22 27 21 26 20 25 24 23

Chapitre 6 Fonction exponentielle 145

© Hachette Livre 2019 – Guide pédagogique, mathématiques 1re Spécialité, collection Barbazo

0 1 x

y

1

b. Graphiquement, l’équation e^−5x=e^x+3 a pour solution x=−1

2.

0 1 x

y

1

5. e^4x+1=e^1−2x ⇔4x+1=1−2x⇔6x=0⇔x=0 e^−5x=e^x+3 ⇔ −5x=x+3⇔ −6x=3⇔x=−1

2 20 _{1. e}^2x _=1⇔e^2x _=e⁰ _{⇔2x=0⇔x=0} 6 =S={ }0

2. e^2x=0. Pour tout réel x, e^2x.0.

6 =S=∅

3. e^3x−1=1⇔e^3x−1=e⁰ ⇔3x−1=0⇔x= 1 3 6 =S= 1

{ }

3

4. e^x−1−1=0⇔e^x−1=1⇔e^x−1=e⁰ ⇔x−1=0⇔x=1 6 =S={ }1

21 1. e^2x+1=e^3x+2 ⇔2x+1=3x+2⇔ −x=1⇔x=−1 6 =S={ }−1

2. e^−x=e^2x+4 ⇔ −x=2x+4⇔ −3x=4⇔x=−4 3 6 =S= −4

{ }

3

3. e^−4x+1=e^x+1⇔ −4x+1=x+1⇔ −5x=0⇔x=0 6 =S={ }0

4. e^−x−1−e^2x+4 =0⇔e^−x−1=e^2x+4 ⇔ −x−1=2x+4⇔ −3x=5⇔x=−5 e^−x−1−e^2x+4 =0⇔e^−x−1=e^2x+4 ⇔ −x−1=2x+4⇔ −3x=5⇔x=−5 3

3 6 =S= −5

{ }

3

22 _{1. e}^x_>1⇔e^x_>e⁰_⇔x>0 6 =S=

[

0 ;+`

[

2. e^x−2,1⇔e^x−2,e⁰⇔x−2,0⇔x,2 6 =S=

]

−`; 2

[

3. e^2x+1>0 6 S==

]

−`;+`

[

4. e^x−1−1<0⇔e^x−1<1⇔e^x−1<e⁰ ⇔x−1<0⇔x<1 6 =S=

]

−`;1

]

23 1. e^x>e^2x+1⇔x>2x+1⇔x<−1 6 =S=

]

−`;−1

]

2. e^−3x−2,e^−x⇔ −3x−2,−x⇔ −2x,2⇔x.−1 6 =S=

]

−1;+`

[

3. e^−2x−3,e^2x+4 ⇔ −2x−3,2x+4⇔4x.−7⇔x.−7 4 6 =S= −7

4 ;+`

⎤⎦ ⎡

⎣

4. e^−3x−1−e^x+5<0⇔e^−3x−1<e^x+5⇔ −3x−1<x+5⇔4x>−6⇔x>−3 2 e^−3x−1−e^x+5<0⇔e^−3x−1<e^x+5⇔ −3x−1<x+5⇔4x>−6⇔x>−3

2 6 =S= −3

2;+`

⎡⎣ ⎡

⎣

24 Pour tout réel x, on a : e^2x−1

e^x+1 = e^2x 1− 1 e^2x

( )

e^x 1+ 1 e^x

( )

^{=ex×1−1+ee−2−xx.}

25 1. La fonction f est définie et dérivable sur R.

′

f x( )=2e^x+(2x+1)^ex =e^x(2x+3)

2. La fonction g est définie et dérivable sur R.

′

g x( )=−3e^x+(−3x−1)e^x=e^x(−3x−4) 3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h x( )=e^x+xe^x=e^x(1+x)

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

′

p x( )=−1

2e^x+ −1 2x+1

( )

^{ex =}2¹e^x(−x+1) 26 1. La fonction f est définie et dérivable sur R.

