Exercices 17, 19, 20, 22, 24, 25 et 28 page 193-194

(1)

N°17 page 193 :

1) ݂^ᇱሺݔሻ = ሺݔ − 1ሻ^ᇱ− ሺ݁^௫ሻ^ᇱ= 1 − ݁^௫ 2) Étudions le signe de ݂^ᇱሺݔሻ :

݂^ᇱሺݔሻ ≥ 0 ⇔ 1 − ݁^௫ ≥ 0 ⇔ −݁^௫≥ −1 ⇔ ݁^௫ ≤ 1 ⇔ ݁^௫ ≤ ݁^଴ ⇔ ݔ ≤ 0 De même ݂^ᇱሺݔሻ ≤ 0 ⇔ ݔ ≥ 0

Ainsi ݂ est croissante sur ] − ∞; 0] et décroissante sur [0; +∞[ : elle admet donc un maximum en 0 de valeur ݂ሺ0ሻ = 0 − 1 − ݁^଴ = −1 − 1 = −2

3) Graphiquement, on voit que la courbe de ݃ est toujours au-dessus de la courbe de ℎ, il semble donc que ݃ሺݔሻ > ℎሺݔሻ pour tout ݔ réel.

À la question 2, il a été démontré que ݂ሺݔሻ ≤ −2 donc ݂ሺݔሻ < 0

݂ሺݔሻ < 0 ⇔ ݔ − 1 − ݁^௫< 0 ⇔ ݔ − 1 < ݁^௫⇔ ℎሺݔሻ < ݃ሺݔሻ ce qui démontre bien la conjecture ci- dessus.

Remarque : pour comparer deux fonctions, l’étude des variations puis le signe de la fonction différence est très souvent utilisée.

N°19 page 193 :

1) ݁^ଶ௫ିଷ= ݁^{ିଷ௫ାହ} ⇔ ݂ሺݔሻ = ݃ሺݔሻ

Les courbes des fonctions ݂ et ݃ se coupent au point d’abscisse 1,6.

La solution de l’équation ݁^ଶ௫ିଷ= ݁^{ିଷ௫ାହ} est donc 1,6.

2) Sur la deuxième ligne, Myriam doit ajouter : « car ݁^{ିଷ௫ାହ} ≠ 0 ».

Sur la 6^ème ligne, elle doit ajouter : « car ݁^଴ = 1 et ݁^௔ = ݁^௕ ⇔ ܽ = ܾ ».

Myriam obtient bien la bonne réponse car ^଼_ହ = 1,6.

3) ݁^ଶ௫ିଷ= ݁^{ିଷ௫ାହ} ⇔ 2ݔ − 3 = −3ݔ + 5 ⇔ 5ݔ = 8 ⇔ ݔ =^଼_ହ = 1,6 4ሻaሻ ݁^ସ௫ାଵ= ݁^ଵିଶ௫ ⇔ 4ݔ + 1 = 1 − 2ݔ ⇔ 6ݔ = 0 ⇔ ݔ = 0 ∶ ܵ = {0}

bሻ ݁^ିହ௫ = ݁^௫ାଷ⇔ −5ݔ = ݔ + 3 ⇔ −6ݔ = 3 ⇔ ݔ = 3

−6 = −1

2 ∶ ܵ = ൜−1 2ൠ 5) a)

On retrouve bien ݔ = 0 comme solution

On retrouve bien ݔ = −^ଵ_ଶ comme solution

(2)

N°20 page 193 :

1) ݁^ଶ௫ = 1 ⇔ ݁^ଶ௫ = ݁^଴ ⇔ 2ݔ = 0 ⇔ ݔ = 0 ∶ ܵ = {0}

2ሻ ݁^ଷ௫ = 0 n’a pas de solution car ݁^௫> 0 pour tout ݔ réel.

3ሻ ݁^ଷ௫ିଵ = 1 ⇔ ݁^ଷ௫ିଵ= ݁^଴ ⇔ 3ݔ − 1 = 0 ⇔ 3ݔ = 1 ⇔ ݔ =1

3 ∶ ܵ = ൜1 4) ݁^௫ିଵ− 1 = 0 ⇔ ݁^௫ିଵ= 1 ⇔ ݁^௫ିଵ= ݁^଴ ⇔ ݔ − 1 = 0 ⇔ ݔ = 1 ∶ ܵ = {1}3ൠ

N°22 page 194 :

