Exercice 237 page 257

(1)

Exercice 237 page 257

1)

∫

x dx¹⁷ = ₁₈¹ x¹⁸+c sur I ⊂^\

2)

∫

⁷dx=⁷x+c sur I ⊂^\

3) dt c sur I

]

;

[ ]

;

[

t t

= − + ⊂ −∞ ∪ ∞

∫

4 3

4 4 0 0

3

4)

∫ (

³_x²₋⁴_x₊⁷

)

_dx₌_x³₋²_x²₊⁷_x₊_c _sur_I _⊂^\

5)

∫

(sinu+cosu du) =sinu−cosu+csur I ⊂^\

6) ^dx ^ln ^x ^c ^sur^I

]

^;

[ ]

^;

[

x = + ⊂ −∞ ∪ ∞

∫

³ ³ ⁰ ⁰

7) x dx ⁽ x ⁾ x c sur I

]

;

[

x

⎛ ⎞⎟

⎜ − ⎟ = − + ⊂ ∞

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

∫

₂ ¹ ^{1 2}₃ ³ ⁰

8) ^v ^dv ^{v v} ^c ^sur^I

]

^;

[ ]

^;

[

v v

⎛ ⎞⎟

⎜ − ⎟ = + + ⊂ −∞ ∪ ∞

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

∫

³ ² 2 ³ ²

2 2

5 3 0 0

3 3 (voir aussi la remarque)!

9)

( )

_sur

ln

x x x x

e + dx=e + +c I ⊂

∫

³ ³₃ ^\

10)

modulo

tan arctan sur ;

cos dx x x c I

x x π

⎛ ⎞⎟ ⎤ −π π ⎡

⎜ − ⎟ = − + ⊂ ⎥ ⎢

⎜ ⎟

⎜ ⎥ ⎢

⎝ + ⎠ ⎦ ⎣

∫

2 2

1 1

2 2 1

REMARQUES:

a) La fonction valeur absolue est dérivable en tout x non nul et on a:

( x \{ }) : d x sgn( )x x x

dx x x

∀ ∈\ 0 = = =

b) Ceci permet alors de calculer le nombre dérivé de _x ^{x x}^α (_α _\^{ ^})

α⋅ ∈ −

+ 1

6 1 \

en tout réel non nul x : ( _x _\^{{ }}) _: ^d ^{x x} _x _x dx

α α

α α⁺

∀ ∈ = ⋅ +

+ ¹¹

0 1

\ 1 ^x

x^α x

α ⁻

⋅ ¹⋅

( )

⁼ ^x^α

Donc, si l'exposant est différent de ⁽−1⁾: α∈\\^{−1^} la fonction x6 x^α admet la primitive

\{ } x dx x x c sur I

α α

α

⋅

= + + ⊂

∫

1 \ 0

c) Si α>0, la fonction x6 x^α et donc aussi x6x x⋅ ^α sont continues en x₀ =0 . Dans ce cas, la primitive est valable sur I⊂\.

Exemples :

∫

x dx= ^{x x}^⋅2 +c sur I ⊂\ ou

∫

x dx= ^x^⋅3 2_/^x +c sur I ⊂\

par contre: ^x

]

^;

[ ]

^;

[

x

dx c sur I

x

= + ⊂ −∞ ∪ ∞

∫

² ⁰ ⁰ ^.

(Ce dernier exemple est intéressant, car la fonction primitive x62x x admet un prolongement par continuité en x₀ =0 de valeur 0, mais elle n'est pas dérivable en x₀ =0.

On ne peut pas écrire: "sur I⊂\" mais on pourrait écrire "sur ^I ^⊂

[

⁰^;^∞

[

^).

d) On vérifie par dérivation la formule: dx sgn^{( )}x ln x c sur I

]

;

[ ]

;

[

x = ⋅ + ⊂ −∞ ∪ ∞

⌠⌡ 0 0

(2)

( )

: sgn impair

i

i i i

i

x si x

x x x x si x i i

x si x

⎧⎪ >

⎪⎪⎪⎪⎨

= ⋅ = = ∈ ∧

⎪⎪⎪− − <

⎪⎪⎩

1 1

1 3

0

0 0

0

6 `_.

