déduirele module etun argument des nombres omplexes :}

z 1 ; 1

z 1

; (z 1 × z 2 ) ; z 1

z 2

; z ₂ ⁸

2.8

^{On note ile nombre omplexede module 1et d'argument}

π 2

^.

1

^{. Résoudre dans l'ensembleC des nombres omplexesl'équation}

z ² + 9

z ² − 9z + 27

= 0.

2

^{. Dans le plan muni d'un repère} orthonormal

(O; ~u, ~v)

^{, d'unité graphique 1 m, on}

onsidère les points A, B etC d'axes respetives :

z

^A

= 3

ⁱ

; z

^B

= 9 2 + 3 √

3

2

^{i et}

z

^C

= 9 2 − 3 √

3 2

ⁱ

.

a

^{. Érire haun des nombres omplexes}

z

^A

, z

^{B et}

z

^{C sous la forme}

r

^ei

^θ

^où

r

^est

un nombre, réel positif et

θ

^{un nombre réel.}

b

^{. Soit I le pointd'axe}

z

^I

= 2

^{. Calulerles distanes AI, BI etCI.}

EndéduirequelespointsA,B etCsontsur un mêmeerledontonpréisera

leentre etle rayon.

c

^{. À l'aide d'une règle et d'un ompas, onstruire les points I, A, B et C. On}

utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de

onstrutionpour lespointsB et C.

2.9

^{On note ile nombre omplexede module 1et d'argument}

π 2

^.

1

^.

a

^{. Résoudre dans l'ensembledes nombres omplexesC l'équationd'inonnue}

z

^:

z ² − 2z + 4 = 0.

On désigne par

z 1

^{la solution de partie imaginaire positive et par}

z 2

^l'autre

solution.

b

^{. Déterminerle module etun argument de haune des solutions.}

c

^{. Endéduirelemoduleetunargumentde}

z ₁ ²

^etde

z ₂ ²

^{;aluleresdeux nombres}

sous formealgébrique.

2

^{. Le plan omplexe est muni d'un repère} orthonormal

(O; ~u, ~v)

^{d'unité graphique 1}

m.

On désigne par A, B, A

′

etB

′

les points d'axes respetives :

z

^A

= 1 +

ⁱ

√

3 ; z

^B

= 1 −

ⁱ

√

3 ; z

A

′ = − 2 + 2

ⁱ

√

3

^et

z

B

′ = − 2 − 2

ⁱ

√ 3.

a

^{. Plaer es points de façon préisedans le plan omplexe.}

b

^{. Justierque AA}

^′

^B

^′

^{B est un trapèze isoèle.}

3

^{. Soit R la rotationde entre O etd'angle}

2π 3

^.

Calulerl'axe des imagesde haun des pointsB et A

′

par la rotationR.

Que remarque-t-on?

2.10

^{Linéariser haune des} expressions suivantes :

1

^.

cos ³ x 2

^.

cos 2x sin 3x

3

^.

sin ⁴ x 4

^.

cos x sin ² x

5

^.

cos ⁴ x 6

^.

cos 5x cos 7x

Déduire une primitive de haune des expressions données.

2.11

^{Lebutdeetexerieestlarésolutiondans}l'intervalle[0,2

π

^{℄del'équation}

2 sin x − sin 3x = 0

^.

1

^{. Linéariser}

sin ³ x

^{et en déduireque :}

4 sin ³ x − sin x = 2 sin x − sin 3x

2

^{. Résoudre dans l'intervalle [0; 2}

π

^{℄ leséquations suivantes :}

a

^.

sin x = 0 b

^.

sin x = ¹ ₂ c

^.

sin x = − ¹ 2

3

^{. Endéduirelessolutions}appartenantàl'intervalle[0;2

π

^{℄del'équation}

2 sin x − sin 3x = 0

^.

Équations du second degré

2.12

^{Enutilisantlaméthodedonnée dansleours,déterminerlarainearréedehaun}

des nombres suivants :

20 + 48

^j

; 3 + 4

^j

; − 3 + 4

^j

; − 16 + 30

^j

;

^j

2.13

^{En utilisant la formule donnée en ours, et les résultats de l'exerie préédent,}

1

^.

z ² + (2 −

^j

)z − 2

^j

= 0 2

^.

z ² + 2z + 1 −

^j

= 0

3

^.

z ² − (3 + 2

^j

)z + (1 + 3

^j

) = 0 4

^.

z ² + 2(1 +

^j

)z − 5(1 + 2

^j

) = 0

5

^.

z ⁴ + (1 − 2

^j

)z ² − 2

^j

= 0

^(poser

X = z ²

⁾

2.14

^{Équation biarrée.}

1

^{. Résoudre dans l'ensembleC l'équation}

z ² − z + 1 = 0

^.

2

^{. Donner les solutionssous forme} trigonométrique.

3

^{. Déduire des questionspréédentes lessolutionsde l'équation}

z ⁴ − z ² + 1 = 0

^.

2.15

^{Equations du seond degré dépendantd'un paramètre.}

Soit

k

^{un nombre réel. On onsidère l'équationd'inonnue}

z

^:

z ² − 2(1 +

^j

k ² )z + 1 − k ⁴ = 0

Le but de e devoir maison est de trouver les solutions, dans C, de ette équation en

fontion de la valeur de

k

^.

1

^{. Cas où}

k = 0

^.

a

^{. Réerirel'équation donnée en remplaçant}

k

^par

0

^.

b

^{. Résoudre alors} l'équation.

2

^{. Cas où}

k = 2

^.

a

^{. Réerirel'équation donnée en remplaçant}

k

^{par savaleur.}

b

^{. Résoudre alors} l'équation.

3

^{. Cas général.}

a

^{. Montrer que le}déterminantde l'équationvaut

∆ = 8k ²

^j.

b

^{. Caluler, en fontion de}

k

^{, laraine arrée de}

∆

^.

c

^{. Endéduire} l'ezpression des solutionsen fontionde

k

^.

d

^{. Remplaer}

k

^par

0

^{puis par}

2

^.que retrouve-t-on?

e

^{. Donner lessolutions de l'équation}

z ² + ( − 2 − 18

^j

)z − 80 = 0

^.

Ligne de niveau

2.16

^En s'inspirantde e qui a été faiten ours :

1

^{. Donner la ligne de niveau 3pour lafontion}

f : z 7→

^Re

(z)

^.

2

^{. Donner la ligne de niveau 4pour lafontion}

f : z 7→ | z |

^.

3

^{. Donner la ligne de niveau 0pour lafontion}

f : z 7→ arg(z)

^.

4

^{. Donner la ligne de niveau -5pour lafontion}

f : z 7→ | z |

^.

5

^{. Donner la ligne de niveau 0pour lafontion}

f : z 7→ | z |

^.

6

^{. Donner la ligne de niveau 3pour lafontion}

f : z 7→

^Im

(z)

^.

2.17

^{On onsidère lafontion}

f : z 7→ | z − (3 + 4

^j

) |

^.

1

^. Interpréter géométriquementle nombre

| z − (3 + 4

^j

) |

^.

2

^{. En déduirela ligne de niveau 3de}

f

^.

2.18

^{On onsidère lafontion}

f : z 7→ arg (z − (3 + 4

^j

))

^.

1

^. Interpréter géométriquementle nombre

arg (z − (3 + 4

^j

))

^.

2

^{. En déduirela ligne de niveau}

π

2

^de

f

^.