Mercredi4Octobre2020 RedaChhaibi Chapitre2:Nombrescomplexes

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Chapitre 2 : Nombres complexes

Reda Chhaibi

Bureau 212 – Bâtiment 1R2 [email protected]

Mercredi 4 Octobre 2020

(2)

Racinesn-ièmes Représentation graphique des racinesn-ièmes Quelques applications À venir

CM14 : Racines n-ièmes d’un nombre complexe

But :sous quelles conditions sur les affixes de A, B et C un triangle ABC est-il équilatéral ?

Plan :

• définir la notion de racinen-ième,

• en calculer certaines et les placer dans le plan complexe,

• les utiliser pour des applications (géométrie, factorisation de polynôme).

a E Q

Remarque^: ^Racine ^2e ⁼ ^Racine ^carries ^X

'

-a

I -

M Racine me Xn^- ^a ⁼ ⁰ ⁱ t

i

,

lien _avec

[email protected]^"T=^-^I

µ7o9i¥i¥

_generate ⁴⁼⁰ _@^x42x+B=o⁺_Az₎'t ^B-24--0

de ^la forme y^'^- ^a ^-0

(3)

Question 1

L’égalitée^ik^º=°1 est :

1 vraie seulement lorsquek=1

2 vraie seulement lorsquek=2

3 vraie pour tout entierk impair

4 vraie pour tout entierk pair

5 jamais vraie

k-_2pt1

i kit

, eiC2pt^'⁾^IT

e

= ei2pT×ei^'T ⁼ ^- ^I

- -

I ^-^I

-

(4)

Proposition 17 L’égalité

Ωeⁱ^µ=Ω⁰eⁱ^µ⁰, avec ^Ω,Ω⁰2R^§₊ et^µ,µ⁰2R, est équivalente à

Ω=Ω⁰ et ^µ=µ⁰+2k^º avec k2Z.

Proposition 18

Pour tout n₂N^§,Ω2R^§₊etµ2R, nous avons

≥ Ωeⁱ^µ¥n

=Ωⁿeⁱⁿ^µ.

DEJA Y U

et ^c^'est êe quiôn ^va ûtilise^.^!

(5)

1. Racines n-ièmes

Definition

Soitn2N^§. On appelle racine n^ième d’un nombre complexez tout nombre complexe^±tel que

±ⁿ=z.

On appelleracine n^ième de l’unité les racines n^ième dez=1.

Remarque

Lorsque n₌2 ce sont les racines carrées.

2-Eddard

et ^on cheeche S

a-

(6)

Exemple 4

Déterminer l’ensemble

{i^k|k2N^§}.

En déduire des racines 4-ièmes de l’unité.

identify

Q s

k I 2 3 ⁴ 5 67-8

ik ⁱ ît^. ^-^l ^- ⁱ î. Î ⁱ ^- ⁱ ^- ⁱ ¹

↳ I -7

xi ^xi i

' si k =4pt1 ⁼ ^I ^[4)

si k=4pt2 ^I ²²⁴^] is --L÷÷e:¥^?

(7)

Question 2

Soit^±une racinen-ième dez. Alors, pour toutn2N,

1 ±est aussi une racinen-ième dez.

2 ±est une racinen-ième dez.

3 °±est une racinen-ième dez.

4 °±est une racinen-ième de°z.

5 Aucune des propositions précédentes n’est vraie.

Ona: S ⁿ ⁼ ^=L

Sn ⁼ ^I ?

Jn^-- E ?

E 8)ⁿ ⁼ ^Z ? ^Krai ^si ⁿ ^pair

C- 8)ⁿ ⁼ ^-^2- ? ^Krai_impair^-^sin

C-8)ⁿ ⁼ ^a)

n gⁿ

l l

t si npair

⑨o -i si ^m impair

(8)

Proposition 19

L’ensembleUn des racinesn-ièmes de l’unité est Un=n

eⁱ^2kºⁿ |k2{0,1,···,n°1}o

=n

1,eⁱ^2ºⁿ,eⁱ^4ºⁿ, ...,eⁱ^2(n°1)ºⁿ ^o.

Remarque 1 Il y en a n.

(^suite ^de ^prance) ^on ^doit ^s ⁼ pei^@ ①f^: Rat;Rat ^bigot

sn=Ia en^-êin ¥^⇐^D{fnI=^f ^=L^? ôêtcnn.dat.at#oitny^f ⁼ ÂINT ^{ke z}

Dono _g= e'HII KEK Mais

eid ^IT^, eidhatti.at

= EISAI_N REPETITIONS

Done on se restraint

Iraq ^: ^L'^e'^nonce

' dit _ai

UnEet g ^Sed ^I ⁸^" ⁼ ^I} _a

,a

, ^. ^. ^-^- , en^-i)

I he

tropes g êi2kIn Î ^f=o^, Î^, ^r^-^-^- ^, ^m^-1)

⑦^Si ^S ⁼ ^e'21nF Akers Sn = Lekha^'T⁾ⁿ⁼ eidh-IX-eio.IS

Done OK ^.

