CORRECTION DES EXERCICES DE LA SEMAINE DU 8 AU 12 JUIN ELEVES GARDANT LA SPE MATHS L’AN PROCHAIN
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1. AB.AC AB AC cos(BAC) 4 2 cos
4 4 2 2
2 4 2. 2. AB.AC 1
2(||AB||2 ||AC||2 ||AB AC||2)
Or AB AC AB CA CA AB CB.
Ainsi, AB.AC 1
2(AB² AC² CB²) 1
2(4² 2² 3²) 11 2
3. AB.AC AB.AH AB AH 4 1 4
4. AB
3
2 et AC
7
2 donc AB.AC 3 7 2 ( 2) 17 45 page 257.
1. AB.AC AB AC cos(BAC) 4 5 cos(45°) 4 5 2
2 10 2. 2. AB.AC AH.AC AH AC
On calcule AC : dans BCH rectangle en H : CH² 5² 4² 9 donc CH 3 et donc AC 4 3 7 Alors AB.AC 4 7 28
64 page 258.
1.
a. u.v 2 3 2 ( 4) 2 faux b. vrai
c. || |v | 3² 4² 5 vrai
d. || |u | 2² ( 2)² 2 2 et u.v || |u | | |v cos(BAC)
alors 2 5 2 2 cos(BAC) donc cos(BAC) 2 10 2
2 10 vrai Les bonnes réponses sont b, c, d
2.
a. u.( 5v) 5u.v 5 4 20 vrai
b. (3u v).v 3u.v v.v 3 4 5² 13 faux
c. u.v 1
2(|| |u |2 || |v |2 ||u v||2)
donc 4 1
2(1² 5² ||u v||2)
donc ||u v||2 18 vrai
d. (u v).(u v) u.u v.v || |u |2 || |v |2 1² 5² 24 vrai
Les bonnes réponses sont a, c, d 3.
a. u.v || |u | | |v cos(BAC)
u.v 2 3 cos(120°) 3 faux b. vrai
c. u.v 1
2(||u v||2 || |u |2 || |v |2)
donc 3 1
2(||u v||2 2² 3² )
donc ||u v||2 7 vrai
d. u.(2u v) 2u.u u.v 2|| |u |2 u.v 2 2² ( 3) 7 vrai
Les bonnes réponses sont b, c, d 71 page 258.
AB.AC AB.(AB BC) AB.AB AB.BC ABCD est un parallélogramme donc BC AD.
Pour calculer le produit scalaire en utilisant le cosinus, il faut que les vecteurs aient la même origine. On remplace donc BC par AD dans le deuxième produit scalaire :
AB.AC AB.AB AB.AD ||AB||2 AB AD cos(DAB)
AB.AC 4² 4 6 cos(40°) 34,39.
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Les angles au centre de l octogone mesurent tous 360
8 45° ou
4 radians 1. OA.OB 2 2 cos
4
4 2
2 2 2
2. OD.OH OD OH car les vecteurs sont colinéaires de sens contraire.
OD.OH 2 2 4
3. On ne connaît que les angles au centre donc on "passe par O en décomposant DC".
OF.DC OF.(DO OC) OF.DO OF.OC OF.OD OF.OC OF.DC OF DO cos(DOF) OF OC cos(FOC)
OF.DC 2 2 cos
2
4 2 2 cos
3
4 4 0 4
2
2 2 2
4. GC et AE sont orthogonaux donc GC.AE 0.
5. CO.CD CO.(CO OD) CO.CO OC.OD 2 2 2 2 cos
4 4 2 2
6. HD et FB sont orthogonaux donc HD.FB 0.
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1. AH.FE AH FE 5 5 25
2. On projette AE sur (BG). A se projette sur A et E se projette sur B.
AE.BG AB.BG AB BG 10 5 50
3. On projette DG sur (AH). D se projette sur A et G se porjette sur G.
AH.DG AH.AG AH AG 5 15 75
4. On projette DB sur (FG). D se projette sur le point d intersection J de (C D) et (FG) et B se projette sur G.
DB.FG JG.FG JG FG 10 5 50.