Cette fonction est continue sur \ et dérivable sur \\^{{ }}0 . Elle admet une primitive sur tout intervalle compact I⊂\:

i i i sur

x dx= i₊ x⋅ x +c I ⊂

∫

1 \

Exercice 238 page 258 (pour la propriété 5 page 68)

a) Étude de quelques exemples:

1) f :x62x est continue sur \, donc admet des primitives sur tout compact I⊂\.

( ) sur

F x =

∫

²xdx=x²+c I ⊂^\, la constante c étant un réel au départ quelconque.

La condition indiquée F^{( )}1 =4 , qui est une équation, permet de fixer cette constante c : (CI): 1²+ =c 4⇔c=3

Sur 1∈ ⊂I \, il existe une primitive unique qui répond à CI, à savoir: F x^{( )}=x²+3 2) f :x6x²−4x est continue sur \, donc admet des primitives sur tout compact I⊂\.

( ) ( ) sur

F x =

∫

f x dx= ¹3 x³−2x²+c I ⊂\, la constante c étant un réel d'abord quelconque.

La condition indiquée F⁽−2⁾=−1 , qui est une équation, permet de fixer cette constante c : (CI): ¹ (− )³− −( )²+ =c − ⇔c=− + ⁸ + = ²⁹

3 2 2 2 1 1 3 8 3

Sur − ∈ ⊂2 I \, il existe une primitive unique qui répond à CI: F x^{( )}= ¹₃ x³−2x²+ ²⁹₃ 3) f :x61 2x est continue sur \\^{{ }}0 , donc admet des primitives sur tout compact I ⊂\\^{{ }}0 .

( ) dx ln sur \{ }

F x x c I

=⌠ x = + ⊂

⌡ ¹2 0

2 \ , c étant une constante au départ quelconque.

La condition indiquée F e^{( )}=−2 , qui est une équation, permet de fixer non seulement cette constante c , mais également une restriction du domaine d'intégation: e∈ ⊂I

]

0;∞

[

(CI): ¹₂ ln e + =c − ⇔2 c=− −2 ¹₂ = ⁻₂⁵

Sur e∈ ⊂I

]

0;∞

[

il existe une primitive unique qui répond à CI : F x^{( )}= ¹ ln x − ⁵

2 2

4) _f _:_x6−3 1

(

+_x²

)

est continue sur \, donc admet des primitives sur tout compact I ⊂\.

( ) dx arctan sur

F x x c I

x

= − =− + ⊂

+

⌠⌡ 3 ² 3

1 \, c étant une constante d'abord quelconque.

La condition indiquée F⁽−1⁾=π4 , qui est une équation, permet de fixer cette constante c . (CI): −3arctan(−1)+ =c π 4⇔c= ^π₄ +3⋅ ⁻₄^π = ⁻₂^π

Sur − ∈ ⊂1 I \ il existe une primitive unique qui répond à CI : F x^{( )}=− arctanx− ^π 3 2

b) Soit f une fonction et D f_c son domaine de continuité. Alors f admet des primitives sur tout compact I ⊂D f_c : F x^{( )}=

∫

f +c sur I ⊂D f_c , la constante c étant d'abord un réel quelconque.

Toute condition indiquée (en physique, on l'appelle souvent condition initiale) F x

( )

₀ = y₀disant que la primitive prend la valeur y₀ pour x=x₀, permet de fixer non seulement la constante, mais également une restriction du domaine d'intégation: x₀∈ ⊂ ⊂I J D f_c .

Sur x₀ ∈ ⊂ ⊂I J D f il existe une primitive unique qui répond à CI ! (voir prop.5 page 68)

(3)

Exercice 239 page 258

L'indication dans le texte d'introduction signifie: "prends la méthode par substitution (unilatérale)" et calcule rapidement:

1)

∫

_x

(

_x ₋

)

_dx ^{u x}⁼₌⁻

(

_x ₋

)

₊_c _sur _I _⊂

3 1

8 9

2 3 1 3

3 1 9 1 \

2)

( ) ( )

^sur ^\^{{ }}

u du t u c I

u u

==− − + ⊂

− −

⌠⎮

⌡

3 1 2

4 3

3 3

3 1 1

1 3 1

\

3)

∫

_x_⋅_sin

(

_x

)

_dx ^u⁼₌^x ₋_cos

(

_x

)

₊_c _sur _I _⊂

5 2

2 2

10 5 5 \

4)

