Solution partielle du problème de géométrie énoncé à la page 288 du XIIe volume du présent recueil
Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 13 (1822-1823), p. 314-318
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Solution partielle du problème de géométrie énoncé
à la page 288 du XIIe volume du présent recueil;
Par MM. A. L. BOYER et CH. STURM.
PROBLÈME. Déterminer, en fonction
des quatre côtés Jan quadrilatère rectiligne inscrit
au cercle, I.° l’angle
de deux côtés opposés ;
2.° l’angle
des deux diagonales ?
Solution. Soient,
commedans le
mémoirede la page 269
duXIIe
volume ,
a,b,
c, d lesquatre
côtésconsécutifs
duquadrilatère,
et x, y les deux
diagonales ;
lapremière
se terminant aux som-mets
(a, b) , (c , d),
etla seconde
aux sommets(b , c), (a, d) ;
on aura, comme
alors,
en
outre ,
enposant
nous aurons
Mais
lesprolongemens
descôtés opposés b
etd forment
avec lecôté
a un
triangle
danslequel l’angle opposé à
ce côté a estprecisément
l’angle
cherche(b, d)
de deux côtésopposés;
ensupposant donc,
pour
fixer lesidées , a>c,
nous auronsd’où
ce
qui donnera ,
ensubstituant ,
ou, en
réduisant
tel est le sinus
de l’angle
desdeux
côtésopposés b et d;
on trou-verait
de
mêmeSi l’on cherche les cosinus des
mêmesangles,
on trouveraou, en
substituant -
ou,
endéveloppant
etréduisant
et on trouvera
de même
De
là ondéduit
ou, en
décomposant, divisant par 2
etextrayant
laracine quarrée
et on
aurait de même
et ,
comme on ail viendra,
ensubstituant,
et
de la
encoreformules très-commodes
pour le calculpar logarithmes.
Passons
à la recherche del’angle
desdiagonales ; pour cela
re-marquons
que cesdiagonales divisent
lequadrilatère
enquatre
triangles
dont la sommedes
aires sera, enappelant xl
et x"les
deux segmens de x , et yI
etyll les deux segmens de y ,
mais il a été
prouvé, dans le mémoire cité que Faire de
cequa- drilatère a aussi pour expression
donc
mais
on àdonc finalement
De là
onconclura facilement
et ensuite
d’où
et,
par suite
formule- très-commode pour le calcul par logarithmes. ()
(*) Nous
rappellerons
iciqu’il
a étépropose
de trouver des formulesanalogues
pour le
quadrilatère sphérique
inscrit à unpetit
cercle de lasphère.
De tellesformules ont bien été reçues ; mais elles n’ont pas
l’élégance suffisante-
pouren
justifier
lapublication.
J. D. G.
