2 La formule d’intégration par parties

(1)

Calculs de primitives et d’intégrales

Dans ce chapitre, on aborde exclusivement lescalculsde primitives ou d’intégrales comme le prévoit le programme officiel.

Lathéoriede l’intégration est repoussée au deuxième semestre.

Plan du chapitre

1 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments . . . .page 2 1.1Primitives . . . page 2 1.2Formulaires de primitives usuelles . . . page 2 1.3Intégrales . . . page 6 1.4Intégrale fonction de la borne supérieure . . . page 7

2 La formule d’intégration par parties. . . .page 9

3 Changements de variable. . . .page 11 3.1La formule de changement de variables . . . page 11 3.2Quelques applications . . . page 13

4 Quelques situations usuelles. . . .page 14 4.1Primitives de 1

ax²+bx+c,a6=0 . . . page 14 4.2Primitives de fonctions transcendantes dont la dérivée est algébrique (ln, Arcsin, Arctan,. . .) . . . page 15 4.3Produit d’une exponentielle et d’un polynôme . . . page 15 4.4Produit d’une exponentielle et d’un sinus ou d’un cosinus . . . page 16 4.5Polynômes trigonométriques . . . page 16 4.6Fractions rationnelles en sinx, cosxet tanx . . . page 17 4.7Fractions rationnelles ene^x, chx, shxet thx . . . page 18

(2)

1 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments

1.1 Primitives

Définition 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR. Une primitive defsurIest une fonctionFdérivable surItelle queF^′=f.

Par exemple, les fonctionsF1 : x7→x²et F2 : x7→x²+1 sont deux primitives de la fonctionf : x7→2xsurR. On admet pour l’instant le théorème suivant :

Théorème 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs dansR(resp.C).

1)Si festcontinuesur l’intervalleI, alorsfadmet au moins une primitive surI.

2) SiF est une primitive de fsur I,lesprimitives de f surI sont les fonctions de la formex7→F(x) +C oùC∈R (resp.C).

3)Pour tout(x₀, y₀)∈I×R(resp.I×C), il existe une primitive FdefsurIet une seule telle queF(x₀) =y₀.

➱ Commentaire. Il ne faut pas considérer le 1) comme une anecdote. Il existe des fonctions très simples qui n’admettent pas de primitive. Considérons par exemple, la fonction f : [0, 1] → R

x 7→ E(x)

oùE(x) désigne la partie entière du réelx.

1

b b

Pour toutxde[0, 1], on a f(x) =

0si06x < 1

1six=1 . Supposons par l’absurde que la fonctionfadmette une primitiveFsur[0, 1].F est une fonction dérivable sur[0, 1], de dérivée nulle sur[0, 1[. Donc,Fest constante sur[0, 1[. MaisFétant dérivable sur[0, 1],Fest en particulier continue sur[0, 1]. PuisqueFest constante sur[0, 1[et continue sur[0, 1],Fest constante sur[0, 1]. Mais alors, puisque Fest constante sur[0, 1], sa dérivéeF^′ est nulle sur[0, 1]ou encorefest nulle sur[0, 1]ce qui n’est pas. La fonctionfn’admet donc pas de primitive sur[0, 1].

1.2 Formulaires de primitives usuelles

On récupère les formules de dérivées des chapitres antérieurs et on les inverse. On obtient les formulaires de primitives ci-dessous. Le premier concerne les « fonctions puissances ».

Fonction Une primitive Intervalle Commentaire

xⁿ xⁿ⁺¹

n+1 R n∈N

1

x ln(x) ]0,+∞[

1

x ln(|x|) ] −∞, 0[ ou]0,+∞[

1

xⁿ − 1

(n−1)xⁿ⁻¹ R⁺∗ouR⁻∗ n∈N\ {0, 1}

√1

x 2√x ]0,+∞[

x^α x^α+1

α+1 ]0,+∞[ α∈R\ {−1}

Le deuxième formulaire concerne les « fonctions exponentielles » et apparentées.