′

f x( )=e^−x−(x−5)e^−x =e^−x(−x+6) 2. La fonction g est définie et dérivable sur R.

′

g x( )=4e^2x+2 4( x+2)e^2x =8e^2x(x+1) 3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h x( )=3e^−2x−2 3x−1

(

2

)

^{e−2x =2e−2x(−3x+2)}

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

′

p x( )=−5 2e^12x +1

2 −5 2x+4

( )

^{e12x =−}2¹e^12x 5 2x+1

( )

27 1. La fonction f est définie et dérivable sur

]

0 ;+`

[

^.

′

f x( )= 1

2 xe^−x− xe^−x =e^−x 1 2 x − x

( )

^=e−x

( )

¹⁻2 ^2xx ^=e−x⎛⎝⎜^{(1−2x2x) x}⎞

⎠⎟

′

f x( )= 1

2 xe^−x− xe^−x=e^−x 1 2 x − x

( )

^=e−x

( )

¹⁻2 ^2xx ^=e−x⎛⎝⎜^{(1−2x2x) x}⎞

⎠⎟

2. La fonction g est définie et dérivable sur

]

1;+`

[

^.

′

g x( )= 1

2 x−1e^x+ x−1e^x =e^x 1

2 x−1+ x−1

( )

^=ex

(

¹⁺2²x^(x−⁻1¹⁾

)

^=ex

(

2^2xx⁻−¹1

)

^=ex⎛⎝⎜^(2x2−(^x1)−1^x)⁻¹⎞

⎠⎟

′

g x( )= 1

2 x−1e^x+ x−1e^x=e^x 1

2 x−1+ x−1

( )

^=ex

(

¹⁺2²⁽x^x−⁻1¹⁾

)

^=ex

(

^22xx−−¹1

)

^=ex⎛⎝⎜^{(2x2−(x1)−1x)−1}⎞

⎠⎟

3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h x( )=(2x+1)e^x+1+

(

x² +x+3

)

^ex+1=ex+1

(

^x2+3x+4

)

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

p x( )=2xe^x+

(

x²−1

)

^ex=ex

(

^x2+2x−1

)

146

© Hachette Livre 2019 – Guide pédagogique, mathématiques 1re Spécialité, collection Barbazo Chapitre 6 Fonction exponentielle

28 1. La fonction f est définie et dérivable sur R^*.

′

f x( )= xe^x−e^x

x² = e^x(x−1) x²

2. La fonction g est définie et dérivable sur R\{ }−1^.

′

g x( )= e^x(x+1)−e^x x+1

( )^{2 = xe}

x

x+1

( )²

3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h x( )=e^x+1−xe^x e^x +1

( )

^{2 = e}

x(1−x)+1 e^x+1

( )

²

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

′

p x( )=3e^x−(3x+1)e^x e^x

( )

^{2 = e}

x(−3x+2)

e^2x = −3x+2 e^x 29 1. La fonction f est définie et dérivable sur R.

′

f t( )=−e^−t

2. La fonction g est définie et dérivable sur R.

′

g t( )=2e^2t+3

3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h t( )=−e^−t+4

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

′ p t( )= 1

2e^12t

30 1. La fonction f est définie et dérivable sur R.

′

f x( )=2e^−x−(2x+4)^e−x =−e^−x(2x+2) 2. La fonction g est définie et dérivable sur R.

′

g x( )=3e^−2x−2 3x( −2)^e−2x=e^−2x(−6x+7) 3. La fonction h est définie et dérivable sur R.

′

h x( )=3e^−3x−3 3x−3

(

2

)

^{e−3x=e−3x}

(

^−9x+152

)

4. La fonction p est définie et dérivable sur R.

′

p x( )=−5e^13x+2 +1

3(−5x+4)e^31x+2 =−1

3×e^31x+2(5x−11) 31 1. Pour tout t[

[

0 ;+`

[

^{, on a :}

′

Q t( )=−0 ,2 4 8 ×4 e^{−0 ,2 4 8t} =−0 ,2 4 8 ×Q t( )^. Q( )0 =4 e^{−0 ,2 4 8×0} =4 ×1 =4.

