Continuité et résolution d’équation

(1)

Chapitre 4 – TD 1 Analyse continue 2

Parité – Périodicité

À la fin de ce td, vous devez être capable de :

• déterminer la parité d’une fonction ;

• déterminer la périodicité d’une fonction ;

• étudier le signe d’une expresion trigonométrique ;

4.1 On donne ci-dessous les graphiques de six fonctions. Par simple lecture graphique : 1. indiquez les fonctions paires,

2. indiquez les fonctions impaires.

Graphique def1 Graphique def2 Graphique def3

Graphique def4 Graphique def5 Graphique def6

4.2 Compléter en bleu les représentations graphiques suivantes sachant qu’il s’agit de fonctions paires.

C¹ C² C³ C⁴

Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctions sont impaires (compléter en rouge).

4.3 Soientf et gdeux fonctions paires. Compléter les tableaux suivants :

x -5 -3 -1 1 3 5

f(x) -10 -2 15

x −5 −3 0 3 5

13 g(x)

9 0

Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctionsf etg sont impaires.

4.4 Déterminer par le calcul si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou rien du tout.

http://lyceeenligne.free.fr/ STS1 2012-2013

(2)

2. b(x) =x²−7 3. c(x) = x

x+ 100 5. e(x) =x⁴+ 1

x² 7. g(x) = x+ 2

x+ 1 9. i(x) = x³ 1−x²

4.5 Dans cet exercice, on se propose de mettre en évidence une cohérence linguistique : 1. Déterminer la parité de chacune des fonctions suivantes :

f0:x7→x⁰= 1 ;f1:x7→x¹;f2:x7→x²;f3:x7→x³; f4:x7→x⁴;f5:x7→x⁵. 2. Proposer une règle donnant la parité dex7→xⁿ suivant la valeur den.

3. Quelle cohérence remarque-t-on ?

4.6 On considère la fonctionf définie sur [0; 2π] parf :x7→2 cos²x−2 cosx−1.

Partie A – Étude de la fonctionf 1. a. Montrer que la dérivée de cos²xest −2 sinxcosx.

b. Déterminer la dérivéef^′ de la fonctionf. 2. a. Vérifier quef^′(x) = 2 sinx(1−2 cosx).

b. Etudier le signe def^′ et en déduire le tableau de variation de la fonctionf. Partie B – Représentation graphique

1. Montrer quef est 2πpériodique. Qu’en déduit-on pour la courbe de f? 2. Montrer quef est paire. Qu’en déduit-on pour la courbe def?

3. a. Déterminer les abscisses des points d’intersection deC_f avec l’axe (Ox) sur [−π; +π].

b. En déduire toutes les abscisses des points oùC_f recoupe (Ox).

4. TracerC_f dans un repère orthonormal (O;~i,~j) d’unité 1cm.

4.7 On considère la fonctionf définie sur [0; 2π] parf(x) = 3 sin²x+ 4 cos³x.

1. a. Déterminer la dérivée de sin²x.

b. Déterminer la dérivée de cos³x.

c. En déduire la dérivée def.

d. Vérifier quef^′(x) = 6 sinxcosx(1−2 cosx).

2. Étudier le signe def^′ sur l’intervalle [0; 2π].

3. Tracer le tableau de variation def sur [0; 2π].

4. Préciser et justifier les extremums quef admet.

5. Tracer la représentation graphique de la fonctionf sur l’intervalle [0; 2π]. (Unités graphiques : 2 cm pour une unité sur chaque axe).

(3)

Continuité

• déterminer graphiquement si une fonction est continue ;

• déterminer par le calcul si une fonction est continue ;

• tracer une fonction dont l’expression comporte la fonction de Heaviside ;

4.8 Soitf la fonction définie surR, impaire, périodique de période 2, définie sur [0; 1] par f(x) =x² six∈[0; 1[

f(1) = 0

1. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur[−5; 5].

2. Graphiquement, la fonction semble-t-elle continue en 1 ?

4.9 Soitf la fonction définie surR, paire, périodique de période 4, telle que si 06t <1 alorsf(t) =t

si 16t62 alorsf(t) = 1

1. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur[−5; 5].

2. Étudier graphiquement la continuité def en 0 et en 1.

4.10 On considère la fonction f définie sur Rparf(x) =|sin(2x)|.

1. Montrer quef est paire et périodique de période π 2. 2. Tracer sa représentation graphique def sur [−π; 2π].

3. Étudier graphiquement la continuité def.

4.11 On considère la fonction f définie sur R, périodique de période 2πdéfinie par : f(t) = sint sit∈[0;π]

f(t) = 0 sit∈]π; 2π[

1. Tracer la représentation graphique def sur [−π; 2π].

2. Étudier la continuité def en 0.

4.12 Soitf la fonction définie par

f(x) =x²six∈[0; 1[

f périodique de période 1

1. Représenterf graphiquement dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d’unité 1 cm pourx∈[−3; 3].

2. f est-elle continue en 1 ? Justifier par un calcul de limite.

3. Donner toutes les valeurs en lesquellef n’est pas continue.

4. Donner le plus grand intervalle sur lequelf est continue.

5. f est-elle continue par morceaux ? Justifier.

4.13 On appelle fonction échelon unité ou fonction de Heaviside la fonction U définie par

U(x) :

U(x) = 0 six <0 U(x) = 1 six≥0 1. Représenter graphiquement la fonctionU.