(3)

e^x e^x R

e^zx 1

ze^zx R z∈C∗

a^x a^x

lna R a > 0eta6=1

shx chx R

chx shx R

1

ch²x =1−th²x thx R

thx ln(chx) R

Le troisième concerne la « trigonométrie circulaire ».

cosx sinx R

sinx −cosx R

1

cos²x =1+tan²x tanx i

−π

2 +kπ,π 2 +kπh

k∈Z

− 1

sin²x = −1−cotan²x cotanx ]kπ,(k+1)π[ k∈Z

tanx −ln|cosx| i

−π

2 +kπ,π 2 +kπh

k∈Z 1

sinx ln

tanx

2

]kπ,(k+1)π[ k∈Z 1

cosx ln

tanx

2 +π 4

i−π

2 +kπ,π 2 +kπh

k∈Z

Les deux dernières formules méritent un commentaire. Nous décrirons plus loin différentes manières de les établir. Pour l’instant, le plus simple est de les vérifier :

ln tanx

2

′

= 1 2 ×

1+tan²x 2

tanx 2

= 1 2tanx

2

/

1+tan²x 2

= 1 sinx. Cette formule est valable sur tout intervalle sur lequel la fonction sinus ne s’annule pas. Ensuite,

ln tanx

2 +π 4

′

=

ln tan

x+ (π/2) 2

′

= 1

sin x+ π

2

= 1 cosx. Le quatrième formulaire concerne les fonctions trigonométriques réciproques.

√ 1

1−x² Arcsinx ] −1, 1[

√ 1

a²−x² Arcsinx

a

] −a, a[ a > 0

1

1+x² Arctanx R

1 x²+a²

1

aArctanx a

R a6=0

1 (x+α)²+β²

1

βArctan

x+α β

R β6=0

c 3 http ://www.maths-france.fr

(4)

Vérifions les deuxième et quatrième formules. Sia > 0, Arcsinx

a ′

= 1

a × 1

r 1− x²

a²

= 1

a× 1

1 a

√a²−x²

= 1

√a²−x².

De même, sia6=0,

1

aArctanx a

′

= 1 a× 1

a 1 1+ x²

a²

= 1

a² × 1

1

a²(a²+x²)

= 1

x²+a².

La dernière formule s’en déduit par translation. Cette formule sera utilisée dans les calculs de primitives de certaines fractions rationnelles.

Nous allons ajouter encore deux formules de primitives à toutes celles qui viennent d’être données.

• Une primitive surI=] −∞,−1[ouI=] −1, 1[ ouI=]1,+∞[de la fonction f : x7→ 1

1−x² est la fonction x7→ 1

2ln

1−x 1+x

(alors qu’une primitive de la fonctionx7→ 1

1+x² surRest la fonctionx7→Arctanx).

En effet, pour toutxdeI, 1

1−x² = 1

(1−x)(1+x) = 1 2

1−x+1+x (1−x)(1+x) = 1

2

1−x

(1−x)(1+x)+ 1+x (1−x)(1+x)

= 1 2

1

1+x+ 1 1−x

= 1 2

1

1+x− −1 1−x

et donc une primitive def surIest la fonctionF : x7→ 1

2(ln|1+x|−ln|1−x|) = 1 2ln

1−x 1+x

(on rappelle que (ln|u|)^′= u^′

u).

• Une primitive surRde la fonctionf : x7→ 1

√1+x² est la fonctionx7→ln x+√

x²+1

(alors qu’une primitive de la fonctionx7→ 1

√1−x² sur] −1, 1[est la fonctionx7→Arcsinx). En effet, pour toutxdeI,

F^′(x) =

1+ 2x 2√

x²+1

× 1

x+√

x²+1 = x+√ x²+1

√x²+1 × 1 x+√

x²+1

= 1

√x²+1.

Sinon, il y a des formules plus générales : siF et Gsont des primitives def et gsurI(intervalle donné de R), alors une primitive def+gsurIestF+Get une primitive deλf (λ∈C) surIest λF. D’autre part, sifest dérivable surIetgest dérivable surf(I), une primitive de f^′×(g^′◦f)surIest g◦f. Cette dernière formule fournit le formulaire non exhaustif suivant :

Fonction Primitive Commentaire

f^′f^α f^α+1

α+1 α∈R\ {−1}

f^′

f ln|f|

f^′

fⁿ − 1

(n−1)fⁿ⁻¹ n∈N\ {0, 1}

f^′

√f 2√

f

f^′e^f e^f

f^′sinf −cosf

f^′cosf sinf

f^′shf chf

f^′chf shf

(5)

f^′

cos²f =f^′ 1+tan²f

tanf f^′

ch²f =f^′

1−th²f

thf f^′

√1−f² Arcsinf

f^′

1+f² Arctanf

... ... ...