2. Q( )2 =4 e^{−0 ,2 4 8×2} =4 e^{−0 ,4 9 6} ≈2 ,4 4. Au bout de deux heures, la quantité de médicament présente dans le sang est d’environ 2,44 mg.

3. Pour tout t[

[

0 ;+`

[

, −0 ,2 4 8 ×4 e^{−0 ,2 4 8t},0, donc la quan- tité de médicament décroît au cours du temps.

4. et 5. À l’aide de la calculatrice, on trouve que la quantité de médicament dans le sang devient inférieure à 0,01 mg au bout de 24,2 heures.

6.

32 _{1. V t}( )=Ce^−165t+32

2. V( )0 =0⇔Ce^−165×0 +32=0⇔C+32=0⇔C=−32 La constante C est égale à –32 m/s.

3. La fonction V est définie et dérivable sur

[

0 ;+`

[

^.

′

V t( )=− 5

16× −( 32)×e^−165t= 10e^−165t.0 On obtient le tableau de variation ci-dessous.

t 0 +`

V (t)

0

4. Le tracé de la courbe représentative de la fonction V sur l’écran de la calculatrice permet de vérifier le sens de variation de la fonction déterminée à la question précédente.

33 _{1. f a′}( )=e^a 2. g b′( )=e^−b

3. f a′( )=g b′( )⇔e^a =e^−b ⇔a=−b⇔ −a=b 34 Partie A

1. Pour tout x[

[

0 ;+`

[

^{, on a :}

′

d x( )=−50× 2x+1 x²+x+1.

2. Pour tout x[

[

0 ;+`

[

^{, d x′( ),}0, la fonction d est donc décroissante sur

[

0 ;+`

[

^.

Partie B

1. Pour tout x[

[

0 ;+`

[

^{, on a :}

′

f x( )=3 ×0 ,2 6 ×e^{0 ,2 6x} =0 ,7 8 ×e^{0 ,2 6x}.0, la fonction f est croissante sur

[

0 ;+`

[

^.

2. Le tracé des courbes représentatives des fonctions f et d sur l’écran de la calculatrice permet de vérifier les sens de variation de chacune des fonctions déterminées dans les questions précédentes.

Partie C

À l’aide de la calculatrice, p_o≈2 ,4 et q₀ ≈5 ,6. Le prix d’équi- libre est d’environ 2,4 €, la quantité associée à ce prix d’équilibre est d’environ 5,6 millions d’objets.

35 1.

0 1 t

u (t)

1

2. Le temps de charge est d’environ 0,3 s.

Chapitre 6 Fonction exponentielle 147

© Hachette Livre 2019 – Guide pédagogique, mathématiques 1re Spécialité, collection Barbazo

36 1. La fonction f est définie sur R⁺ par f x( )=e^−2x. 2. La fonction f est dérivable sur R⁺, on a :

′

f x( )=−2e^−2x,0, la fonction f est décroissante sur R⁺. 3. On déduit de la question précédente que la suite

( )

u_n ^est décroissante pour tout n[N N.

4. a. Plus la valeur de n augmente plus les termes de la suite u_n

( )

semblent se rapprocher de 0.

b. La fonction seuil renvoie le plus petit indice du terme de la suite

( )

u_n ^{tel que}

( )

^un ^<10−8.

c.

Le plus petit entier naturel n tel que

( )

u_n ^{<10−8 est 10.}

Exercices

37 1. e^2x×e^−3x=1⇔e^−x=e⁰ ⇔ −x=0⇔x=0 6 =={ }0

2.

( )

e^{6x −6 =0} 6 ==∅

3. e^2x−1×e^2x+3 =1⇔e^4x+2=e⁰ ⇔4x+2=0⇔x=−1 2 6 == −1

{ }

2

4.

