oùdécrit les racines primitivesn−ièmes de l’unité

Calcul du discriminant du polynôme cyclotomique :

Soitn≥2. Soit∆ le discriminant de Φ_n(X), len−ième polynôme cycloto- mique. On connaît déjà le signe de∆ : c’est(−1)^ϕ(n)/2carΦ_n(X)n’a que des racines complexes conjuguées (cf.la fiche X).

Calculons|∆|:

|∆|=Y

|Φ⁰_n()|

oùdécrit les racines primitivesn−ièmes de l’unité.

Or, d’après la formule d’inversion de Möbius : Φ_n(X) =Y

d|n

(X^d−1)^µ(n/d)

= (Xⁿ−1)Y

d|n d<n

(X^d−1)^µ(n/d)

oùµ(n/d) =







(−1)^r sin/d=p₁...p_r avecp₁< ... < p_r premiers 0 sinon

. Donc :

Φ⁰_n(X) =nXⁿ⁻¹Y

d|n d<n

(X^d−1)^µ(n/d)mod (Xⁿ−1)

⇒Φ⁰_n() =nⁿ⁻¹Y

d|n d<n

(^d−1)^µ(n/d)

pour toute racine primitiven−ième de l’unité.

Ainsi :

|∆|=n^ϕ(n)Y

d|n d<n

Y

|^d−1|^µ(n/d)

or, lorsque est une racine primitive n−ième de l’unité,^d est une racine primitive (n/d)−ième de l’unité. Plus précisément, si on note Π_k l’ensemble des racines primitivesk−ièmes de l’unité, le morphisme :

Π_n→Π_n/d 7→^d est surjectif.

En effet, posonsk:=n/d; on peut identifierΠ_nà(Z/nZ)^×etΠ_kà(Z/kZ)^× et le morphisme ci-dessus au morphisme de groupes :

(Z/nZ)^×→(Z/kZ)^× xmodn7→xmodk .

Ce morphisme est surjectif ! C’est facile si n=p^r pour un certain nombre premier p. Pour le cas général : n=p^r₁¹...p^r_t^t pour des nombres premiers dis- tinctspi,k=p^s₁¹...p^s_t^t avecsi≤ri et on utilise le théorème des isomorphismes chinois :

(Z/nZ)^×'(Z/p^r₁¹)^××...×(Z/p^r_s^s) ... on obtient un produit cartésien de morphismes surjectifs.

Donc le morphisme (de groupes (on munitΠn,Πkdes structures de groupes de(Z/nZ)^×,(Z/kZ)^×)) :

Πn →Πk 7→^d est surjectif de noyau de cardinal :

|noyau|= |Πn|

|Πk|

=ϕ(n)/ϕ(k) =ϕ(n)/ϕ(n/d) . Par conséquent :

Y

|^d−1|=Y

⁰

|⁰−1|ϕ(n)/ϕ(n/d)

où⁰ décrit les racine primitives(n/d)−ièmes de l’unité.

Donc : Y

|^d−1|=Y

⁰

|⁰−1|ϕ(n)/ϕ(n/d)= Φn/d(1)ϕ(n)/ϕ(n/d) .

Or pour un entierm, Φm(1) =







psim=p^r, r≥1, ppremier 1sinon

. En effet d’une part :

Φp^r(X) = Φp(X^pr−1) = 1 +X^pr−1+....+X^{pr−1(p−1)},

et d’autre part, si n = p^a₁¹...p^a_r^r, avec des nombres premiers pi deux à deux distincts :

n= Xⁿ−1

X−1 |_X=1 = Y

d|n d>1

Φ_d(1)

=Y

i

p^a_iⁱY

d

Φd(1)

où d décrit les diviseurs de n qui ne sont pas une puissance d’un nombre premier. Ainsi Φd(1) =±1 sidn’est pas une puissance d’un nombre premier

et donc dans ce casΦd(1) = 1(par la formule d’inversion de Möbius il est facile de voir queΦd(1)≥0).

Pour résumer :

|∆|=n^ϕ(n) Y

ppremier

Y

a>0

Y

d|n n/d=pa

(p^ϕ(n)/ϕ(pa))^µ(pa)

=n^ϕ(n) Y

p|n ppremier

p−ϕ(n)/(p−1) .