( )

tan

( )

sur \

{

/ cos

( ) }

cos

x dx u x x c I x x

x

= −

= − + ⊂ − =

−

⌠⎮

⌡

2 1

2 2

2 1 1 0

1 \

Remarque: cos

(

x

)

x k

(

donc k

)

x k

π π

− = ⇔ = + + ∈

⇔ = ± + +

2 2

1 0 1 0

1

. `

{ }

Donc: x∈ ";−2 9755, ... ;−2 39, ... ;−1 6, ... ; 1 6, ... ; ,2 39... ; 2 9755, ... ;"

C'est ainsi que l'intervalle compact I ⊂

]

1 8 2, ;

[

est acceptable, mais non pas I ⊂

] [

0 2; .

5) sur

u t

t t

e dt e c I

= −

− = − + ⊂

∫

³ ^{3 2} ^{3 2} ^{3 2} ^\

6) ln sur

u x x

x dx x x c I

x x

= − +

− = − + + ⊂

− +

⌠⌡

2 5 8

2 2

2 5 5 8

5 8 \

N.B.: ∆=⁽−5⁾²− ⋅ ⋅4 1 8=−12<0 donc, pour tout x∈\ on a x²−5x+8B0 7) ^ln^v ^dv ^u ^ln^v ^ln^v ^ln^v ^c ^sur ^I

[

^;

[

v

== ⋅ + ⊂ ∞

⌠⌡ ²³ 1

N.B.: v lnv

6 v est définie, continue et dérivable en v ssi lnv.0 donc ssi v.1. RETENIR: Si F est une fonction primitive de f sur un intervalle compact J .

Alors par substitution on a la formule: (ln ) ^ln (ln )

u x

f x dx F x c

x

⋅ == +

∫

(On voit le logarithme et on peut isoler ⁽ln ⁾

x = x ′

1 )

Exemple:

( ) ln ln sur \{ ; ; }

ln

dx x c I e e

x x = − + ⊂ −

−

⌠⌡ 1 0

1 \

8) ^arcsin ^arcsin arcsin sur

]

;

[

u t

t dt t c I

t

=

= + ⊂ −

−

⌠⎮

⌡ ² ¹² ² 1 1

1

N.B.: Notre définition de "fonction primitive de f sur I " permet dans ce cas de choisir I ⊂ −1 1[ ; ] car la fonction t6 ₂¹ arcsin²t+c est définie et continue sur [−1 1; ].

(4)

L'indication dans le texte d'introduction signifie: "prends la méthode par substitution (unilatérale)" et surtout, calcule rapidement:

1) ^{( )}

( )

^sur

t u

F u udu c I

u u

= +

= = ⋅ − + ⊂

+ +

⌠⎮

⌡

3 2 5 0

2 2

2

1 6 1 1

6 3 5 6 3 5

\

B

2) _{F t}^{( )}= ¹4

∫

4_t³⋅ _t⁴+2_dt ^{u t}^{= + >}⁴=^{2 0} ¹4 ⋅ ²3

(

_t⁴+2

)

_t⁴+ +2 _c _sur _I ⊂\

3) ^{( )} sur \{ ; }

u x x

F x x dx x x c I

x x

= + ≠

= + = ⋅ ⋅ + + ⊂ −

+

⌠⎮

⌡

2 6 0 3 2 2

3 2

1 2 6 1 3 6 6 0

2 6 2 2 \

4) ^{( )} tan sur \^{ / cos ^}

cos

u x

F x dx x c I x x

x

= ⌠ == ⋅ + ⊂ =

⌡

4 1

2 2

1 4 4 4 0

2 4 \

Remarque: ( )

( ) cos

k

x x k k

x k

π π

+ π

= ⇔ = + ∈

⇔ = ∈

2 1 2

8

4 0 4 ]

]

{ }

Donc: x∈ "; ⁻₈³^π ; ⁻₈^π ; ^π₈ ; ³₈^π ; ⁵₈^π ; ⁷₈^π ;"

C'est ainsi que l'intervalle compact I ⊂ ⎥⎤⎦ ⁻⁸^π ; ^π⁸ ⎡⎢⎣ est acceptable.

