D10443. Aire balayée
ABCest un triangle équilatéral. Pour chaque position d’une droitedpassant parC, on considère le segmentA0B0 projection orthogonale du segmentAB surd. Quelle est l’aire balayée parA0B0quanddprend toutes les orientations possibles ?
Solution
SoientD, E, F les milieux deBC, CA, AB.
Le pointA0 parcourt le cercle (E) de diamètre CA; de même B0 parcourt le cercle (D) de diamètreCB. Ces cercles se coupent enF. Quand l’angle ded avecCF est<60° (cas de la figure),A0B0 n’inclut pasC et est la différence des segmentsCA0etCB0 : le segment balaie l’aire qui est dans un des disques (D) et (E) et non dans l’autre ; quand cet angle est compris entre 60° et 90°, C est entre A0 etB0 et les aires balayées par CA0 etCB0 s’ajoutent. L’aire est la différence symétrique (au sens des ensembles de points) des disques de diamètreCAetCB.
SoitGle symétrique deDpar rapport àE; le triangleCF Gest équilatéral ; la partie commune aux deux disques a même aire que les segments du disque (E) sous-tendus par les cordes GC etGF. L’aire cherchée a même mesure que celle délimitée par le grand arc F BC du cercle (D) et la polygonale CGF; on reconnaît dans les triangles CDG etF DG des triangles égaux à AF CetBF C; le secteur circulaire restant est les 2/3 du disque (D). On en conclut que l’aire cherchée mesure 1 + 2π/√
27 fois l’aire du triangle.