Conclusion le discriminant du polynôme cyclotomiqueΦ_n(X)est donné par la formule :

∆ = (−1)^ϕ(n)/2 n^ϕ(n) Q

p|n ppremier

p^{ϕ(n)/(p−1)} .

Anneau des entiers d’une extension cyclotomique

Soitpun nombre premier et soit z une racine primitive p^r−ième de l’unité.

On va montrer que l’anneau des entiers de Q(z)estZ[z].

On noteB l’anneau des entiers de Q(z). Le polynôme minimal de z surQ est le polynôme :

Φp^r(X) = Φp(X^pr−1= 1 +X^pr−1+...+X^{pr−1(p−1)} .

Soitπ:= 1−z. On a :

N_Q(z)/Q(π) =Y

i

(1−z_i)

où leszisont les conjugués dezi.e.les racines primitivesp^r−ièmes de l’unité.

Donc :

N_Q(z)/Q(π) = Φp^r(1) =p .

Soit e := (e1, ..., en) une Z−base de B (où n = p^r). Soit P la matrice de passage de (e1, ..., en) dans z := (1, ..., zⁿ⁻¹)(ce sont deux bases de Q(z) commeQ−espace vectoriel).

SoitJ :=Z[z]. C’est un sous-Z−module libre deB. Donc d’après le théorème de la base adaptée, il existe une basef := (f1, ..., fn)deB,d1, ..., dndes entiers tels que :

d1|d2|...|dnetf⁰ := (d1e1, ..., dnen)

est une base deJ. Alors :

B/J'Z/d₁×....×Z/d_n

⇒ |B/J|=d1...dn .

SoientPe,f, Pf ,f⁰, Pf⁰,z les matrices de passage deeàf, def àf⁰ et def⁰ à z. Alors :

P=Pe,fPf ,f⁰Pf⁰,z

doncd´etP =±d´etPf ,f⁰ =±d1...dn (carPe,f et Pf⁰,z sont des matrices dans GLn(Z)(donc de déterminants±1) en tant que matrices de passage entre deux bases d’un mêmeZ−module libre).

On considère la forme bilinéaire :

b:Q(z)×Q(z)→Q, (x, y)7→Tr(xy) oùTrest la trace relativement à l’extensionQ(z)/Q.

Dans la base 1, ..., zⁿ⁻¹, le déterminant deb est Disc(1, ..., zⁿ⁻¹). Donc, en utilisant les formules de changement de bases pour les matrices des formes bilinéaires, on trouve :

Disc(1, ..., zⁿ⁻¹) = d´etP²d oùdest le discriminant de la basee1, ..., en.

Donc :

Disc(1, ..., zⁿ⁻¹) =|B/J|²d .

Or, Disc(1, ..., zⁿ⁻¹) est aussi le discriminant du polynôme cyclotomique Φ_n(X) = Φ_pr(X). C’est donc un puissance de p. Donc B/J est groupe fini d’ordrep^N pour un certainN. On a alorsp^NB/J= 0 i.e.p^NB ⊆J.

CommeN(π) =p,p∈πB. Donc pZ⊆πB∩Z. Comme N(π)6= 1,πn’est pas inversible dansB et :

pZ⊆πB∩Z⊂

6=Z d’où :pZ=πB∩ZcarpZest un idéal maximal deZ.

Donc on a un morphisme injectif d’anneaux :

Z/pZ→B/πBB kmodp7→kmodπB .

Or,|B/πB|=|N(π)|=pdonc ce morphisme est un isomorphisme.

Soitb∈B. Il existe donca₀∈Z⊆Z[z],b₁∈B tels queb=b₀+πb₁. Donc B=Z[z] +πB.

De même, il existea₁∈Z,b₂∈B tels que : b1=a1+πb2

⇒b=a0+πa1+π²b2

⇒b∈Z[z] +π²B

carπ= 1−z∈Z[z]. Par récurrence, on en déduit facilement que : B=Z[z] +π^mB

pour toutm.

On a :

N(π) =

p^r−1

Y

i=1 i∧p=1

(1−zⁱ) =p

=π^ϕ(pr)

p^r−1

Y

i=1 i∧p=1

1−zⁱ 1−z .

Or N

1−zⁱ 1−z

= 1 et comme ^1−z_1−zⁱ = 1 +...+zⁱ⁻¹ ∈B, ^1−z_1−zⁱ est inversible dansB. Doncπ^ϕ(pr)=pupour un certainu∈B^×.