5) ^{( )} cos sin⁽ ⁾ sur

u x

F x x dx x c I

= ¹3

∫

3 3 ==³ ¹3 3 + ⊂\

6) F u^{( )} e û du ^t û e û c sur I

= −

− −

= ¹2

∫

2 ² ¹ ²= ¹ ¹2 ² ¹+ ⊂\

7) F x^{( )} dx ^u ^x ln x c sur I \^{{ }}

x

=−

−

= − ⋅ = − − + ⊂

⌠ −

⌡

1 1 1

1 \

Ainsi, sur I ⊂\_<₁ : F x^{( )}=−ln⁽1−x⁾+c et sur I ⊂\_>₁ : F x^{( )}=−ln⁽x−1⁾+c

8) ^{( )} cos sin⁽ ⁾ sur

u x

F x x dx x c I

= ¹3

∫

3 3 ==³ ¹3 3 + ⊂\

9) ^{( )} ln sur

u x x

F x x dx x x c I

x x

= − +

= − = − + + ⊂

− +

⌠⌡

4 2 8 7

1 1 2

8 2 8

8 8 4 8 7

4 8 7 \

N.B.: ∆=⁽−8⁾²− ⋅ ⋅4 4 7=−48<0 donc, pour tout x∈\ on a 4x²−8x+7B0

10) ^{( )}

( )

] [

;

( )

arcsin sur ;

u x

x x

F x dx c I

= ∈ −

⎤ − ⎡

= = ⋅ + ⊂ ⎥⎦ ⎢⎣

⋅ −

⌠⎮

⎮⎮

⌡

32 1 1

3 3

2 2 1 2 2

3 2 2 3 3

3 2 2

2

3 2 1

N.B.: Notre définition de "fonction primitive de f sur I " permet dans ce cas de choisir I ⊂ −⎡⎢⎣ ²³ ; ²³ ⎤⎥⎦ car la fonction x6 ¹₃ arcsin ³₂^x +c est définie et continue sur ⎡⎢⎣−²³ ; ²³ ⎤⎥⎦.

(5)

Exercice 241 page 258

1)

∫

(³ϕ+⁴)²dϕ=

∫ (

⁹ϕ²+²⁴ϕ+¹⁶

)

dϕ=³ϕ³+¹²ϕ²+¹⁶ϕ+c sur I ⊂^\ 2)

∫

⁽_x₋1 2⁾⁽ ₋_{x dx}⁾ ₌

∫ (

₋_x²₊3_x₋2

)

_dx₌₋ ¹3 _x³₊ ³2 _x²₋2_x₊_c _{sur I}_⊂\ 3)

∫

⁽1−t⁾ t dt=

∫ (

t^{1 2}−t^{3 2}

)

dt= ²3 t t − ²5 t² t +c sur I ⊂

[

0;∞

[

4) ^⌠^⎮_⌡ ^x³⁺_x2^x²⁻ ^dx⁼^⌠_⌡

(

^x⁺ ⁻ _x

)

^dx⁼ ^x² ⁺ ^x⁻ ^ln ^x ⁺^c ^{sur I} ^⊂ ^\^{{ }}

5 4 5 4 5 4 0

2 \

5) ^⌠⌡ (^v^{+ +}_v₊1) 1 ^dv⁼^⌠⌡

(

1⁺ _v₊1

)

^dv^{= +}^v ^ln ^v^{+ +}1 ^c ^{sur I}^⊂ ^\^{⁻1^}

1 1 \

6)

(

_e^x _e⁻^x

)

_dx

(

_e ^x _e⁻ ^x

)

_dx _e ^x _x _e⁻^x _c _{sur I}

− = − + = − + − + ⊂

∫

²

∫

² 2 ² ¹2 ² 2 ¹2 \

7) Après avoir séparé la fraction en somme de deux fractions, il faut trouver deux primitives.

La première est une intégration immédiate, la deuxième est une intégration par substitution.

{ }

sin sin tan \ / cos

cos cos cos cos

x dx dx x dx x c sur I x x

x x x x

+ = +⌠ = + + ⊂ ≠

⌠ ⌠

⌡ 1 ² ⌡ ² ⌡ ² 1 \ 0

Remarque: cosx=0⇔x= ^π₂ +kπ (k∈]) donc I ⊂ ⎥⎤⎦ ⁻²^π ; ^π² ⎡⎢⎣ est acceptable.