② ^si ^s^"⁼ Î Âeors â^-^t^-ôn ⁸^-^- ê

"

pour k

In ⁱ_?

(9)

Question 3

Choisissez la bonne réponse.

1 e^3iº⁸ est une racine 3-ième de l’unité.

5 Aucune des propositions ci-dessus n’est vraie.

@ sift)^! ^ei ³¹⁵₃_MIT^? ¹

g- ⁿ

91178 ³

= IF ⁶

31T 8

6IT 16

(10)

2. Représentation graphique des racines n-ièmes

Exemple 5

Représenter dans le plan complexe

1 les racines cubiques de l’unité,

2 les racines 4-ièmes de l’unité,

3 les racines 5-ièmes de l’unité,

4 les racines 8-ièmes de l’unité.

(11)

Réponse en image

Représentons les racines cubique de l’unité :

1 A B

C

||

µ₃

ED X Uz={ ^EEE^k=0^,^1,2^, ^}

= {^I^;ei2E^;

ei⁴¹⁷³)

•

Et)

= { Ii _ji _I}

(Notation

[g) Classique)

(12)

Représentons les racines 4-ièmes de l’unité :

1 A B

C

D

||

|| ||

µ₄

Eis X ^by ^. ^{ ^eiIfih=o⁴⁴³^,⁾

= { ^tie ⁱ

eirieirhay

E-it

E"

= {^Iii^; ^-^l^;^-ⁱ}

Ei ]

(13)

1 A B

C

D

E

||

µ₅

(14)

1 A B C

D

E

F

G

H

||

||||

|| ||

||

µ₈

(15)

Question 4

Le polygone ^µn admet pour axe de symétrie l’axe des abscisses.

1 Cette affirmation est fausse.

2 Cette affirmation est vraie.

3 Cette affirmation est vraie si et seulement sinest pair.

4 Cette affirmation est vraie si et seulement sinest impair.

5 J’ai réfléchi mais je ne sais pas répondre.

⇐^D Syme

'tri que ^par ^-

(⁸⁷¹ ^⇐^is ^In^-_ 1)

(16)

Question 5

Le polygone ^µn admet 0 pour un centre de symétrie.

1 Cette affirmation est fausse.

2 Cette affirmation est vraie.

3 Cette affirmation est vraie si et seulement sinest pair.

4 Cette affirmation est vraie si et seulement sinest impair.

5 J’ai réfléchi mais je ne sais pas répondre.

Sn= I

c-site ?

Lars_que ⁿ _pair

#

sgmetrie.de Uz MI^-z

-

(17)

Soitz=Ωeⁱ^µ, avec Ω>0 et µ2R.

Les racinesn-ièmes dez sont les nombres±=r eⁱ^Æ vérifiant

±ⁿ=(r eⁱ^Æ)ⁿ=rⁿe^{i n}^Æ=Ωeⁱ^µ. Cette égalité est équivalente à

rⁿ=Ω et n^Æ=µ+2k^º pour unk2Z.

Sn ⁼ ^2- ? ^Racine ⁿ^-^idmes

dans Cl

(par identified ^1.1 ^& Arg)

A↳^← ^can ^see ^Rt

re y

'the

(18)

Proposition 20

L’ensembleRn(z)des racinesn-ièmes dez est Rn(z)=n

Ω¹ⁿeⁱ^µ+2kºⁿ |k2{0,1,···,n°1}o .

Remarque

Lorsque z6=0, il y an_Ilracinesn-ièmes dez.

]

card {91,2, ^. ^-^- , n^-i}

(19)

Exemple 6

Représenter dans le plan complexe

1 Les racines cubiques de 27.

2 Les racines 4-ièmes de °25i.

3 Les racines cubiques de°2+2i.

if 2- ⁼ q ^e

27 ⁼ ²⁷ eio

↳ punk⁷⁾

= {3eiafI_,

k=942}

2- = ^-2+2ⁱ _{j Iz}I ⁼ Tha ^-^- 1/87=2427

= 21121^-Fha tafia⁾ ⁼ ^2B ^IEEE ⁾

= 2112 ei344 ^e^'

(20)

Représentons les racines cubiques de 27.

1 2 3

A B

C

||

(21)

Représentons les racines 4-ièmes de_°25i.