On a donc pour toutm,Z[z] +p^mB=Z[z] +π^ϕ(pr)mB=B.

En particulier pourm=N :

Z[z] +p^NB=Z[z] =B .

Soient K, Ldeux extensions deQde degrés respectifs m, ncontenues dans C. On suppose que l’extensionKLest de degrémnsurQ.

Notons PK l’ensemble des Q−plongements de K dans C. On définit de mêmePL et PKL.

L’application :

PKL→PK×PL

s7→(s|K, s|L)

est injective puisqueK, LengendrentKL. Or comme on est en caractéristique nulle, on a :

|PKL|= [KL:Q] =mn= [K:Q][L:Q] =|PK||PL| .

Donc l’application ci-dessus est aussi surjective , autrement dit, pour tous plongementss1, s2deK et deLdansC, il existe un plongement (unique)sde KLdansCtel ques|K =s1, s|L =s2.

SoientR, S, Tles anneaux des entiers algébriques (surZ) des corpsK, L, KL.

On noteraRS le sous-anneau deT engendré parR, S.

Soientr1, ..., rmune Z−base deR ets1, ..., sn uneZ−base deS.

La famille {risj : 1≤i ≤m,1 ≤j ≤n} engendre le Q−espace vectoriel KL. CommeKLest de dimensionmn, cette famille est donc une base.

Sia∈T, alors il existe des entiersci,j, q∈Ztels que : a=X

i,j

ci,j

q risj .

Quitte à simplifier les fractions on peut supposer que q est premier avec l’ensemble desci,j.

Notonsσ1, ..., σn lesQ−plongements deL dansC.

Comme on l’a déjà vu précédemment, chaque σi peut se prolonger en un uniqueQ−plongement deKLdansCqui est l’identité surK. On note encore σi un tel prolongement.

On a donc :

σi(a) =

n

X

j=1

djσi(sj) pour toutioù :dj :=Pm

k=1 c_k,j

q rk.

Donc :









 σ₁(a)

... σn(a)











=A⁻¹









 d₁

... dn











oùAest la matrice(σi(sj))_1≤i,j≤n∈Mn(S). Cette matrice est bien inversible car

d´etA²= Disc(S) . PuisqueA⁻¹=_d´et¹_A^tA, on a :e

d₁, ..., d_n ∈ 1

d´etAS⊆ 1 Disc(S)S en particulier :

m

X

k=1

Disc(S)ck,j

q rk

est entier surZpour toutj (et c’est aussi un élément deK). Donc :

m

X

k=1

Disc(S)c_k,j q r_k ∈R pour toutj.

Puisque lesr_k forment uneZ−base deR, on a forcément : Disc(S)ck,j

q ∈Z

pour tousk, j. Doncq|Disc(S)puisqueqest premier avec l’ensemble desck,j.

De même on peut montrer queqdiviseDisc(R). Donc : RS⊆T ⊆d⁻¹T

oùdest le pgcd des discriminants deRet S.

Application :On montre par récurrence surn≥1que l’anneau des entiers B_ndu corps cyclotomiqueQ(z_n)(z_nest une racine primitiven−ième de l’unité) estB_n=Z[z_n].

C’est facile pourn= 1. Supposonsn >1. Soitpun diviseur premier denet p^rla puissance maximale depqui divise n. Soit1≤n⁰< ntel que :

n=p^rn⁰ .

Commep^ret n⁰ sont premiers entre eux,Q(zn⁰)Q(zp^r) =Q(zn)et [Q(zn) : Q] =ϕ(n) =ϕ(n⁰)ϕ(p^r) = [Q(zn⁰) :Q][Q(zp^r) :Q].

Par hypothèse de récurrence : Bn⁰ =Z[zn⁰]. D’après ce qu’on a montré au début, on a aussi :Bp^r =Z[zp^r].

Or, le discriminant de Z[zn⁰] = Bn⁰ est le discriminant du polynômeeΦn⁰

et le discriminant deZ[zp^r] =Bp^r est le discriminant du polynômee Φp^r. Ces deux discriminants sont donc premiers entre eux (cf.la formule du discriminant d’un polynôme cyclotomique). Donc on a :

B_n⁰B_pr=B_n

⇔Z[z_n⁰]Z[z_pr] =B_n .

Pour conclure, on vérifie facilement queZ[z_n⁰]Z[z_pr] =Z[z_n].

q.e.d.