8) ^⌠_⌡ ¹⁺₂^ln_t ³^t ^dt⁼ ¹₂ ^⌠_⌡

(

¹⁺⁽^ln^t⁾³

)

^dt_t ⁼ ¹₂

(

^ln^t⁺ ¹₄ ^ln⁴^t

)

⁺^{c sur I} ^⊂

^]

⁰^;^∞

^[

voir ex 239 No 7.

9) ( )

( )

( ) ^[

^;

^[

d d c

c sur I

α α α α α α α α α

α

α α α

+ = − + + = + + +

= + + + ⊂ ∞

⌠⎮

⌡ ²

∫

^{1 2} ^{1 2} ^{3 2} ^{1 2} ²3 ^{3 2} ²5 ^{5 2} 2

4 2

3 5

1 2 2 2

2 0

10)

( )

( ) ( ) \^{ ^}

z z

dz dz z c sur I

z z z

⎛ ⎞

+ ++ − = ⎜⎜⎜⎜⎝ − + ⎟⎟⎟⎟⎠ = + + + ⊂ −

⌠ ⌠

⎮ ⎮

⌡ ⌡

2

2 2

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 \

11) ( du) \{ }

c c sur I

u u

u

− −

= + = + ⊂

− −

−

⌠⎮

⌡ ²

4 4 1 4 2

2 2

2 \

12)

(

_e^x _e⁻^x

)

_dx _e^x _x _e⁻^x _c _e^x _x _e^x _{c sur I}

− + = − + − + = − − + ⊂

∫

3 3 ¹1 3 \

La première est une intégration par substitution, la deuxième est une intégration immédiate .

ln arctan

xdx dx x x c sur I

x − x = + − + ⊂

+ +

⌠ ⌠

⌡ ² 3⌡ ² ¹² ² 1 3

1 1 \

Les deux s'obtiennent par substitution, mais avec des substitutions différentes.

( ) ( )

x dx dx

x dx F x G x c

x x x

− = − = − +

− − −

⌠ ⌠

⌠⎮ ⎮ ⎮

⌡ ² ⌡ ² ⌡ ²

2 5

4 4 4

( ) x dx ^u ^x

F x x c

x

= −

−

= − = − − +

−

⌠⎮

⌡

4 2

2 1

1 2

2 2 4

4 ( )

( ) ( )

^arcsin

u x

x

x x

dx dx

G x c

= = == +

⋅ − −

⌠ ⌠⎮

⎮ ⎮

⌡ ⌡

1 2

2

2 2 2

2 2

5 5 5

2 1 1

[ ]

arcsin ^x ;

x dx x c sur I

x

− =− − + + ⊂ −

−

⌠⎮

⌡ 2 ² ²

2 5 2 4 5 2 2

4

(6)

1) C'est l'exemple type: polynome x trigonométrique

( ) cos

F x =

∫

x⋅ x dx^p.p.: ^' ^cos

' sin

u x v x

u v x

= =

=1 → = 2

( ) sin sin sin cos

F x =x⋅ x−

∫

¹⋅ xdx=x⋅ x+ x+c^sur^I ^⊂^\ 2) C'est un exemple du genre: polynome x radicale

F x( )=

∫

x⋅ ^{1 2}+ x dx p.p.: ( )

( )

i n t é g r a t i o n i n t e rm é d i a i re p a r s u b s t i t u t i o n

' '

u x v x x

u v x

= = + = +

= → = +

1 2

1 3 2 3

1 2 1 2

1 1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( x)

F x =x⋅ ¹3 + x ^{3 2}−

∫

⋅ ¹3 + x ^{3 2}dx= ¹3 x + x ^{3 2}− ^{1 1}3 2 + ^{5 2} +c

1 2 1 1 2 1 2 1 2

5 2

( ) ( )

(

( )

)

^x ^x

F x = ₁₅¹ 1 2+ x ^{3 2} 5x− 1 2+ x + =c 6 ²+ −1 1 2+ x +c

15 sur I ⊂⎡⎢⎣⁻²¹ ;∞⎡⎢⎣. 3) Puisqu'il y a le logarithme, on ne peut pas appliquer la formule spéciale de récurrence et il faut choisir u=lelog.

( ) ln

F x =

∫

x²⋅ x dx p.p.: ln ' '

u x v x

= =

= → =

2

1 3 3

2

( ) ln ^x ^x ln ^x ^x ( ln )

F x = x⋅ 3³ −

∫

x¹ 3³ dx= ¹3 x³ x− ¹3 3³ + =c 9³ 3 x−1 +c sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

4) Il s'agit de l'exemple type de l'intégration par parties par récurrence, méthode du polynôme.

