DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA
LA METHODE
GÉOMÉTRIE
EXPERIMENTALE
Les polygones réguliers
(1re année des Collèges Techniques) Dans la plupart des manuels de géométrie,
l'étude des polygones réguliers débute par une défi-nition à priori qui paraît 1 imposée comme une convention arbitraire. Pourquoi cette convention ? A quel besoin répond-elle ? Correspond-elle dans la nature à des objets familiers ? Autant de questions qu'un esprit réfléchi ne peut manquer de se poser. Cette définition étant admise, on en déduit par simple raisonnement les propriétés propres à ces polygones. Les applications terminent cette étude. Bien que cette manière de procéder découle de la pure logique mathématique, elle ne peut convenir à nos élèves des Centres professionnels et des Ecoles Techniques, dont les connaissances pratiques doi-vent s'appuyer sur des données concrètes et expé-rimentales.
Nous indiquons ci-après une méthode qui, fai-sant appel à l'intuition et à l'expérience, nous paraît plus conforme aux principes pédagogiques qui doivent servir de base à l'enseignement dans nos écoles.
Le mathématicien Henri Poincaré, dans son livre « Science et Méthode » s'exprime d'ailleurs ainsi :
« C'est par l'intuition que le monde mathéma -tique reste en contact avec le monde réel et, quand les mathématiques pures pourraient s'en passer, il f a u d r a i t toujours y avoir recours pour combler l'abîme qui sépare le symbole de la réalité. »
I. — OBSERVATIONS ET DONNEES INTUITIVES
Les polygones réguliers forment un groupe de figures géométriques, important à la fois p a r les multiples images que la nature nous en donne et par les nombreuses applications qu'on en f a i t dans la vie courante ; leur utilisation est d'ailleurs très ancienne.
1) Observations naturelles.
Les cristaux de neige revêtent des formes géo-métriques dérivées de l'hexagone régulier.
L'observation d'une fleur, d'une coupe de tige ou de f r u i t conduit à découvrir des dispositions régulières qu'on peut rapprocher de polygones régu-liers à 4, 5 ou 6 côtés.
Le besoin de régularité est naturel à notre esprit.
Observez une ménagère qui dispose des couverts sur une table ronde : instinctivement, elle les place aux sommets d'un polygone régulier. L'enfant, à qui on apprend à dessiner et à colorier, construit de lui -même des motifs à base de polygones réguliers.
2) Dans la vie courante.
Les carrelages sont des assemblages de poly-gones réguliers.
On construit des tours, des cheminées, des colonnes à sections hexagonales ou octogonales régulières.
Il existe des bassins, des réservoirs dont les bases sont des polygones réguliers.
Les jardiniers construisent des massifs de fleurs suivant des figures géométriques régulières.
On observe des polygones réguliers dans les motifs de décoration pour papiers, linoléums, bro-deries, etc...
Dans l'industrie, les écrous à 4, 6 ou 8 faces sont des prismes réguliers.
En conclusion :
Ces exemples suffisent à montrer que la notion de polygone régulier est une notion familière, natu-relle, et pour ainsi dire intuitive. Mais elle est vague. Cherchons à la préciser par une définition claire et logique.
II. — RECHERCHE EXPERIMENTALE D'UNE DEFINITION
Une bonne définition doit caractériser nettement l'objet étudié, c'est-à-dire être assez complète pour s'appliquer sans erreur à cet objet et à lui seul, de manière à le distinguer des objets similaires. Il 44
f a u t aussi qu'elle soit concise et ne r e n f e r m e a u c u n t e r m e inutile.
Les polygones réguliers, s'ils a p p a r t i e n n e n t à la catégorie g é n é r a l e des polygones, doivent se dif-férencier des a u t r e s p a r leur r é g u l a r i t é : a u t r e m e n t dit leurs é l é m e n t s g é o m é t r i q u es f o n d a m e n t a u x (côtés et a n g l e s ) sont soumis à des règles.
Quelles sont ces règles ?
Confection de polygones réguliers p a r pliage et découpage
Plions une feuille de papier successivement en deux, puis en q u a t r e et en huit, s u i v a nt les axes xox', yoy' et zoz'.
Construisons un t r i a n g l e isocèle OAB de sommet O (OA = OB = 5 cm.) et découpons suivant AB (fig. 1). x' \
y
B / L \ I A 3 \ Fig. 1.Déplions l'ensemble (fig. 2). Nous obtenons un polygone de huit côtés, dont la r é g u l a r i t é nou3 s a t i s f a i t ; il répond à n o t r e notion intuitive de polygone régulier (fig. 3).
Ainsi réalisé, un tel polygone a p p a r a î t comme une j u x t a p o s i t i o n de t r i a n g l e s isocèles égaux, de s o m m e t c o m m u n et c o u v r a nt t o u t le plan.