La deuxième formule (une primitive de f^′

f sur I est ln|f|) mérite un commentaire. Si I est un intervalle sur lequel f est strictement positive,

(ln◦|f|)^′= (ln◦f)^′= f^′ f, et siIest un intervalle sur lequel fest strictement négative, alors

(ln◦|f|)^′= (ln◦(−f))^′ = −f^′

−f = f^′ f.

Donc, siIest un intervalle sur lequelfest de signe contant et ne s’annule pas, une primitive de la fonctionx7→ f^′(x) f(x) est la fonctionx7→ln(|f(x)|).

Exercice 1.Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalleIconsidéré (on admettra que les fonctions considérées sont définies et continues surI).

1)f1 : x7→ x

(x²+1)³, I=R. 2)f₂ : x7→ x

x²+1, I=R. 3)f3 : x7→

2sin²x 2

x−sinx ,I=]0,+∞[.

4)f4 : x7→ 1

x²+2x+2,I=R. 5)f₅ : x7→(x+1)√

x²+2x+5, I=R. 6)f6 : x7→(1+lnx)x^x,I=]0,+∞[.

7)f7 : x7→ e^x

1+e^2x,I=R. 8)f8 : x7→ 1

√2x−x²,I=]0, 2[.

9)f9 : x7→ 1

x,I=] −∞, 0[.

Solution 1.

1)Pour tout réelx,f1(x) = x

(x²+1)³ = 1

2 × 2x

(x²+1)³ (avec x²+1′

=2x). Donc, une primitive de la fonctionf1sur Rest la fonctionF₁ : x7→ 1

2 ×− 1

2(x²+1)² = − 1 4(x²+1)². 2)Pour tout réelx,f2(x) = x

x²+1 = 1 2× 2x

x²+1 (avec x²+1′ =2x). Donc, une primitive de la fonctionf2 surRest la fonctionF₂ : x7→ 1

2ln x²+1

= 1

2ln x²+1 .

3)Pour tout réelx > 0,f3(x) =

2sin²x 2

x−sinx = 1−cosx

x−sinx (avec(x−sinx)^′=1−cosx). Donc, une primitive de la fonction f3sur]0,+∞[est la fonctionF3 : x7→ln(x−sinx)(car pour tout x > 0,x−sinx > 0).

(6)

4)Pour tout réelx,f4(x) = 1

x²+2x+2 = 1

1+ (x+1)² (avec(x+1)^′=1). Donc, une primitive de la fonctionf4surR est la fonctionF4 : x7→Arctan(x+1).

5)Pour tout réel x,f5(x) = (x+1)√

x²+2x+5= 1

2(2x+2) x²+2x+5

1

2 (avec x²+2x+5′ =2x+2). Donc, une primitive de la fonctionf5surRest la fonctionF5 : x7→ 1

2

x²+2x+5

3 2

= 1

3 x²+2x+5√

x²+2x+5.

6)Pour tout réelx > 0,f6(x) = (1+lnx)x^x= (1+lnx)e^x^ln^x(avec(xlnx)^′=1+lnx). Donc, une primitive de la fonction f6sur]0,+∞[est la fonctionF6 : x7→e^x^ln^x=x^x.

7) Pour tout réel x, f7(x) = e^x

1+e^2x = e^x

1+ (e^x)² avec (e^x)^′ = e^x. Donc, une primitive de la fonction f7 sur R est la fonctionF7 : x7→Arctan(e^x).

8)Pour tout réelx∈]0, 2[,f₈(x) = 1

√2x−x² = 1

p1− (x−1)² (avec(x−1)^′=1). Donc, une primitive de la fonctionf₈ sur]0, 2[ est la fonctionF8 : x7→Arcsin(x−1).

8)Une primitive de la fonctionf9 : x7→ 1

x sur] −∞, 0[est la fonctionF9 : x7→ln|x|=ln(−x).