(

e^2x−1

)

^{−2−1=0⇔}

(

^e2x−1

)

^{−2 =1⇔e−4x+2 =e0}

0 ⇔ −4x+2=0⇔x= 1 2 6 == 1

{ }

2 38 _1. ^e3x−1

e^4x+4 =e^−x+2 ⇔e^{3x−1−4x−4} =e^−x+2 ⇔e^−x−5 =e^−x+2

2 ⇔ −x−5=−x+2⇔ −5=2 6 ==∅

2. e^−x=e^2x+4 ×e^−x⇔e^−x =e^x+4 ⇔ −x=x+4⇔ −2x=4 4⇔x=−2

6 =={ }−2 3. e^−x−1×e^3x+5

e² =e^x+1⇔e−x−1+3x+5−2 =e^x+1⇔e^2x+2=e^x+1

1⇔2x+2=x+1⇔x=−1 6 =={ }−1

4. e⁻¹×e^−x−1−e^−x+4 =0⇔e^−x−2 =e^−x+4

4 ⇔ −x−2=−x+4⇔ −2=4 6 ==∅

39 _1. ^ex

e^4x >1⇔e^−3x>e⁰ ⇔ −3x>0⇔x<0 6 ==

]

−`; 0

]

2. e^x−2

e^3x−6,1⇔e^x−2−3x+6,e⁰ ⇔e^−2x+4,e⁰ ⇔ −2x+4,0 0⇔x.2

6 ==

]

2 ;+`

[

3. e^2x+1 e^x

( )

^{3 >0⇔e2x+1−3x>0⇔e−x+1>0}

6 ==

]

−`;+`

[

4. e^−x−2

e^3x×e³ −1<0⇔e^{−x−2−3x−3}<e⁰ ⇔e^−4x−5<e⁰

0 ⇔ −4x−5<0⇔x>−5 4 6 == −5

4;+`

⎡⎣ ⎡

⎣

40 1. u_n+1=2e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ =2e⁻ⁿ×e⁻¹=e⁻¹×u_n u₀ =2e⁻⁰ =2×1=2

La suite

( )

u_n est donc géométrique de premier terme u₀ =2 et de raison q= 1

e.

2. u_n+1=−5e^−(n+1)+2=−5e⁻ⁿ⁺²⁻¹=−5e⁻ⁿ⁺²×e⁻¹=e⁻¹×u_n u₀ =−5e⁻⁰⁺² =−5e²

La suite

( )

u_n est donc géométrique de premier terme u₀ =−5e² et de raison q= 1

e. 3. u_n+1= 3e¹

e^3(n+1)+1 = 3e¹ e³ⁿ⁺¹⁺³ = 1

e³ ⇔ 3e¹ e³ⁿ⁺¹ = 1

e³ ⇔u_n u₀ = 3e¹

e^3×0+1 =3e¹ e¹ =3

La suite

( )

u_n est donc géométrique de premier terme u₀ =3 et de raison q= 1

e³.

41 1. f( )0 =3 ; f′( )0 =1 ; f′( )1 =0.

2. a. Pour tout réel x, on a :

′

f x( )=ae^x+(ax+b)e^x=e^x(ax+a+b). b.

f( )0 =3

′ f ( )0 =1

′ f ( )1 =0

⇔ b+c=3 a+b=1 e 2a( +b)=0

⇔ b+c=3 a+b=1 2a+b=0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪ c.

b+c=3 a+b=1 2a+b=0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔

c=2a+3 a−2a=1 b=−2a

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔

c=1 a=−1

b=2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

42 1. • Graphiquement, les deux solutions de l’équation

( )

E₁ semblent être x=−1 et x=−1

2.

• Graphiquement, l’équation

( )

E₂ semble admettre une solu- tion x=0 ,6.

• Graphiquement, l’équation

( )

E₃ semble admettre x=5 comme solution unique.

• Graphiquement, l’équation

( )

E₄ ne semble pas admettre de solution.

2. • e^2x2 =e^−3x−1⇔2x² =−3x−1⇔2x² +3x+1=0 Le trinôme 2x²+3x+1 admet x₁=−1 comme racine évidente, on a donc x₂ =

21

−1=−1 2. 6 == −1;−1

{

2

}