1`ere 11 Correction DM 1 septembre 2014 Exercice 1 :
(1)
A B
C M
N
(2) On peut d´ej`a r´e´ecrire−−→
AN = 2−→
AC+ 2−−→ CB+ 3−−→
BC= 2−→
AC+−−→ BC On a ainsi :
−−→M N =−−→
M A+−−→
AN =−−−→ BC−12−→
AC+ 2−→
AC+−−→
BC= 52−→
AC Les vecteurs−→
ACet−−→
M N sont colin´eaires, donc les droites (AC) et (M N) sont parall`eles.
Exercice 2 :
(1) A(0; 0), B(1; 0),C(1; 1) etD(0; 1).
(2) AE =AB= 1. L’abscisse deE est 0,5 car la hauteur et la m´ediatrice d’un triangle ´equilat´eral sont confondues. L’ordonn´ee de E est la lon- gueur de la hauteur du triangle. Par le th´eor`eme de Pythagore, si on appelle h cette longueur, on a :h2+ 122 = AE2 = 1 et donc h2 = 34 et h=
√ 3
2 . On a donc E(12;
√ 3 2 ).
De la mˆeme fa¸con, on montre queF(1 +
√ 3 2 ;12).
(3) Pour montrer que D, E et F sont align´es, il suffit de montrer que les vecteurs−−→
DE et−−→
DF colin´eaires.
On a−−→
DE
1
√2 3 2 −1
et−−→
DF 1+
√ 3 2
−12
. Et on a :
−1 2×1
2−(
√3
2 + 1)×(
√3
2 −1) =−1 4−(3
4−1) = 0.
Les vecteurs sont colin´eaires, donc les points sont align´es.