1 2 3

A B

D C

||

-25in ²⁵ ^e-it's

↳

i

k-9242,3)

={ ^VIII.^eiae.IT, k^-^-942,3}

={iBexwI

Linsey] ^-0444

-i

(22)

3. Quelques applications

À la résolution d’équations polynomiales

Exercice 17 Vérifier que

(z°1)(zⁿ+zⁿ^°¹+ ··· +z+1)=zⁿ⁺¹°1. En déduire les solutionsz2Cde l’équation

zⁿ+zⁿ^°¹+ ··· +z+1=0.

£^Mt

'

, y

-

z ^- I

11

Somme des ^tames consentif

d^'^ane suite geom ^de ^raison ^z

m µ ^info^doit

lasolution

§ ^a^=L ^.

€7 { 0=17-1112-7 zn^-^'+^. ^.^-+f) ⁼ ^2-

""

-L

2- I

#D ^2- ^racine kettle ^de^I _# _z=^e'^'27¥ _,

{ ^Z^#^t _k¥1,2, ^r^-^-in

(23)

À la factorisation de polynômes

SiP(z)=z³+z²+z+1, on appelleracine du polynômeP tout nombre complexe±tel queP(±)=0.

Nous verrons (dans le chapitre sur les polynômes) que si P(^±1)=0,P(^±2)=0 etP(^±3)=0, avec^±1,^±2et^±3 tous distincts alors

P(z)=(z°±₁)(z°±₂)(z°±₃).

Exemple

• Vérifier quei est racine deP.

• En déduire que°i est aussi racine deP.

• Vérifier que°1 est aussi racine deP.

• En déduire une factorisation deP.

Factorsat

dans ①

Factorisat

dans 112

= O

Ici) ⁼^It^it ⁱ^'t ⁱ

'

0=E=ICiT=I#

-

= Iti)

Iti)= I_I^-I ₂₃ f-

= 1^- Itt^- ¹⁼⁰

Done Itt)⁼ ^€^-ⁱ^)G-^ti)^tht^t) ⁼ 12-2+1)^Cz

(24)

Exercice 18

Factoriser les polynômes suivants :

1 P1(z)₌z³_°1.

2 P2(z)=z⁶°1.

3 P3(z)=z⁶+1.

4 P4(z)=z⁴+z²+1.

Izlzl^-^-^o

= IT tf ^-^w) It⁼ ^-^I

} woagingge

)

^⇐^⇐îs ^zâ-⁼ ê'^racine^'Î^k^. ê'⁼Êf^'^91,2^2k¥^,^.Êir^-^;5

Puff¹⁼⁰ ^Hi ^2-^" ^t^'t^'t ^I ⁼ ^O

⇐ { ^to^- ^t ^so

I ^E-Hx

£2^-^t to

⇐D F racine Ge

{^a-^# ^sung ^. ^. ^- ^.

(25)

À la géométrie

Exercice 19

SoientAd’affixea,B d’affixeb, etC d’affixe ctrois points distincts du plan complexe. Montrer que le triangle ABC est équilatéral (avec A, Bet C positionnés dans le sens trigonométrique) si et seulement

si a+jb+j²c=0,

où j=eⁱ^2º³.

ABC triangle equilateral ^-_my

AB ⁼ ^AC £Bt=e

{LATE,AI) ⁼ Tb ^K^-^ZA

⇐is I_2-B^- ZAI ⁼ (^Ze^-ZAI ^¥7 b-a- = E'^ITG

{ _Arg Eza=TB/ZB ^b-c- aâ ⁼ Êtb^Ce^-â)

⇐DO⁼ ^a^-b +e-^its

j=j2=ei¥=e-ⁱ³ ^Cc^-^al

- = act^.ETB₎ ^-b

1.eitb_, _e- (_z^-IFL) + reitz

A

→/ _C ⁼ ⁺z ^ti Bz ^# O = a eti^"T3 -b

°

Tb ₌ e'ITB ^-_IMB

- to ^e

⇐a D= ^a + bfei"T3/^a c e-Ez

B ^ca ^-Ei"T3= ^- _Ga^-i¥t=ztiBz=j man_j ^w_j'd

(26)

À venir

• CC2 dans 2 semaines

• à priori en présentiel.

• en attente de confirmation de la FSI.

• TD 14 : préparer la question 1 de l’exercice 27

• Dates limites DM WIMS :

• DM6 - Nombres complexes - 8 novembre 2020

• DM7 - Forme exponentielle et formules trigonométriques - 15 novembre 2020

• DM8 - Racines carrées et équations du second degré - 29 novembre 2020

• ...