1.3 Intégrales

Nous redisons que l’étude de la théorie de l’intégration est repoussée au deuxième semestre. En particulier, la définition correcte de l’intégrale attendra. Aujourd’hui, nous nous contenterons d’une définition « intuitive ».

On se donnefune fonction définie sur unsegment[a, b]deRà valeurs dansR. On suppose de plus quefest continue sur [a, b]. Pourx∈[a, b], « l’aire algébrique infinitésimale du trait » de mesure algébriquef(x)(c’est-à-dire de longueur|f(x)|

et affecté du signe def(x)) et d’épaisseur infinitésimaledx(pour « différence infinitésimale de valeursx») estf(x)×dx.

aire algébrique=f(x₁)×dx

aire algébrique=f(x₂)×dx dx

dx

L’intégraledeaàbdef, notée Zb

a

f(x)dx(R

est la lettre S, initiale du mot somme), est la somme de ces aires algébriques quandxvarie deaàb.

aire algébrique=

Zb

a

f(x)dx

a

b

Ensuite, sif est une fonction continue sur le segment[a, b]à valeurs dansC, on adopte la définition suivante :

(7)

Définition 2.Soitfune fonction continue sur un segment [a, b]deRà valeurs dansC. On pose Zb

a

f(x)dx= Zb

a

Re(f(x))dx+i Zb

a

Im(f(x))dx.

Une première conséquence de la « définition » de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment à valeurs dansRou Cest

∀λ∈C, Zb

a

λ dx=λ(b−a).

On démontrera au deuxième semestre :

Théorème 2.Soitfune fonction continue sur un segment[a, b]deRà valeurs dansRouC. Zb

a

f(x)dx=F(b) −F(a), oùFest une primitive quelconque de fsur[a, b].

➱ Commentaire.

⋄ Le résultat ne dépend pas du choix d’une primitive puisque siG est une autre primitive defsur[a, b], il existe une constante C telle que pour toutxde[a, b],G(x) =F(x) +C. On a alors

G(b) −G(a) = (F(b) +C) − (F(a) +C) =F(b) −F(a).

⋄ La plupart des calculs d’intégrale se font en deux étapes : calculer une primitiveFpuis calculerF(b) −F(a). Pour cette raison, on introduit la notation

F(b) −F(a) = [F(x)]^b_a.

Les propriétés usuelles de l’intégrale qui seront établies au second semestre sont les suivantes :

• Linéarité.Soientfdeux fonctions continues sur un segment[a, b]à valeurs dansRouCetλet µdeux nombres réels ou même complexes. Alors

Zb

a

(λf(x) +µg(x))dx=λ Zb

a

f(x)dx+µ Zb

a

g(x)dx.

On note à ce sujet que l’on a donc aussi la « linéarité du crochet » :[λF(x) +µG(x)]^b_a=λ[F(x)]^b_a+µ[G(x)]^b_a.

•Positivité, croissance.Sifest une fonction continue sur[a, b]et positive sur[a, b](ou encore à valeurs dansR⁺), alors

Zb

a

f(x)dx>0.

Si fetgsont deux fonctions continues sur[a, b]à valeurs dansRtelles que pour toutxde[a, b],f(x)6g(x)(ou encore telles quef6g), alors

Zb

a

f(x)dx6 Zb

a

g(x)dx.

• Relation deChasles.Pour tout réelcde]a, b[, Zb

a

f(x)dx= Zc

a

f(x)dx+ Zb

c

f(x)dx.

• Pour toute fonctionfcontinue sur[a, b]à valeurs dansRouC,

Zb

a

f(x)dx

6 Zb

a

|f(x)|dx.

1.4 Intégrale fonction de la borne supérieure

On se donnefune fonction continue sur un intervalleIdeRà valeurs dansRouC. On généralise conventionnellement la relation deChasles: poura∈I,

Za

a

f(x)dx=0 et pour(a, b)∈I²tel queb < a, Zb

a

f(x)dx= − Za

b

f(x)dx. On obtient alors une relation deChaslesplus générale :

∀(a, b, c)∈I³, Zb

a

f(x)dx= Zc

a

f(x)dx+ Zb

c

f(x)dx.

Si maintenantaest un réel fixé deIetxun réel variable deI, on a Zx

a

f(t)dt=F(x) −F(a)ou encore

(8)

∀x∈I, F(x) =F(a) + Zx

a

f(t)dt.