Remarque : si on ne veut pas introduire un nouveau point, on peut remplacer FG par EB.
5. Les deux vecteurs sont "obliques" donc on les décompose pour utiliser des vecteurs formés par les côtés des carrés.
IB .HF (IC CB).(HG GF) IC.HG IC .GF CB.HG CB.GF IC .HG IC HG 5 10 50
IC .GF 0 car les vecteurs sont orthogonaux CB.HG 0 car les vecteurs sont orthogonaux
CB.GF CB GF 10 5 50 Ainsi IB .HF 50 0 0 50 0
On peut en conclure que les droites (IB) et (HF) sont perpendiculaires.
6. Les deux vecteurs sont "obliques" donc on les décompose pour utiliser des vecteurs formés par les côtés des carrés.
BI .AC (BH HI).(AB BC) BH.AB BH.BC HI.AB HI.BC BH.AB BH AB 5 10 50
BH.BC 0 car les vecteurs sont orthogonaux HI.AB 0 car les vecteurs sont orthogonaux HI.BC HI BC 10 10 100
Ainsi, BI .AC 50 0 0 100 50
Remarque : on pouvait utiliser la méthode de la décomposition dans toutes les questions où on a projeté.
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1. Le tri angl e ABC semble rectangle en B.
Méthode 1 : AB
2
6 ; BC
3
1 donc AB.BC 2 ( 3) 6 ( 1) 0. Les vecteurs AB et BC sont donc orthogonaux et donc le triangle ABC est rectangle en B.
Méthode 2 :
AB ( 1 1)2 (5 ( 1))2 40 ; AC ( 4 1)2 (4 ( 1))2 50 BC ( 4 ( 1))2 (4 5 )2 10
On a AB² BC² 40 10 5 0 et AC² 50 donc , d après la réciproque du th de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. ABCD est un parallélogramme ssi AB DC ssi
2 4 xD
6 4 yD
ssi
xD 2
yD 2 Ainsi D( 2 2).
3. O est le milieu de [AC] donc O
1 4
2
1 4
2 donc O
3 2
3 2 . OA
2,5
2,5 et OB
0,5
3,5 . Alors OA.OB 2,5 0,5 2,5 3,5 7,5 D autre part, OA.OB OA OB cos(AOB)
OA 2,5² ( 2,5)² 5 2
2 et OB 0,5² 3,5² 5 2 2
Remarque : ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit donc c est un rectangle. Alors ses diagonales sont de même longueur et on a donc OA OB.
On a donc 7,5 5 2 2
5 2
2 cos(AOB)
donc cos(AOB) 7,5
25 0,3
Alors AOB 107°.
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1. On décompose les vecteurs en "suivant les côtés du rectangle" pour avoir des vecteurs orthogonaux ou colinéaires.
EA.EB (ED DA).(EC CB) ED.EC ED.CB DA.EC DA.CB.
ED.CB 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
DA.EC 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
DA.CB DA.DA DA² car ABCD est un rectangle donc CB DA. Ainsi, EA.EB ED.EC DA².
2. ED.EC ED EC 1 4 car ED et EC sont colinéaires de sens contraire DA² 3² 9.
Alors, EA.EB 4 9 5
3. EA.EB =EA EB cos(AEB)
D après le th de Pythagore, EA² 3² 1² 10 donc EA 10 et EB² 3² 4² 25 donc EB 5.
Ainsi, 5 10 5 cos(AEB) Alors cos(AEB) 5
5 10 1 10
Alors, d après la calculatrice, AEB 72°.
49 page 257.
Pour montrer que (AI) et (ED) sont perpendiculaires, on peut montrer que AI .ED 0.
On décompose les vecteurs en suivant des côtés des carrés pour avoir des vecteurs colinéaires ou orthogonaux.
AI .ED (AG GI).(EA AD) AG.EA AG.AD GI.EA GI.AD
AG.EA 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
AG.AD AG AD car les vecteurs sont colinéaires de sens contraire GI.EA GI EA car les vecteurs sont colinéaires de sens contraire GI.AD 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
Alors AI .ED GI EA AG AD
Or GI AB AD car ABCD est un carré et EA AG car AEFG est un carré.
