AP 5 - Dérivation et trigonométrie - TS
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, justifier brièvement pourquoi la fonction f est dérivable, calculer f0(x) et fournir l’ensemble de dérivabilité def,Df0.
1. f(x)=3x2−5 2x+3 2. f(x)=¡
2−3x2¢p x
3. f(x)=sin(1−2x) 4. f(x)=p
2x2+3x+4 5. f(x)=¡
6x2+3x+7¢3
6. f(x)= 1 p5x−3 7. f(x)= 1
2x2−1 8. f(x)= 1−sinx
3+cosx 9. f(x)=cos5x 10. f(x)=
r 3x 2−x Exercice 2
f est la fonction définie sur ]1;+∞[ parf(x)= s
x3 x−1.
Démontrer rigoureusement quef est dérivable sur ]1;+∞[ et calculer, pour toutxde ]1;+∞[,f0(x).
Exercice 3
Un triangleABC isocèle, de sommet principalAest inscrit dans un cercle de centreOet de rayon 1.H est le pied de la hauteur issue deA. On noteαla mesure en radian de l’angle HOC. On suppose que 0≤α≤π
2.
α
O A
B H C
1. a. ExprimerBC etAHen fonction deα.
b. En déduire, en fonction deαl’aire du triangleABC. 2. On considère la fonctionf définie surh
0;π 2 i
parf(α)=(1+cosα) sinα. Montrer que f0(α)=2 cos2α+cosα−1.
3. a. Factoriser le polynôme 2X2+X −1 et en déduire une factorisation def0(α).
b. Dresser le tableau de variation de f.
4. Démontrer qu’il existe une valeur deα, que l’on déterminera, pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangleABC?
Exercice 4
On considère la fonctionf définie parf(x)=x+p
x2−1 et on noteCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal
³ O,→−
ı ,→−
´ .
1. Quel est l’ensemble de définitionDf de la fonction f ? 2. Montrer que, pour toutx∈Df, f(−x)f(x)= −1.
3. Déterminer la limite de f en+∞puis en déduire celle de f en−∞. 4. Déterminer le tableau de variations de la fonctionf.
Exercice 5
Un crocodile traque une proie située 20 mètres plus loin en amont sur la rive opposée d’une rivière.
Le crocodile avance sur terre et dans l’eau à une vitesse différente.
Le temps mis par le crocodile pour rejoindre sa proie peut être minimisé s’il nage jusqu’à un point particulierPsituéxmètres en amont sur l’autre rive comme indiqué sur le schéma.
Le tempsT, exprimé en secondes, mis par le crocodile pour rejoindre sa proie est donné par : T(x)=5p
36+x2+4(20−x)
1. Calculer le temps mis par le crocodile pour rejoindre sa proie dans les deux cas suivants : a. son trajet ne se fait que dans l’eau.
b. le crocodile parcourt la distance la plus courte possible dans l’eau.
2. Entre ces deux situations extrêmes, il existe une une valeur dexqui minimise le tempsT. Déterminer cette valeurxet ensuite calculer le temps minimal pour que le crocodile atteigne sa proie.
Exercice 6
On désigne parg la fonction définie sur ]−1; 1[ par
g(0)=0 g0(x)= 1
p1−x2
oùg0désigne la dérivée de la fonctiong sur ]−1; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciterg(x).
On considère alors la fonction composéehdéfinie sur ]−π; 0[ parh(x)=g(cosx).
1. Démontrer que pour tout réelxde ]−π; 0[, on ah0(x)=1 oùh0désigne la dérivée deh.
2. Calculerh³
−π 2
´
puis donner l’expression deh(x).
aide: Soitg une fonction définie et dérivable sur un intervalleIet f une fonction définie et dérivable surJtelle que f(x)∈Ipour toutx∈J.
La fonctionh=g◦f est dérivable surJeth0(x)=f0(x)×g0¡ f(x)¢
pour toutx∈J
2
Exercice 7
Résoudre les équations trigonométriques suivantes : 1. 2 cos2x−cosx=0 sur ]−π;π]
2. cosx= p3
2 sur [0; 4π]
3. sin(2x)= p2
2 sur ]−π;π]
4. 2 sin2x−1=0 sur ]−π;π]
Résultats ou indices
Ex. 1Dans le désordre : f0(x)= − 4x
(2x2−1)2 - dérivable sur
#
−∞;− p2
2
"
∪
#
− p2
2 ; p2
2
"
∪
#p 2 2 ;+∞
"
, f0(x)= 3
(2−x)2 r 3x
2−x
- dérivable sur ]0; 2[,
f0(x)=6x2+18x+10
(2x+3)2 - dérivable sur
¸
−∞;−3 2
·
∪
¸
−3 2;+∞
· , f0(x)= −−3 cosx+sinx−1
(3+cosx)2 - dérivable surR, f0(x)=−15x2+2
2p
x - dérivable sur ]0;+∞[ , f0(x)= − 5
2(5x−3)p
5x−3 - dérivable sur
¸3 5;+∞
· , f0(x)= −2 cos(1−2x) - dérivable surR,
f0(x)= 4x+3 2p
2x2+3x+4 - dérivable surR,
f0(x)=3(12x+3)(6x2+3x+7)2- dérivable surR, f0(x)= −5 sinx(cos4x) - dérivable surR.
Ex. 2 f0(x)= 2x3−3x2 2(x−1)2
s x3 x−1
- dérivable sur ]1;+∞[,
Ex. 3 1.a.BC=2 sinαetAH =1+cosα1.b.(1+cosα) sinα3.a.f0(α)=(cosα+1)(2 cosα−1)3.b.f est croissante suri
0;π 3 h
et décroissante suriπ 3;π
2;h
4.L’aire maximale vaut 3p 3
4 et le triangle est alors équilatéral.
Ex. 4 1.Df =]− ∞;−]∩[1;+∞[3. lim
x→+∞f(x)= +∞et lim
x→−∞f(x)=à.4. f est décroissante sur ]−∞;−1[
et croissante sur ]1;+∞[.
Ex. 5 1.a.≈104, 4 secondes.1.b.110 secondes.2.Minimum atteint en 8, etT(8)=98.
Ex. 6 2.h(x)=x+π 2. Ex. 7 1.−π
2;−π 3;π
3;π 2 2.π
6;11π 6 ;13π
6 ;23π
6 3.−7π 8 ;−5π
8 ;π 8;3π
8 4.−3π 4 ;−π
4;π 4;3π
4 3
