MATHEMATIQUES I B Analyse
EXERCICE 380 page 285
1. R
x(x+ 1)dx = R ¡ x2+x¢
dx = 13x3+12x2+cte Rx(x+ 1)2dx = R ¡
x3+ 2x2+x¢
dx = 14x4+23x3+12x2+cte
2. R
x(x+ 1)3dx = R x¡
x3+ 3x2+ 3x+ 1¢ dx
= R ¡
x4+ 3x3+ 3x2+x¢
dx = 15x5+34x4+x3+12x2+cte R x(x+ 1)4dx = R
x¡
x4+ 4x3+ 6x2+ 4x+ 1¢ dx
= R ¡
x5+ 4x4+ 6x3+ 4x2+x¢
dx = 16x6+45x5+32x4+43x3+12x2+cte 3. Pour calculeR
x(x+ 1)10dxon peut penser qu’il y ait un avantage d’utiliser la méthode par parties.
Voici le tableau :
x (x+ 1)10 1 (x+1)1111 0 (x+1)12·1112 qui donne :
Z
x(x+ 1)10dx = x(x+ 1)11
11 −(x+ 1)12 132 +cte
= (11x−1) (x+ 1)11
132 +cte
C’est effectivement plus rapide.
4. Substitution bilatérale, sans changement de bornes. Voici le tableau : u=x+ 1 ⇔ x=u−1
dx=du Z
x(x+ 1)10dx = Z
(u−1)u10du
= Z ¡
u11−u10¢ du
= u12 12 +u11
11 +cte
= 1
12(x+ 1)12+ 1
11(x+ 1)11+cte C’est la méthode la plus rapide.
EXERCICE 434 page 293 (méthode pour factoriser !)
1. Les formules deCarnot:
Partons de la formule dede Moivre: cisnϕ=cis(nϕ) Pour n= 2:
cis2ϕ=cis(2ϕ) ⇒ (cosϕ+isinϕ)2= cos 2ϕ+isin 2ϕ Par binôme deNewton ⇒ cos2ϕ−sin2ϕ+ 2icosϕsinϕ= cos 2ϕ+isin 2ϕ identifier parties réelles et imaginaires =⇒
½ cos 2ϕ= cos2ϕ−sin2ϕ
sin 2ϕ= 2 sinϕcosϕ formules deCarnot 2. De même, pourn= 3(La même méthode reste valable pour tout n∈N≥2) :
cis3ϕ=cis(3ϕ) ⇒ (cosϕ+isinϕ)3= cos 3ϕ+isin 3ϕ Par binôme deNewton ⇒ cos3ϕ+ 3icos2ϕsinϕ−3 cosϕsin2ϕ−isin3ϕ
= cos 3ϕ+isin 3ϕ identifier parties réelles et imaginaires =⇒
½ cos 3ϕ= cos3ϕ−3 cosϕsin2ϕ sin 3ϕ= 3 cos2ϕsinϕ−sin3ϕ
ch 1
MATHEMATIQUES I B Analyse
EXERCICE 435 page 293 (méthode pour linéariser)
1. z= cosθ+isinθ⇒
½ cosθ= Rez=12(z+z) sinθ= Imz= 2i1 (z−z) Démonstration :
eiθ= cosθ+isinθalors (voir page 3 No4)eiθ= cosθ−isinθ Alors :eiθ+eiθ= cosθ+isinθ+ cosθ−isinθ= 2 cosθet aussieiθ−eiθ= cosθ+isinθ−cosθ+isinθ= 2isinθ
2. D’un côté, on trouve facilement avec les formules de deMoivre :
zn= (cosθ+isinθ)n =cisnθdeMoivre= cis(nθ) = cosnθ+isinnθ On en déduit ensuite :
zn= cosnθ−isinnθ 3. Avec les relations de la première partie, on peut écrire :
½ cosnθ=12(zn+zn)
sinnθ=2i1 (zn−zn) ou encore : (z)
½ (zn+zn) = 2 cosnθ (zn−zn) = 2isinnθ 4. Avec la relation de (1) ci dessus, on peut écrire tout naturellement : :
cosnθ= µ1
2(z+ ¯z)
¶n
et sinnθ= µ1
2i(z−z)¯
¶n
5. Tous les exemples de linéarisation suivent exactement le même chemin ! (a)
cos4θ = ¡1
2(z+ ¯z)¢4
on utilise (4) ci-dessus
= 161 ¡
z4+ 4z3z+ 6z2z2+ 4zz3+z4¢
binôme deNewton
= 161 ¡
z4+ 4z2+ 6 + 4z2+z4¢
car zz=|z| ! ! != 1
= 161 ¡¡
z4+z4¢ + 4¡
z2+z2¢ + 6¢
grouper les termes de même exposant
= 161 (2 cos 4θ+ 4·2 cos 2θ+ 6) on a utilisé (z)! !
