Jeudi15Octobre2020 RedaChhaibi Chapitre2:Nombrescomplexes

Chapitre 2 : Nombres complexes

Reda Chhaibi

Bureau 212 – Bâtiment 1R2 [email protected]

Jeudi 15 Octobre 2020

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

CM11 : Exponentielle d’un nombre complexe

But :donner le module et l’argument de(1+i)⁵¹.

Plan :

• les nombres complexes de module 1,

• les formules d’Euler et de Moivre,

• exponentielle complexe et argument.

Itil ^set

Lez)

51£

= e

1. Nombres complexes de module 1

Definition

L’ensemble des nombres complexes de module 1, notéU, est : U={z2C, |z| =1}.

z=a+ib2U,a²+b²=1. ¹

U

O

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Soientz,z⁰2U alors :

• zz⁰2U

• 1 z^2U.

On dit que l’ensembleU eststable par produit et par quotient.

/Ireuxeim

^E.

^HUXU

^{lalita 't}

D ₌ 1×1 ^{= 1}

I # I

# ^=¥=t

Dof

1 U

O b

a µ

[z]=[a+ib]

Il existe un unique^µ dans[0,2^º[tel quea=cos^µ,b=sin^µ et le cercle est paramétré parz(^µ)=cos^µ+isin^µ.

On définite^iµ par : e^iµ:=cos^µ+isin^µ.

e

"

x

EIR

pie ^{f EIR}

a- ee

EFF

^ea _?

① ^Definition

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Question 1

Le nombre complexe z=cos^≥º6

¥°isin^≥º6

¥s’écrit :

1 z=e^iµ pour^µ=º 6,

2 z=e^iµ pour^µ=5^º 6 ,

3 z=e^iµ pourµ=7^º 6 ,

4 z=e^iµ pourµ=11º 6 .

= cos

C

II ⁾

^C

ft

)

= cos ^{t i s}

in

GFI )

= cosa _{t is}ⁱⁿ

00

Question 2

Le nombre complexe z=°cos^≥º6

¥+isin^≥º6

¥s’écrit :

1 z=e^iµ pourµ=º 6,

2 z=e^iµ pourµ=°º 6,

3 z=e^iµ pourµ=5º 6 ,

4 z=e^iµ pourµ=7º 6 .

= cos

CFI ⁾

⁽ 5ft)

= eⁱ

5476

O

.

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Proposition 5

On a e^2iº=e⁰=1et e^iº=°1. Pour tout µ2R,

e^iµ=e^°iµ.

eiw.de ^'t

)

)

* ⇐

go.LI/:.:::.::::ni:s

-

= ^-I to^.' . = ^-I .

if def ^-

def

e ⁼ coso-tisc.no ⁼ cost ^-isin A

=

costa ) tisinto ) Etheria

Exercice 6

Positionner sur le cercle trigonométrique les points d’affixes

1 °i

2 e^iº

3 e^°iº3

4 e^°iº6

5 ie^°iº3

6 e^5iº4

7 e^°3iº2

8 e⁰

9 e^2iº3

[_°i]

[e^iº]

[e^°iº/3] [e^°iº/6] [ie^°iº/3]

[e^5iº/4]

[e^°3iº/2]

[e⁰]

[e^2iº/3]

O ^ie

^ITB

= i

( ^{eosftfg )}

P

tisinfitz) )

O

^{:( Ya}

ing )

0000

^{iz tha}

= cos

rising

= eiT6 _.

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

2. Formules d’Euler et de Moivre

Proposition 6. Formules d’Euler On a les égalités suivantes :

• cos(µ)=e^iµ+e^°iµ

2 ,

• sin(^µ)=e^iµ°e^°iµ 2i .

does ^roos

rappeeee

RE

)

Etz T

Im

E)

Irene

^applique

for

§ ^F TF

^eio

cos a ⁼ Re

eia

ei0zeeei0

sine = Im e ₌ e'

'

a- e#

=

eia

{

_to

Question 3

Six est un nombre réel alors(e^ix°e^°ix)⁴ vaut :

1 °16sin⁴(x)

2 16sin⁴(x)

3 16cos⁴(x)

4 2isin(4x)

ein

2T

Done

@

'

94

@

)

=

24

sink

= 16 sin^"se

o X

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Proposition 7. À savoir par cœur Pour tout a,b2R, on a les égalités

1 cos(a+b)=cos(a)cos(b)°sin(a)sin(b),

2 cos(a°b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b),

3 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),

4 sin(a°b)=sin(a)cos(b)°sin(b)cos(a).

Irade

⑤

&④

#

)

@

ya

Maintenon

②

yea

^Bgb

• ^:

cos

°

cos @^-b

)

= OAT^.

oB→

=L :::i .se ^: :B

= Cosa ^. costs

+ ^{sina- sin}b.

Cette table ^de formula

est ^{EQUI VALENTE} at ↳

Proposition 8. et 9.

Soient ^µ,µ⁰2R. On a :

1 e^iµ£e^iµ0=e^i(µ+µ0),

2 (e^iµ)^°1=e^°iµ.

France

I ^.

