Exercice 288 page 269

(1)

Exercices 288 à 293 EM 66

1 / 3

Exercice 288 page 269

1)

² ₂ ₂ ₂ ₂

2

2 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1

ln 1 3 arctan

x x dx x dx x dx

x x x x

x x x cte

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ++ = ⎜⎜⎜⎝ + + ⎟+ ⎟⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎜⎝ + + + + ⎟⎟⎟⎟⎠

= + + + +

⌠ ⌠ ⌠

⎮ ⎮⌡ ⎮⌡

⌡

2)

³₂ ² ² ¹ ¹ ² ln 1

1 2

2 1

x x dx x dx x x cte

x x x

⎛ ⎞

++ +− = ⎜⎜⎜⎝ − + ⎟⎟⎟⎠ = − + +

⌠ ⌠

⎮

⎮ ⌡

⌡

Exercice 289 page 269

a)

²^x²^{− + =}^x ¹

(

²^x⁻¹₄ ²

)

²⁺⁷₈

mais, on va utiliser la formule des arctangentes !!

b)

Δ = − = − <1 8 7 0

et donc, la formule donne:

₂ ¹ ² arctan⁴ ¹

7 7

2 1

dx x cte

x x

= − +

− +

⌠⎮

⌡

c)

Δ = −4 12= − <8 0

. On peut écrire:

₂² ³ ₂² ² ₂ ¹

2 3 2 3 2 3

x dx x dx dx

x x x x x x

+ = + +

+ + + + + +

⌠ ⌠ ⌠

⎮ ⎮ ⎮

⌡ ⌡ ⌡

La première de ces intégrales indéfinies se calcule par substitution:

u=x²+2x+3

, la deuxième par application de la formule.

( )

2 2

2

2 3 ln 2 3 1 arctan2 2

8 8

2 3

2 1

ln 2 3 arctan

4 2

x dx x x x cte

x x

x x x cte

+ = + + + + +

+ +

= + + + + +

⌠⎮

⌡

Exercice 290 page 269 (EXAMEN)

( ) ²

3 2

3 4

3 3

x x

F x dx

x x x

+ +

= − − +

⌠⎮

⌡

a) La factorisation du dénominateur est évidente: groupement 2 à 2 !

x³−3x²− + =x 3 x²⁽x−3^{) (}− x−3⁾=⁽x+1⁾⁽x−1⁾⁽x−3⁾

La MDSFP me propose: ( pour tout I^compact⊂ \\{−1;1;3} )

( ) ln 1 ln 1 ln 3

1 1 3

a b c

F x dx a x b x c x cte

x x x

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ − + + + − ⎟⎟⎠ = − + + + − +

⌠⎮

⌡

Après multiplication par le d.c. et égalisation des numérateurs, j'obtiens:

( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 1) ² 3 4 a x+ x− +b x− x− +c x− x+ =x + x+ , une identité vraie pour tout complexe x, en particulier, pour

( )( ) ( )( ) ( )( )

−

= − − − = − + ⇒ = =

= − = + + ⇒ = = −

= = + + ⇒ = =

2 1

8 4

84 22 11

8 4

1 : 2 4 1 3 4

1 : 2 2 1 3 4 2

3 : 2 4 9 9 4

x b b

x a a

x c c

b)

2

3 2

3 4 2 ln 1 1 ln 1 11ln 3

4 4

3 3

x x dx x x x cte

x x x

+ + = − − + + + − +

− − +

⌠⎮

⌡

(2)

2 / 3

Exercice 291 page 269 (EXAMEN)

( ) ²

3 2

2 5 9

3 4

x x

F x dx

x x

+ −

= − +

⌠⎮

⌡

a) La factorisation du dénominateur se fait d'après le schéma:

Racine évidente:

x= −1

; division selon Horner, second degré.

On obtient:

x³−3x²+ =4 ⁽x+1⁾

(

x²−4x+4

)

=(x+1)(x−2)²

.

b) La MDSFP me propose: ( pour tout I ^compact⊂ \\{−1; 2} )

( ) ¹ ² ( ³ )² ¹ ² ³ ( )

ln 1 ln 2 1

1 2 2 2

k k

F x k dx k x k x k cte

x x x x

⎛ ⎞⎟ −

= ⎜⎜⎜⎜ +⎝ + − + − ⎟⎟⎟⎟⎠ = + + − + − +

⌠⎮

⌡

( )² ( )( ) ( ) ²

1 2 2 1 2 3 1 2 5 9

k x− +k x+ x− +k x+ = x + x− , une identité vraie pour tout complexe x, en particulier, pour

( )

3 3 93

2 12 4

1 1 9 3

1 4 10

1 2 3 2 2 3 3

2 : 3 8 10 9 3

1 : 3 2 5 9

0 : 4 2 9 9 4 3

x k k

x k k k k

−

− −

= = + − ⇒ = =

= − − = − − ⇒ = = −

= − + = − ⇒ = − − − =

c) ( )

2

3 2

2 5 9 4 ln 1 10 ln 2 3

3 3 2

3 4

x x dx x x cte

x x x

+ − = − + + − − +

− + −

⌠⎮

⌡

Exercice 292 page 269 (EXAMEN)

( )