= 18cos 4θ+12cos 2θ+38 (b)
sin4θ = ¡1
2i(z−z)¯¢4
on utilise (4) ci-dessus
= 16i14
¡z4−4z3z+ 6z2z2−4zz3+z4¢
binôme deNewton
= 161 ¡
z4−4z2+ 6−4z2+z4¢
car zz=|z| ! ! != 1
= 161 ¡¡
z4+z4¢
−4¡
z2+z2¢ + 6¢
grouper les termes de même exposant
= 161 (2 cos 4θ−4·2 cos 2θ+ 6) on a utilisé (z)! !
= 18cos 4θ−12cos 2θ+38 (c)
cos5θ = ¡1
2(z+ ¯z)¢5
on utilise (4) ci-dessus
= 321 ¡
z5+ 5z4z+ 10z3z2+ 10z2z3+ 5zz4+z5¢
binôme deNewton
= 321 ¡
z5+ 5z3+ 10z+ 10z+ 5z3+z5¢
car zz=|z| ! ! != 1
= 321 ¡¡
z5+z5¢ + 5¡
z3+z3¢
+ 10 (z+z)¢
grouper les termes de même exposant
= 321 (2 cos 5θ+ 5·2 cos 3θ+ 10·2 cosθ) on a utilisé (z)! !
= 161 cos 5θ+165 cos 3θ+58cosθ
(d)
cos2θsin3θ = ¡1
2(z+ ¯z)¢2¡1
2i(z−z)¢3
on utilise (4) ci-dessus
= 14¡
z2+ 2zz+z2¢ 1
8i3
¡z3−3z2z+ 3zz2−z3¢
binôme deNewton;
= 32i−1¡
z2+ 2 +z2¢ ¡
z3−3z+ 3z−z3¢
car zz=|z| ! ! != 1 eti3=−i
= 32i−1(z5−z3−2z+ 2z+z3−z5) développer et réduire (sans faute !)
= 32i−1(¡
z5−z5¢
−¡
z3−z3¢
−2 (z−z)) grouper les termes de même. exp.
= 32i−1(2isin 5θ−2isin 3θ−2·2isinθ) on a utilisé (z)! !
= −161sin 5θ+161 sin 3θ+18sinθ
ch 2
MATHEMATIQUES I B Analyse 6. On utilise la méthode des linéarisations pour les problèmes d’intégration :
(a)
Z
cos4θdθ =
Z µ1
8cos 4θ+1
2cos 2θ+3 8
¶ dθ
= 1
32sin 4θ+1
4sin 2θ+3 8θ+cte (b)
Z
sin4θdθ =
Z µ1
8cos 4θ−1
2cos 2θ+3 8
¶ dθ
= 1
32sin 4θ−1
4sin 2θ+3 8θ+cte (c)
Z
cos5θdθ =
Z µ1
16cos 5θ+ 5
16cos 3θ+5 8cosθ
¶ dθ
= 1
80sin 5θ+ 5
48sin 3θ+5
8sinθ+cte (d)
Z
cos2θsin3θdθ =
Z µ−1
16 sin 5θ+ 1
16sin 3θ+1 8sinθ
¶ dθ
= 1
80cos 5θ− 1
48cos 3θ−1
8cosθ+cte
ch 3
MATHEMATIQUES I B Analyse COMPLÉMENT:
Voici une liste assez complète des problèmes de linéarisation.