Ainsi, AI .ED AD AG AG AD 0
Les vecteurs AI et ED sont donc orthogonaux et les droites (AI) et (E D) sont perpendiculaires.
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1. AB ( 1 3)2 (4 0)2 32 4 2. De même, BC 40 et AC 40 2 10 Ainsi le triangle ABC est isocèle en C. Il n est pas rectangle d après le th de Pythagore.
2.
a. AB
4
4 et AC
6
2 donc AB.AC 4 ( 6) 4 ( 2) 16.
b. cos(BAC) AB.AC AB AC
16 4 22 10
2 20
2 2 5
1
5. D après la calculatrice, BAC 63,4°.
c. Le triangle ABC est isocèle en C donc ABC BAC 63° et ACB=180-(ABC BAC 53°.
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1. Méthode 1 :
Méthode 2 :
On se place dans le repère (O i j) représenté ci-dessus avec i 1
4AD et j 1
6 AB. Le repère est bien un repère orthonormal donc on peut appliquer la formule du produit scalaire.
On a A(0 0) ; C(9 6) ; B(0 6) et D(4 0).
Alors AC
9
6 et BD
4
6 donc AC.BD 9 4 6 ( 6) 36 36 0.
2. Les vecteurs AC et BD sont colinéaires donc les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
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1. Rappel : dans un triangle équilatéral, les angles mesurent /3 rad.
AB.DE DC.DE car AB DC AB.DE DC DE cos
3 a a 1
2 a²
2 DA.DE DA DE cos(ADE)
ADE ADC CDE
2 3
5
6 et cos
5
6 cos
6 cos
6
3 2 Alors DA.DE a a
1 2
( 3a²)
2
DB.DE (DA AB).DE DA.DE AB.DE ( 3a²)
2
a² 2
a²(1 3)
2 .
2. On va utiliser :
AB.AB AB²
on peut développer avec les vecteurs comme avec les nombres. En particulier, (u v)2 u2 2u.v v2
u.v u.v)
BE² BE.BE (BD DE)2 BD² 2BD.DE DE²
D après le th de Pythagore, BD² a² a² 2a².
Et BD.DE = DB.DE a²(1 3)
2 Ainsi, BE² 2a² 2 a²(1 3)
2 a² a²
2 2(1 3 )
2 1 a²(2 3)
et donc BE a 2 3 79 page 260.
88 page 261.
1. AP AM AP MA MA AP MP.
Alors MP2 (AP AM)2 AP² 2AP.AM AM² AP 3
4AB 3
4 4 3 AM 1
2 AC 3
2
AP.AM AP AM cos(PAM) 3 3
2 cos(135°) Alors MP2 3² 3 3
2 cos(135°)
3 2
2 45 18 2 4
2. MP 45 18 2
4 4,2
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On commence par calculer AC . AJ (ici deux méthodes mais une suffit) Méthode 1 :
Méthode 2 :
AC. AJ (AB BC).(AB BJ) AB² AB. BJ BC.AB BC. BJ
1² 0 0 1 0,5 1,5
On exprime ce produit scalaire autrement pour en déduire l angle JAC. AC. AJ AC AJ cos(JAC)
D après le th de Pythagore, AC 2 et AJ 1,25 Alors cos(JAC) 1,5
2 1,25
3 10
10 et JAC 18°.
1.
a. On se place dans le repère orthonormal (D,C,A) (que l on peut aussi noter (D DC DA)).
On a DI
0,5
1 et DA
0
1 donc DI.DA 0,5 0 1 1 1.
Remarque : on peut obtenir ce résultat en décomposant DI en DA AI .
b. En projetant orthogonalement DA sur (DI), on a DI.DA DI.DL DI DL car DI et DL sont colinéaires de même sens.
D après le th de Pythagore, DI 1,25 5 2 Ainsi 5
2 DL 1 et donc DL 1 5 2
2 5
2 5 5