2 2

2 3

1 1

x x

F x dx

x x

− +

= + −

⌠⎮

⌡

(heureusement, le degré du numérateur est strict, inf. à celui du dén.) a) La MDSFP me propose: ( pour tout I ^compact⊂ \\ 1^{{ }} )

( ) 2 2 2

2

1 2 1

1 1 1

ln 1 arctan ln 1

2

ax b c a xdx dx dx

F x dx b c

x x

x x x

a x b x c x cte

⎛ + ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + + − ⎟⎟⎟⎠ = + + + + −

= + + + − +

⌠ ⌠⎮ ⌠⎮ ⌠

⎮ ⌡ ⌡ ⌡

⌡

(ax+b x)( − +1) c x

(

²+1

)

=x²−2x+3 , une identité vraie pour tout complexe x, en particulier, pour

( ) ( )( )

22

1 : 1 1 1 2 3 1

: 1 1 2 3

2 0

2 2 2 2

x c c

x i ai b i i

a b a

a b ai bi i

a b b

= + = − + ⇒ = =

= + − = − − +

⎧ + = − ⎧ =

⎪ ⎪

⇔ − − − + = − ⇔⎨⎪⎪⎩ − = ⇔⎨⎪⎪⎩ = −

b)

( )

2 2

2 3 2 arctan ln 1

1 1

x x dx x x cte

x x

− + = − + − +

+ −

⌠⎮

⌡

(3)

3 / 3

Exercice 293 page 269 (EXAMEN)

^{( )}

( )

2 2

2 4 2 5

F x x dx

x x x

= −

+ +

⌠⎮

⌡

a) La MDSFP me propose: ( pour tout I ^compact⊂ \\ 1^{{ }} )

( ) 2 2 2

ln 1

2 5 2 5

a b cx d cx d

F x dx a x b dx

x x x x x x x

⎛ + ⎞⎟ − +

= ⎜⎜⎜⎝ + + + + ⎟⎟⎟⎠ = + + + +

⌠ ⌠⎮

⎮ ⌡

⌡

!!) Avant d'entamer la recherche des coefficients a, b, c et d, je développe l'intégrale du membre de droite !!

( )

2 22

2 2

2 2 2

2 2

2 5 2 5

4 2

2 5 2 5

c c

c

x d

cx d dx dx

x x x x

x dx d c dx

x x x x

+ − +

+ =

+ + + +

= + + −

+ + + +

⌠ ⌠

⎮ ⎮

⌡ ⌡

⌠ ⌠⎮

⎮ ⌡

⌡

La première de ces deux intégrales est un logarithme (car on a pris soin d'écrire la dérivée du dénominateur au numérateur), pour la deuxième, on connaît la formule des arctangentes. Donc:

₂ ₂ln ² 2 5 ⁽ ⁾ 2 arctan2 2

16 16

2 5

cx d dx c x x d c x cte

x x

+ = + + + − + +

+ +

⌠⎮

⌡

Donc, l'intégrale résultat du problème vaut:

²

(

²² 2⁴ 5

)

^ln ²^ln ² ² ⁵ ² ^arctan 2¹

b c d c

x

x dx a x x x x cte

x x x

− = − + + + + − + +

+ +

⌠⎮

⌡

Je commence maintenant le calcul proprement dit des coefficients.

(ax b x+ )

(

²+2x+5

)

+(cx+d x) ²=2x−4 une identité vraie pour tout complexe x, en particulier, pour

=0 : 5 = −4 ⇒ = −⁴₅

x b b

( Calculons les racines de x²+2x+5: r₁= − −1 2 ;i r₂= − +1 2i )

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2 1

1825 1625

: 1 2 1 2 2 1 2 4

2 3 4 6 4

11 3 2 4 6 4

11 3 6

2 4 4

x r c i d i i

d c ci i i

c d c d i i

c d c

c d d

= − − + − − = − − −

⇔ − − − + = − −

⇔ − + + = − −

⎧⎪ = −

⎧ − = −

⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎪⎩ + = − ⇔⎨⎪⎪⎪⎩ = −

( ) ( ) ¹₈( ) ¹⁸₂₅

1 : 8 2 4 2

x = a b+ + c+d = − ⇒ a = − − −c d − =b

Remarque: Certains préfèrent la résolution d'un système de 4 équations à 4 inconnues obtenu comme suit:

L'égalité développe donc en: ⁽a c x− ⁾ ³+(2a b d x+ + ) ²+(5a+2b x) +5b=2x−4 Ceci est une identité de deux polynômes, vraie pour tout x et donc équivalente au système obtenu par comparaison des coefficients:

( )

0 18 25

2 0 4 5

: 5 2 2 18 25

5 4 16 25

a c a

a b d b

a b c

b d

⎧ + = ⎧ =

⎪ ⎪

⎪ + + = ⎪ = −

⎪ ⎪

Ξ ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ + == − ⇔ ⇔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = −= −

"

(En pratique, l'utilisation conjointe, simultanée et efficace des 2 méthodes peut simplifier les calculs.) b) La solution du problème s'écrit enfin:

²⁽(²^x² ⁴₂⁾^dx₅) ¹⁸²⁵ ln ⁵⁴_x ²⁵⁹ ln ² 2 5 ²⁵¹ arctan ^x²¹

x x ⁻ x x x x ⁺ cte

+ + = + − + + + +

⌠⌡