Retrouve ces résultats ! sin2x= 12−12cos 2x sinxcosx= 12sin 2x cos2x= 12cos 2x+12 sin3x=−14sin 3x+34sinx sin2xcosx= 14cosx−14cos 3x sinxcos2x= 14sin 3x+14sinx cos3x= 14cos 3x+34cosx sin4x= 38+18cos 4x−12cos 2x sin3xcosx=−18sin 4x+14sin 2x sin2xcos2x=18−18cos 4x sinxcos3x= 18sin 4x+14sin 2x cos4x= 18cos 4x+12cos 2x+38 sin5x= 161 sin 5x−165 sin 3x+58sinx sin4xcosx= 18cosx−163 cos 3x+161 cos 5x sin3xcos2x=−161 sin 5x+18sinx+161 sin 3x sin2xcos3x=−161 cos 3x+18cosx−161 cos 5x sinxcos4x= 161 sin 5x+163 sin 3x+18sinx cos5x= 161 cos 5x+165 cos 3x+58cosx sin6x= 165 −321 cos 6x+163 cos 4x−1532cos 2x sin5xcosx= 321 sin 6x−18sin 4x+325 sin 2x
sin4xcos2x=−321 cos 2x+161 +321 cos 6x−161 cos 4x sin3xcos3x=−321 sin 6x+323 sin 2x
sin2xcos4x=−161 cos 4x+321 cos 2x+161 −321 cos 6x sinxcos5x= 321 sin 6x+18sin 4x+325 sin 2x
cos6x= 321 cos 6x+163 cos 4x+1532cos 2x+165 sin 2xsin2x=12sin 2x−14sin 4x
sin 3xsinxcosx=14cosx−14cos 5x sin 4xcos2x= 14sin 6x+14sin 2x+12sin 4x sin 3xsin3x=−18+18cos 6x+38cos 2x−38cos 4x sin 2xsin2xcosx= 18sin 3x+14sinx−18sin 5x sin 2xsinxcos2x=−18cos 3x−18cos 5x+14cosx sin 3xcos3x= 18sin 6x+38sin 4x+38sin 2x
sin 4xsin4x=38sin 4x+161 sin 8x−14sin 6x−14sin 2x sin 3xsin3xcosx= 161 cosx+18cosxcos 6x−163 cos 5x sin 2xsin2xcos2x= 18sin 2x−18sin 2xcos 4x
sin 3xsinxcos3x=−18cos 5x−161 cos 7x+163 cosx sin 4xcos4x= 161 sin 8x+14sin 6x+14sin 2x+38sin 4x cos 2xsin2x= 12cos 2x−14cos 4x−14
cos 3xsinxcosx= 14sin 5x−14sinx
cos 4xcos2x= 14cos 2x+14cos 6x+12cos 4x cos 3xsin3x=−18sin 6x+38sin 4x−38sin 2x cos 2xsin2xcosx= 14cos 3x−14cosxcos 4x cos 2xsinxcos2x= 14sinxcos 4x+14sin 3x cos 3xcos3x= 18cos 6x+18+38cos 2x+38cos 4x
cos 4xsin4x= 38cos 4x+161 cos 8x+161 −14cos 2x−14cos 6x cos 3xsin3xcosx= 18sin 5x−161 sin 7x−163 sinx
cos 2xsin2xcos2x=161 cos 2x−161 cos 6x
cos 3xsinxcos3x= 18sinxcos 6x−161 sinx+163 sin 5x cos 4xcos4x= 161 cos 8x+161 +14cos 2x+14cos 6x+38cos 4x
sinxcos4x+ cos 3xsin3x= 161 sin 5x+163 sin 3x+18sinx−18sin 6x+38sin 4x−38sin 2x
ch 4