(4)

3. Représenter graphiquement la fonction définie parf(t) = (t −1)U(t) pour toutt∈R 4. Étudier la continuité def ent= 0.

4.14 Soitf la fonction définie parf(x) =xU(x)−xU(x−1)−U(x−2).

1. Déterminer explicitementf pour chacun des intervalles ]− ∞; 0[ , [0; 1[ , [1; 2[, [2; +∞[.

2. Représenter graphiquement la fonctionf dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d’unité 1 cm.

3. Étudier la continuité def en 0, 1, 2.

4. Que peut-on dire def surR?

4.15 Soitf la fonction définie parf(x) =xU(x)−2(x−1)U(x−1) + (x−2)U(x−2).

1. Déterminer explicitementf pour chacun des intervalles ]− ∞; 0[ , [0; 1[ , [1; 2[, [2; +∞[.

2. Représenter graphiquement la fonctionf dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d’unité 1 cm.

3. Étudier la continuité def en 0, 1, 2.

4. Que peut-on dire def surR?

4.16 on considère la fonctionf définie sur R, paire, périodique de périodeπ, telle quef(t) = 2 πtpour tout t∈h

0;π 2

i.

1. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal sur [−2π; +2π] (unité 1 cm pour π en abscisse, et 1 cm pour une unité en ordonnée). 2

2. Étudier la continuité def en 0 et en π 2.

4.17 Soitf la fonction définie par

f(x) =x−1 +e⁻^xsi 06x61 f(x) =x−3 +e⁻^x(1 + 2e) pourx >1 Étudier la continuité de f en 1.

4.18 Soitf la fonction numérique définie surRpar

f(x) =x−1 six≤1

f(x) =x²−2x+apourx >1 Déterminer la valeur deapour que la fonction soit continue pourx= 1.

(5)

Continuité et résolution d’équation

• justifier l’existence et l’unicité de la solution d’une équation ;

• encadrer une solution en procédant par dichotomie ;

• encadrer une solution en utilisant la méthode de Newton.

4.19 On s’interresse à l’équation lnx+x= 0.

1. Justifier que la fonctionf :x7→lnx+xest continue sur un intervalle que l’on déterminera.

2. Montrer que l’équation lnx+x= 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [1 e; 1].

3. Étudier les variations de la fonctionf définie parf(x) = lnx+xsur [1

e; 1] et en déduire que cette solution est unique.

4.20 On veut étudier le signe def(t) = ln(3e⁻^t−1) sur l’intervalle ]− ∞; 1].pour cela : 1. Justifier quef est continue surI.

2. Résoudre dansI l’équationf(t) = 0.

3. Calculerf(0) et conclure en justifiant.

4.21 On se propose de résoudre par dichotomie l’équation 2x³−3x²+ 6x+ 17 = 0.

1. On désigne parf la fonction définie surRparf(x) = 2x³−3x²+ 6x+ 17.

Étudier les variations def. (limites, dérivée, tableau.)

2. En déduire que l’équation 2x³−3x²+ 6x+ 17 = 0 admet une unique solution (que l’on noteraα) dans l’intervalle ]−2;−1[.

3. a. Déterminer le centre, notéc, de l’intervalle [−2;−1].

b. Calculerf(c).

c. αappartient-il à [−2;c] ou [c;−1].

4. Reprendre la question précédente avec l’intervalle obtenu et en déduire un nouvel encadrement de α.

5. Répéter la méthode jusqu’a obtenir un encadrement deαà 10⁻³ près.

6. Ecrire un algorithme du procédé.

4.22 On considère la fonction f définie sur Rparf(x) = 2x³−9x²+ 12x−6.

1. Montrer que l’équationf(x) = 0 admet au moins une solution sur l’intervalle [2; 3].

2. Déterminer par dichotomie une approximation à 10⁻²près de la solution.

4.23 Résoudre par dichotomie chacune des équations suivantes.

On cherchera graphiquement une approximation entre deux entiers consécutifs de la solution et on présen- tera les étapes.

On donnera une approximation à 10⁻² près de la solution.

x³−3x²+ 3x−6 = 0 ; 1

3x³−x−1 = 0

(6)

Devoir maison

4.24 Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A, est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.H est le pied de la hauteur issue deA. Soitαla mesure en radians de l’angleHOB\; on suppose 06α6π.

1. ExprimerBC etAH en fonction deα.

2. En déduire, en fonction deα, l’aire du triangleABC.

3. On considère la fonctionf définie sur [0;^π2] par

f(α) = sinα(1 + cosα).

a. Calculer la dérivéef^′ def

b. Montrer que, pour tout réelαappartenant à [0;^π2], on a

f^′(α) = 2 cos²α+ cosα−1 4. Vérifier l’égalité : 2 cos²α+ cosα−1 = (2 cosα−1)(cosα+ 1).

5. Déterminer le signe de (cosα−¹2) suivant les valeurs de α, pourαappartenant à [0;^π₂].

6. En déduire le signe def^′(a) suivant les valeurs dea(06a6π).

7. Établir le tableau de variation de la fonctionf.

8. Montrer qu’il existe une valeur deα, que l’on déterminera, pour laquelle l’aire du triangleABCest maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangleABC?

pour le . . ./. . ./. . .