On obtient alors :

Théorème 3.Soitfune fonction continue sur un intervalleIdeRà valeurs dansRouC.

•Pour toutadeI, la fonctionF : x7→

Zx

a

f(t)dtest une primitive de la fonctionfsurI.

•pour toutx0deIet touty0deRouC, il existe une primitiveFet une seule defsurItelle queF(x₀) =y0à savoir :

∀x∈I, F(x) =y0+ Zx

x0

f(t)dt.

(expression de la primitive defsurIqui prend la valeury₀enx₀). En particulier, pour toutx₀deI,laprimitive de la fonctionfsurIqui s’annule enx0est la fonctionx7→

Zx

x0

f(t)dt.

Par exemple, pour tout réelx, Arctan(x) = Zx

0

1 1+t² dt.

➱ Commentaire.

⋄ La notation Zx

a

f(x)dx ne veut rien dire : commentxpourrait-il varier deaà x(comment 2pourrait-il varier de1à 2) ? On a besoin de deux lettres différentes. Un réelxdeIest donné dansIpuis un réeltvarie deaàx(ou dexàa).

⋄ Dans la notation Zx

a

f(t)dt, la variabletest muette.

Zx a

f(t)dtest une fonction dexmais pas det. Pour cette raison, une phrase du genre∀t . . .

Zx a

f(t)dt=. . .ne veut rien dire.

⋄ Les primitives defsurI sont les fonctions de la formex7→λ+ Z_x

a

f(t)dtoùλ etasont quelconques. On décide alors de noter Z

f(t)dtl’ensemble des primitives de fsurI. Cette notation permet d’écrire de manière abrégée par exemple Z

x dx= x² 2 +C, C∈R.

Exercice 2.Pourx∈R, on pose F(x) = Zx

0

√ dt

1+t⁴. On noteC la courbe représentative deFdans le plan rapporté à un repère orthonormé

O,→− i ,−→

j . 1)Vérifier queF est définie surR.

2)Vérifier queF est dérivable surRet préciser sa dérivée. En déduire les variations deFsurR. 3)Déterminer une équation de la tangente àCen son point d’abscisse0.

4)En considérant la fonctionϕ : x7→F(x) +F(−x), montrer que la fonction Fest impaire.

5) a)Montrer que pour toutx>1,F(x)< 2.

b)En déduire que Fa une limite réelle en+∞. 6)Donner l’allure du graphe de la fonctionF.

Solution 2.Pourx∈R, on posef(x) = 1

√1+x⁴ de sorte que pour tout réelx,F(x) = Zx

0

f(t)dt.

1)Pour tout réelx,x⁴+1 > 0. Donc, la fonctionfest continue surR. On en déduit que la fonctionFest définie surR. 2)Puisquef est continue surR,Fest dérivable surRetF^′=f. Puisque

∀x∈R, F^′(x) = 1

√1+x⁴

la fonctionF^′ est strictement positive surRet donc la fonctionF est strictement croissante surR.

3)Une équation de la tangente àCen son point d’abscisse0esty=F(0)+F^′(0)(x−0)avecF(0) =0etF^′(0) = 1

√1+0⁴ =1.

Une équation de la tangente àCen son point d’abscisse0esty=x.

4)La fonctionfest paire. Pourx∈R, posonsϕ(x) =F(x) +F(−x). La fonctionϕest dérivable surRet pour tout réelx,

(9)

ϕ^′(x) =F^′(x) −F^′(−x) =f(x) −f(−x) =0.

La fonctionϕest donc constante surRpuis pour toutx∈R,ϕ(x) =ϕ(0) =F(0) +F(0) =0. On en déduit que pour tout réelx,F(−x) = −F(x)et donc que la fonctionF est impaire.

5) a)Soitx>1.

F(x) = Z1

0

√ 1

1+t⁴ dt+ Zx

1

√ 1

1+t⁴ dt 6

Z1

0

√ 1

1+0⁴ dt+ Zx

1

√ 1

0+t⁴ dt(carx>1)

=1+ Zx

1

t² dt=1+

−1 t

x 1

=1+

−1 x+1

=2−1 x

< 2.