Mesurons ses côtés : ils ont tous 38 m/m. Ils sont égaux .
Décalquons l'un de ses a n g l e s et portons-le sur les a u t r e s : il y a t o u j o u r s coïncidence. Tous les angles sont é g a u x.
Si nous prolongeons chaque côté, le polygone est situé en entier du m ê m e côté de la droite ainsi t r a c é e : on dit qu'il est convexe.
On l'appelle un octogone régulier.
On peut réaliser de la m ê m e m a n i è r e des poly-gones réguliers à 4, 6, 10 côtés. E n j o i g n a n t les s o m m e t s de 2 en 2, on f o r m e les polygones r é g u -liers de 3 et 5 côtés.
Sur c h a c u n d'eux on f e r a les m ê m e s consta-tations.
On a r r i v e a u x m ê m e s r é s u l t a t s avec les poly-gones r é g u l i e r s d'un c a r r e l a g e .
Définition :
U n polygone régulier est u n polygone convexe qui a tous ses côtés é g a u x et tous ses a n g l e s é g a u x . Les trois c a r a c t è r e s inclus d a n s cette définition sont à la fois nécessaires et s u f f i s a n t s pour distin-guer un polygone régulier de t o u t a u t r e polygone. Exemples : Un losange est u n polygone convexe dont tous les côtés sont é g a u x ; u n r e c t a n g l e est un polygone convexe dont tous les angles sont égaux. Ce ne sont p as des polygones réguliers.
A p e r ç u sur les polygones étoilés
Nous connaissons la figure dite : étoile à 5 b r a n c h e s (fig. 4). Elle f o r m e u n polygone qui a tous ses côtés é g a u x et tous ses a n g l e s égaux, m a i s qui n ' e s t p a s convexe ; il est concave.
A
Ce n'est p a s u n véritable polygone régulier. On l'appelle un polygone étoilé : c'est le p e n t a -gone étoilé. Il en existe d ' a u t r e s .
D é s i g n a t i o n des polygones réguliers E n dehors du t r i a n g l e é q u i l a t é r a l (3 côtés) et du c a r r é (4 côtés), les n o m s d o n n és a u x polygones réguliers rappellen t le n o m b r e de leurs côtés.
E x e m p l e s : P e n t a g o n e régulier, 5 côtés H e x a g o n e régulier, 6 — Octogone régulier, 8 —
D é c a g o n e régulier 10 — etc...
III. — AUTRES PROPRIETES ET CONSTRUCTION PRATIQUE 1° Propriété fondamentale.
Sur le polygone régulier déjà construit par pliage et découpage, on vérifie expérimentalement la propriété suivante qui se démontre avec facilité :
« Etant donné un polygone régulier, on peut tracer un cercle passant par tous ses sommets (cercle circonscrit). Ces deux cercles ont le même centre qui est le centre du polygone. » (fig. 5)
Le rayon OA du premier cercle est le rayon du
polygone.
Le rayon OI du second cercle est l'apothème du polygone.
Réciproquement : Une circonférence ayant été divisée en un certain nombre de parties égales, si l'on joint successivement les points de division, on obtient un polygone régulier inscrit dans cette circonférence.
Application pratique. — Pour construire un
polygone régulier, en dessin, avec la régie et le compas, il suffit de savoir diviser la circonférence
en a u t a n t de parties égales que le polygone doit avoir de côtés. (Voir ci-après.)
2° Symétries.
On vérifie, par pliage, que les diamètres p a s s a n t par les sommets d'un polygone régulier et ceux qui sont perpendiculaires aux côtés sont des axes de symétrie pour ce polygone.
Exercice : Combien y a-t-il d'axes de symétrie dans :
1° Un carré, un hexagone régulier, un octogone
régulier ?
2° Un triangle équilatéral, un pentagone ré-gulier ?
Que remarquez-vous suivant que le nombre des côtés est pair ou impair ?
Le centre O est-il un centre de symétrie pour tous les polygones réguliers ? Pourquoi ?
3° Angle au centre et angle du polygone.
L'angle du polygone est form é par deux1 côtés
consécutifs ; ex. : ABC.
L'angle au centre est formé par deux rayons consécutifs ; ex. : AOB.
L'angle ABC du polygone est égal à la somme des angles de base du triangle isocèle AOB ; il est donc supplémentaire de l'angle au centre. Le vérifier.
Exemples : ^ABC! + "AOB = 180°.
N o m b r e A n g l e d e côtés au centre du polygone 3 Triangle équilatéral 120° 60° 4 Carré 90° 90° 5 Pentagone régulier 72° 108° 6 Hexagone régulier 60° 120° 8 Octogone régulier 45° 135° 10 Décagone régulier 36° 144° (A suivre.) A. D E S F R E T I E R E
Professeur au Collège Technique de Suresnes.