1) ݁^௫ ≥ 1 ⇔ ݁^௫ ≥ ݁^଴ ⇔ ݔ ≥ 0 ∶ ܵ = [0; +∞[

2ሻ ݁^௫ିଶ< 1 ⇔ ݁^௫ିଶ < ݁^଴ ⇔ ݔ − 2 < 0 ⇔ ݔ < 2 ∶ ܵ =] − ∞; 2[

3ሻ ݁^ଶ௫ାଵ ≥ 0 ∶ toujours vrai car ݁^ଶ௫ାଵ > 0 pour tout ݔ réel: ܵ = ℝ

4) ݁^௫ିଵ− 1 ≤ 0 ⇔ ݁^௫ିଵ≤ 1 ⇔ ݁^௫ିଵ≤ ݁^଴ ⇔ ݔ − 1 ≤ 0 ⇔ ݔ ≤ 1 ∶ ܵ =] − ∞; 1]

N°24 page 194 : Pour tout ݔ réel :

݁^ଶ௫− 1

݁^௫+ 1 =

݁^ଶ௫ቀ1 − 1݁^ଶ௫ቁ

݁^௫ቀ1 + 1݁^௫ቁ =݁^ଶ௫

݁^௫ ×1 − ݁^ିଶ௫

1 + ݁^ି௫ = ݁^ଶ௫ି௫×1 − ݁^ିଶ௫

1 + ݁^ି௫ = ݁^௫×1 − ݁^ିଶ௫ 1 + ݁^ି௫

N°25 page 194 :

1) ݂^ᇱሺݔሻ = ሺ2ݔ + 1ሻ^ᇱ× ݁^௫+ ሺ2ݔ + 1ሻ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ= 2݁^௫+ ሺ2ݔ + 1ሻ݁^௫= ሺ2 + 2ݔ + 1ሻ݁^௫= ሺ2ݔ + 3ሻ݁^௫ 2ሻ ݃^ᇱሺݔሻ = ሺ−3ݔ − 1ሻ^ᇱ× ݁^௫+ ሺ−3ݔ − 1ሻ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ= −3݁^௫+ ሺ−3ݔ − 1ሻ݁^௫ = ሺ−3ݔ − 4ሻ݁^௫

3ሻ ℎ^ᇱሺݔሻ = ሺݔሻ^ᇱ× ݁^௫+ ݔ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ= 1 × ݁^௫+ ݔ × ݁^௫ = ሺݔ + 1ሻ݁^௫ 4ሻ ݌^ᇱሺݔሻ = ൬−1

2 ݔ + 1൰

ᇱ× ݁^௫+ ൬−1

2 ݔ + 1൰ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ = −1

2 ݁^௫+ ൬−1

2 ݔ + 1൰ ݁^௫= ൬−1 2 ݔ +1

2൰ ݁^௫

N°28 page 194 :

1ሻ ݂^ᇱሺݔሻ =ሺ݁^௫ሻ^ᇱ× ݔ − ݁^௫× ሺݔሻ^ᇱ

ݔ^ଶ =݁^௫× ݔ − ݁^௫× 1

ݔ^ଶ = ݁^௫ሺݔ − 1ሻ ݔ^ଶ 2ሻ ݃^ᇱሺݔሻ = ሺ݁^௫ሻ^ᇱ× ሺݔ + 1ሻ − ݁^௫× ሺݔ + 1ሻ^ᇱ

ሺݔ + 1ሻ^ଶ = ݁^௫ሺݔ + 1ሻ − ݁^௫× 1

ሺݔ + 1ሻ^ଶ = ݔ݁^௫ ሺݔ + 1ሻ^ଶ 3ሻ ℎ^ᇱሺݔሻ =ሺݔሻ^ᇱ× ሺ݁^௫+ 1ሻ − ݔ × ሺ݁^௫+ 1ሻ^ᇱ

ሺ݁^௫+ 1ሻ^ଶ =1 × ሺ݁^௫+ 1ሻ − ݔ݁^௫

ሺ݁^௫+ 1ሻ^ଶ = ݁^௫+ 1 − ݔ݁^௫ ሺ݁^௫+ 1ሻ^ଶ 4ሻ ݌^ᇱሺݔሻ = ሺ3ݔ + 1ሻ^ᇱ× ݁^௫− ሺ3ݔ + 1ሻ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ

ሺ݁^௫ሻ^ଶ =3݁^௫− ሺ3ݔ + 1ሻ݁^௫

ሺ݁^௫ሻ^ଶ = ൫3 − ሺ3ݔ + 1ሻ൯݁^௫

ሺ݁^௫ሻ^ଶ =−3ݔ + 2

݁^௫