On a montré que pour toutx > 0,F(x)< 2.

b)La fonctionFest croissante sur [1,+∞[ et est majorée par2 sur[1,+∞[. On en déduit que la fonctionF a une limite réelle en+∞.

6) Allure du graphe de la fonction F.

➱ Commentaire. La fonction f : x 7→ 1

√1+x⁴ est continue sur R et à ce tire, admet des primitives sur R. La primitive de fsurRqui s’annule en0 est la fonctionF : x7→

Zx 0

√ 1

1+t⁴ dt. On n’a pas d’écriture plus simple de Fcar F ne s’exprime pas à l’aide des fonctions usuelles. Ne cherchez pas de fonction obtenue en combinant des polynômes, des racines carrées, des exponentielles, des cosinus, des arcsinus . . . , vous n’en trouverez pas.

C’est aussi le cas de la fonctionf : x7→e(x²). La primitive defsurRqui s’annule en0est la fonctionF : x7→

Zx 0

e(^t²)dt. Les primitives defsurRne s’expriment pas à l’aide des fonctions usuelles à la différence des primitives de la fonctionx7→2xe(^x²)qui sont les fonctions de la formex7→e(^x²) +C,C∈R.

2 La formule d’intégration par parties

Nous allons maintenant donner une formule qui permet de transformer le problème du calcul d’une intégrale en le problème du calcul d’une autre intégrale, plus simple.

Dans ce paragraphe, nous aurons souvent besoin de fonctions dérivables dont la dérivée est continue. La définition suivante permet d’alléger le vocabulaire.

(10)

Définition 3.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeRà valeurs dansRouC. On dit quef estde classe C¹ sur Isi et seulement sif est dérivable surIet sa dérivéef^′ est continue surI.

➱ Commentaire. Nous définirons plus tard la notion de fonctions de classeC^k, k∈N. Les fonctions de classeC⁰ seront les fonctions continues, les fonctions de classeC¹ sont les fonctions dérivables dont la dérivée est continue, les fonctions de classeC² seront les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est continue . . .

On donne maintenant la formule d’intégration par parties :

Théorème 4.Soient aet bdeux réels tels quea < b. Soientuet vdeux fonctions définies sur [a, b]à valeurs dans RouC, de classeC¹ sur[a, b]. Alors,

Zb

a

u^′(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a− Zb

a

u(x)v^′(x)dx.

Démonstration. Par hypothèse, les fonctionsuetvsont dérivables sur[a, b]. Il en est de même de la fonction uv:

(uv)^′=u^′v+uv^′.

Par hypothèse, les fonctions uet vsont de classe C¹ sur le segment [a, b]. Donc, les fonctions u^′v et uv^′ sont continues sur le segment[a, b]. On intègre les deux membres sur le segment[a, b]et on obtient par linéarité de l’intégrale :

Zb a

u^′(x)v(x)dx+ Zb

a

u(x)v^′(x)dx= Zb

a

(uv)^′(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a, d’où le résultat.

❏ Exemple 1.CalculonsI=

Z1

0

xe^xdx. Pour cela, pourx∈[0, 1], posons u(x) =e^x v(x) =x u^′(x) =e^x v^′(x) =1

Les deux fonctions uet vsont de classeC¹ sur le segment[0, 1]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit :

Z1

0

xe^xdx= Z1

0

u^′(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]¹₀− Z1

0

u(x)v^′(x)dx

= [xe^x]¹₀− Z1

0

1×e^xdx=e− Z1

0

e^xdx

=e− [e^x]¹₀=e− (e−1)

=1.

Donc, Z1

0

xe^xdx=1. Pendant le calcul, on a remplacé le problème du calcul de l’intégrale sur[0, 1]de la fonctionx7→xe^x (dont on ne devinait pas une primitive) par le problème du calcul de l’intégrale sur[0, 1]de la fonctionx7→e^xqui s’achève aisément. L’intégration par parties a eu pour effet de faire disparaîtrexen le dérivant.

❏ Exemple 2.En terminale, l’espérance de la loi exponentielle de paramètreλ (λ > 0) est lim

X→+∞

ZX

0

x×λe^−λxdx.

SoitX > 0. Calculons I= ZX

0

x×λe^−λxdx. Pour cela, pourx∈[0, X], posons u(x) = −e^−λx v(x) =x u^′(x) =λe^−λx v^′(x) =1