( ) ^x

F x =

∫

x²⋅e dx p.p.réc-1: ' ^x

x

u x v e

u v e

= =

′= =

′′= =

′′′= → =

2

1

2

2 2

0 2 2 2

( ) ^x ^x ^x

F x =x e² −²xe +²e −

∫

⁰dx ⁼

⁽

^x²⁻²^x⁺²

⁾

^e^x ⁺^c^sur^I ^⊂^\

Exercice 243 page 259: L'intégration par substitution bilatérale !

a) On demande d'écrire la méthode de Leibniz au lieu de choisir la méthode rapide.

b)

∫

x ^{1 2}+ x dx=F x^{( )} à calculer par une intégration par substitution bi-latérale ! Méthode de substitition de Leibniz: u x x ⁽u ⁾

u dx du

= + ⇔ = −

′=

=

1 2 1 2

2 2

( ) ^u ^du

( )

û û û û

F x =⌠ − u = u −u du= ⎛⎜⎜⎜⎝ − ⎞⎟⎟⎟⎟⎠+ =c − u +c

⌡ ¹4

∫

^{3 2} ^{1 2} ^{5 2} ^{3 2} ²

1 1 3 5

2 2 4 5 2 3 2 30

Il faut revenir à x :

( ) ( x) ( x) x x

F x = 3 1 2+ ²−5 1 2+ 1 2+ x + =c −1+ +6 ² 1 2+ x +c

30 15 sur I ⊂⎡⎢⎣⁻²¹ ;∞⎡⎢⎣

(7)

Exercice 244 page 259: Il est préférable de choisir une bonne méthode rapide!

1) u du u du u c u c sur I

[

;

[

u

= − = + = + ⊂ ∞

⌠⎮

⌡ ^{1 3}1 2

∫

^{2 3}⁶ ^{5 6} ⁶ ⁵

6 0

5 6 5

2) F x^{( )} lnx dx

=⌠ x

⌡

Il est utile de connaître les méthodes d'intégration suivantes:

a) Le cas général: ln x dx x

⌠ α

⌡ avec α∈\. (Voir aussi exercice 239 No 7 et 241 No 8) Par substitution: u=lnx:

ln ( )

ln

ln ln

x c si

x dx

x x c si

α α

α

+

⎧⎪⎪ + + ≠ −

=⎪⎨⎪⎪⎪⎩ + =−

⌠⌡

1

1 1

1 Par exemple: F x^{( )} ^lnx dx ^ln x c sur

]

;

[

=⌠ x = + ∞

⌡

2 0

2

b) Le cas général:

∫

x^α⋅lnx dx^avec^α^∈^\. (Voir aussi l'exercice 242 No 3)

Par parties, et puisqu'il y a le logarithme, on ne peut pas appliquer la formule spéciale de récurrence et il faut choisir u=le log.

( )

ln '

' ln

u x v x

u x v x si ou v x si

α

α⁺ α α α

= =

=1 → = ¹ +1 ≠ −1 = =−1 2

Si α≠ −1 on a:

( )

(

( )

)

ln x ln

x x dx x c

α α α

α

⋅ = + + − +

∫

+¹2 1 1

1 sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

Si α=−1 on a: lnx dx lnx lnx lnx dx c.-à-d. 2 lnx dx lnx lnx c

x = ⋅ − x x = ⋅ +

⌠ ⌠ ⌠

⌡ ⌡ ⌡

donc: F x^{( )} lnx dx ln x c

=⌠ x = +

⌡ 1 ²

2 sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

( ) ^ln^x

F x =

∫

x dx peut donc être calculée par chacune des deux méthodes.