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Proposition 10. Formule de Moivre Pour n2N^§ etµ2R, on a

e^inµ=≥ e^iµ¥n. Autrement dit :

cos(n^µ)+isin(n^µ)=(cos(^µ)+isin(^µ))ⁿ.

cosCmo

)

= Cos Cn^-III ^{. cos a - sin@-}c)^a

= ^{sin a}

= - - - -

NOI

Irene

eine

ei O-tOt

m n

fois

eiaeio

eeiqei0= ^{@ ion}

=ei^to _n

foes

n

fois

Question 4

La fonctionR!C,t7!(e^it)² est périodique de période :

1 1,

2 2º,

3 º,

4 n’est pas périodique.

eit

=

eiht

= cos It tigin2t

#

IT-

perriodique

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Exercice

Calculer avec et sans la formule de Moivre^≥°¹₂+i^p₂³¥₄ .

Catto^)"

M-1 _@

)4=a4t4a3b

teeth E) _Eff

a2t2ab*b2 ^{2 12 I}

+4

b3

a3t3a2btZbaa ^} 3/1

4/146

^'t

I ^{II ←}

AVEX iesin@iTfg7_ei2H3fztihzJ4deffei3IjEei2x4zI.ei Iti Ef

@g ⁾

deMoine ^c'21173

= e

SAIS

₍ =ztiIz)4=

⁾

_{Iti Bk}

.

=

34+413731*237+6 ⁽

¥77 _4LzKiMzP

c'est pas

genial

CIE )4=

3. Exponentielle complexe et argument

Soitz6=0, alors z

|z|2U donc est de

la formee^iµ,^µ2R. ^µ

|z|

a b

[z]=[a+ib]

|zz|

Definition

L’argument principal de z, noté Arg(z), est l’uniqueµ2[0,2º[tel que z

|z|=e^iµ.

Ainsi, tout nombre complexez s’écrit :z= |z|e^iµ. C’est l’écriture sous forme exponentielledez.

= Cosa t isⁱⁿa

-

-

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Proposition 12. Unicité de l’écriture (modulo 2º)

Soit z un complexe non nul. Il existe un uniquer>0 et un unique µ2[0,2º[tels quez=re^iµ. Le réelr est le module dez etµ est son argument.

Soient r,r⁰>0 deux réels strictement positifs etÆ,Ø2R. Si re^iÆ=r⁰e^iØ,

alors

r=r⁰ et Æ=Ø+2k^º, pour un certain entier k2Z.

Dreier

^reid

Aeors

I

I

leeidl

^Is

^B1

= K

Dnc

eid

eiB←→ {

Question 5

Quelle est la forme exponentielle de°e^iº2?

1 il est déjà écrit sous forme exponentielle.

2 e^iº2

3 e^i3º2

4 e^iº

5 °i.

i

372

- i ₌ e

-

-

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Proposition 13. Conséquence de la proposition précédente Siz,z⁰6=0, on a

• Arg(zz⁰)=Arg(z)+Arg(z⁰)+2kº, pour un certain entierk2Z,

• Arg µ1

z

∂

=°Arg(z)+2kº, pour un certain entier k2Z,

• Arg≥z z⁰

¥=Arg(z)°Arg(z⁰)+2kº, pour un certain entierk2Z.

Remarque

L’égalitéa=b+2k^º, pour un certain entier k2Zs’écrit aussi a=b[2^º].

On dit que aestcongru à b modulo 2^º.

2- ⁼

Izlei Arg

£i=Iz4eiArg£

Done izz^' =

Izzy eittrgz

^eiArg

✓

= lazy

eittrgzz

onsets

de

# lot

-

Larga targa

)

=

eittrg

Done ^e'

Done

Arg

Arg

^Arg

Question 6 On aArg≥ ₁

e^iº6

¥=

1 º 6 2 °i^º₆

3 °^º₆

4 11º 6

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Exercice 8

Donner le module et l’argument des complexes

1 °2i,

2 1+i,

3 (1+i)⁵¹,

4 °e^iµ,

5 °e^iµ 1+i.

Soitz=a+ib2C. On définit l’exponentielle d’un nombre complexe par la formule suivante

exp(z)=e^ae^ib. On notera aussie^a+ib=e^ae^ib.

Pour toutz,z⁰2C, on a

exp(z)exp(z⁰)=exp(z+z⁰).

module

Definition finale

N r

i 2- ⁼

atib

exp

) =e£÷ ea eib

÷

Lcosbtisinb )

=

g ⁿ

e

? en 's extra

eia

eia's eiottoy

Foe

EIR ( Analyse

) ^{( TRIGO} )

Nombre complexe de module 1 Formules d’Euler et de Moivre Exponentielle complexe et argument À venir

Question 7

L’ensembleM des points du plan ayant son affixez qui vérifie Arg(z)=13º

7 est :

1 un disque,

2 un cercle,

3 un segment,

4 une demi-droite,

5 une droite.

À venir

• TD 11 : préparer la question 1.(a) de l’exercice 7

• Dates limites DM WIMS :

• DM4 - Étude qualitative de fonctions - 11 octobre 2020

• DM5 - Intégrales et primitives - 25 octobre 2020

• DM6 - Nombres complexes - 8 novembre 2020

• ...