3)

[

^;

[

ln

t t

dt dt t c sur I

t

− −

+ ⋅ = ⋅ + + ⊂ ∞

⌠⌡

∫

^{2 1} ^{2 1}

5 1 2 5 5 2 1 1 5 0

7 2 7 2 5

4) dx ₍ ₎ ln x c ln c sur \^{{ }}

x x

= − + = +

− − −

⌠⌡ 6

6 6 5 1 5

5 1 5 \

5) sin tdt sin tdt^u ^t cos t c

= −

= ⋅ = +

∫

4 ¹4

∫

4 4 ⁴ 4¹ 4 ou bien (méthode alternative):

sin sin

sin tdt cos t sin tdt ^u ^t t c

♥ =

= ⋅ ⋅ = +

∫

⁴

∫

² ² ² ² ₂²² ^sur^I ^⊂^\

6) ⁽ ⁾

u x x

x x x x

x e dx e c

= −+

−+ − +

− = +

∫

⁸ ¹ ⁴ ² ¹ ⁴ ² ¹ ⁴ ² ¹ ^sur^I^⊂^\

7) ln sur

u x x

x dx x x c I

x x

= + +

+ = + + + ⊂

+ +

⌠⌡

2 3

2 2

2 1 3

3 \

N.B.: ∆=1²− ⋅ ⋅4 1 3=−11<0 donc, pour tout x∈\ on a x²+ +x 3B0 8) Voir ci-dessus : No 2, méthode b) par parties avec α=−2

( ) (( ) )

] [

lnv dv v lnv c lnv c sur I ;

v v

− +

= − − + =− + ⊂ ∞

−

⌠⌡

1

2 2

1 1 1 0

1

(8)

9) ⎮⌡ _cos²_x ^dx ⁼ ^e ⁺^c ^{sur I} ^⊂\^\ ^x^{/ cos}^x⁼0

(

⎥⎦ ² ^; ² ⎢⎣^convient

)

10) ln

u e

e d e c sur I

e

θ θ

θ

θ θ ^{= +}= + + ⊂

+

⌠⎮

⌡

1 1

1 \

11)

arctan

arctant dt ^u ^t arctan t c sur I t

== + ⊂

+

⌠⌡ 1 ² ¹² ² \

12)

∫

x(²x+¹)⁸dx=F x( ) : Méthode de la substitution bi-latérale : voir aussi l'exercice 243 b)!

Méthode de substitition de Leibniz: u x x ⁽u ⁾ u

dx du

= + ⇔ = −

′=

=

2 1 1 2

2 2

( ) ^u ^du

( )

û û û

F x =⌠ − u = u −u du= ⎛⎜⎜⎜⎝ − ⎞⎟⎟⎟⎠+ =c − u +c

⌡ ⁸ ¹4

∫

⁹ ⁸ ¹⁰ ⁹ ⁹

1 1 9 10

2 2 4 10 9 360

Il faut revenir à x :

( ) ( x) ( ) ( )( )

F x = 9 1 2+ −10 1 2+ x ⁹+ =c 1 18x−1 1 2+ x ⁹+c

360 360 sur I ⊂\

N.B.: Théoriquement on pourrait également envisager la méthode par développement à l'aide du binôme de Newton:

( ) _n^k ^k ^k _n^k ^k ^k ⁿ^k ^k ^k

k k k

x x dx x dx x dx x c

k

+ + +

= = =

+ = = = + +

⌠⎮

⌡

∑ ∑ ∑

∫

⁸ ⁸ ¹ ⁸

∫

¹ ⁸ ²

0 0 0

2 1 2 2 2

2

mais le calcul explicite s'avère être très désagréable.

13) arctan

t u

u du dt u c sur I

u t

=

= ⋅ = + ⊂

+ +

⌠ ⌠

⎮ ⌡

⌡

2

3 2

4 2

5 5 3 5 3

3 2 6

3 1 3 \

14) ⁽ ⁾

cos sin arctan sin

sin

u x

x dx du x c sur I

x u

== = + ⊂

+ +

⌠ ⌠

⌡ 1 ² ⌡ 1 ² \

15)

∫

¹⋅arctan²x dx=F x^{( )}

Intégration par parties, méthode du facteur 1 , utilisée souvent pour les fonctions réciproques:

arctan '

'

u x v

u v x

x

= =

= → =

+ ²

2 1

2 1 4

2

( ) arctan arctan ln

u x

F x x x xdx x x x c

x

= ⋅ − = += ⋅ − + +

+

⌠⌡

1 4 2

2 1

2 4

2 2 2 1 4

1 4 sur I⊂\

Exercice 245 page 259: Encore des logarithmes!

a) Il suffit d'appliquer résolument les deux méthodes vues à l'exercice 244 No 2 et on trouve sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

les primitives suivantes:

1) lnx dx ln x c

x = +

⌠⌡ ¹2 ² sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

²⁾ ^ln ^x ^dx ^ln ^x ^c

x = +

⌠⌡

2 1 3

3 sur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

3) ln ln

ln dx x c

x x = +

⌠⌡ 1

sur I ⊂

]

0;∞

[

\^{{ }}1 4) ln ln

n n

n

x dx x c

x

+

= + +

⌠⌡ ¹¹ ¹ sur I ⊂

]

0;∞

[

5)

∫

xlnx dx= ^x²⁽²^ln4^x⁻¹⁾ +csur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

⁶⁾

∫

^x²^ln^{x dx}⁼ ^x³⁽³^ln9^x⁻¹⁾ ⁺^csur ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

(9)

b) Les exemples 5) et 6) sub a) laissent supposer:

∫

lnx dx= ^x1¹ ⁽1⋅lnx−x⁾+c Le procédé pour établir cette formule est tout simplement une intégration par parties:

la méthode du facteur 1 , utilisée souvent pour les fonctions réciproques voir exercice 244 No 15.

ln x dx F x( )

⋅ =

∫

¹ ^ln ^'

'

u x v

u v x

x

= =

= → =

1 1

2

( ) ln ln (ln )

F x =x⋅ x −

∫

dx=x⋅ x −x+ =c x x −¹ ^sur^I ^⊂^\^\^{{ }}⁰ Mais, il y a un avantage de retenir par cœur la formule:

ln x dx=xln x −x+c sur I⊂ \{ }

∫

^\ ⁰

Exercice 246 page 259: encore des formules et des méthodes à connaître par cœur

a) tan sin ^cos ln cos \^{ / cos ^}

cos

u x

x dx x dx x c sur I x x

x

=⌠ == − + ⊂ =

∫

⌡ ^\ ⁰ ⁽^I ^{⊂ ⎥}^⎤⎦ ⁻²^π ^; ^π² ^⎡^⎢⎣convient)

b) cot cos ^sin ln sin \^{ / sin ^}

sin

u x

x dx x dx x c sur I x x

x

=⌠ == + ⊂ =

∫

⌡ ^\ ⁰ ⁽^I ^⊂

^]

⁰^;^π

^[

^convient)

c) ^{( )}

F x x cos dx

x

=⌠ ⋅

⌡ 1²

polynôme x trigonométrique, donc, par parties, et formule récursive:

' cos

tan ln cos

u x v

x

u v x

= =

′= =

′′= → =−

2

1

1 0

2 2

( ) tan ( ln cos )

F x =x⋅ x− − x +

∫

⁰ ⁼^x^tan^x⁺^{ln cos}^x ⁺^c^sur^I ^⊂^\^\^{^x^{/ cos}^x⁼⁰^}^.

Exercice 247 page 259

1) Vrai, car: Sur I ⊂ −1 1[ ; ] on a: dx dx arccosx k

x x

=− − =− +

− −

⌠ ⌠

⎮ ⎮

⌡ 2 ⌡ 2

1

1 1

Il est utile de connaître l'identité: ∀ ∈ −x [ 1 1; ]; arcsinx=−arccosx+ ^π₂

(Les deux fonctions x6arcsinx et x6−arccosx sont égales à une constante près.

2) Faux: on vient de voir que ∀ ∈ −x [ ; ]; arcsinx=−arccosx+ ^π 1 1 2

3) Vrai, par la définition même de la fonction primitive.

(Du moins pour les points intérieurs de l'intervalle compact I sur lequel on a défini

∫

f ^. La dérivabilité sur les points du bord de I n'est pas requise.)

Ainsi on a: dx arcsinx k x

= +

−

⌠⎮

⌡ 1 2 sur I =[−1 1; ]

et en tout x I \{ ; } d f x dx^{( )} (arcsinx c) f x( )

dx x

∈ − = + ′ = =

∫

−¹ ₂

1 1

1

4) Correct, mais il est préférable de préciser: dx ln x c sur I \^{{ }}

x = + ⊂

⌠⌡ \ 0 pour indiquer

qu'en aucun cas, on ne puisse définir une telle primitive sur un compact contenant le zéro. Donc, soit ^I ^⊂

]

⁰^;^∞

[

^et

∫

^dx_x ⁼^ln^x⁺^c^soitI ⊂ −∞

^]

^;⁰

^[

et

∫

^dxx =^ln⁽−x⁾+c^.