ARTheque - STEF - ENS Cachan | Instruments pour illustrer l’enseignement de la géométrie.

I N S T R U M E N T S

POUR ILLUSTRER L'ENSEIGNEMENT

DE LA GÉOMÉTRIE

L'illustration de théorèmes à l'aide d'instruments ne prétend pas se subtituer à leur démontration. Elle permet néanmoins à un assez grand nombre d'élèves de comprendre d'emblée la signification d'un théorème dont l'énoncé est rébarbatif ; elle les aide dans certains cas à voir dans l'espace ; elle leur fournit des images qui peuvent, dans une certaine mesure, développer leur intuition.

Les figures dessinées au tableau ou sur le papier ont l'inconvénient d'être immobiles ; certes, le ciné-ma fournit une illustration animée, ciné-mais il est très onéreux, nécessite un aménagement de la salle de classe et occasionne des pertes de temps. P a r contre, l'illustration à l'aide d'instruments tels que ceux qui sont décrits ici (glissement d'une plaque transpa-rente, systèmes articulés) est peu coûteuse et prend très peu de temps sur la leçon.

Je ne pense pas que cette aide demandée au réel pour atteindre l'idée soit préjudiciable à la valeur culturelle de l'enseignement.

Je pense même qu'elle l'enrichit lorsqu'il s'agit de former de f u t u r s constructeurs, techniciens ou ingé-nieurs, dont la fonction sera de concrétiser les idées.

I. — UTILISATION DE MATIERES PLASTIQUES T R A N S P A R E N T E S POUR REALISER LE GLISSEMENT D'UN P L A N

SUR U N PLAN

Le plexi-glass et le rhodoïd se travaillent facile-ment à l'aide de machines-outils.

1° D E U X DROITES DU PLAN MOBILE GLISSENT SUR DEUX POINTS A ET B. —

Réalisation. — Dans une plaque rectangulaire (par exemple) de plexi-glass ou de rhodoïd, de un

à deux millimètres d'épaisseur, tailler à la fraiseuse deux rainures de 0,5 à 1 millimètre de profondeur et. de 1 millimètre de largeur, f a i s a n t entre elles un angle quelconque que nous désignerons par 2. Après avoir tracé sur une feuille de papier les lieux géométriques et les enveloppes que l'on veut mettre en évidence, fixer cette feuille sur une planche et planter, à l'endroit convenable, deux pointes fixes émergeant d'une hauteur inférieure à la profondeur de la rainure. Nous désignerons par A et B les points où sont fixées les deux pointes.

a) Lieu des points M d'un plan tels que

(MA, MB) — x + k - .

Si la plaque t r a n s p a r e n t e se meut sur la planche de telle sorte que les rainures glissent sur les pointes A et B, le point d'intersection M des rainures décrit entièrement le cercle (C) passant par A et B et de rayon AB (fig. 1) ;

2 sin 2

Figure 58

b) Enveloppe d'une droite du plan mobile.

Tracer sur la face rainurée de la plaque transpa-rente une droite (D) passant par M et une paral-lèle ( A ) à cette droite. Lorsque la plaque glisse, (D) passe un point fixe o> du cercle (C) ; ( / \ ) enveloppe un cercle de centre co (fig. 2) ;

c) Lieu d'un point du plan mobile.

Marquer sur la droite (D) un point P.

Lorsque la plaque glisse, P décrit un limaçon de Pascal (fig.2).

d) Le mouvement du plan mobile pourrait être obtenu par le roulement d'un cercle de ce plan ayant

AB

pour centre M et pour rayon — — sur le cercle (C)

1 _{sin x}

du plan fixe (contact intérieur).

Tracer ces cercles sur les plans correspondants.

Diviser, par exemple, le cercle mobile en

douze arcs égaux et le cercle fixe en six arcs égaux (fig. 3). Lorsque la plaque transparente glisse, les points de division du cercle mobile viennent successivement coïncider avec ceux du cercle fixe.

2 ° D E U X POINTS DU PLAN MOBILE GLISSENT SUE DEUX DROITES DU PLAN F I X E ( m o u v e m e n t d e l a b a n d e de papier dans le tracé de l'ellipse). —

Réalisation. — Elle est plus délicate que la

pré-cédente. P a i r e fixer, à l'atelier, deux goujons sur la plaque transparente, comme l'indique la figure 4.

Figure 4

Sur une plaque métallique ou en matière plastique faire tailler deux rainures comme précédemment.

Utilisation. — On peut mettre en évidence les propriétés suivantes :

a) Le mouvement peut être obtenu par le roule-ment d'un cercle à l'intérieur d'un cercle de rayon double ;

b) Tout point du cercle mobile décrit un diamètre

du cercle fixe ;

c) Tout point du plan mobile, autre que ces

derniers, décrit une ellipse.

I I . — S Y S T E M E S A R T I C U L E S

Au moyen de quelques barres et boulons de Mec-cano et, au besoin, de quelques pièces complémen-taires que l'on pourra faire construire dans les ate-liers, on peut réaliser un assez grand nombre de systèmes articulés permettant l'illustration de leçons. Voici quelques exemples.

A) QUESTIONS DIVERSES.

1° CONSTRUIRE UN TRIANGLE et c o n s t a t e r qu'il

est indéformable. Construire un système triangulé, une ferme, par exemple.

2° CONSTRUIRE UN QUADRILATÈRE a y a n t ses côté s

opposés égaux. S'il est convexe, c'est un

parallélo-gramme, s'il n'est pas convexe, c'est un contre-parallélogramme (fig. 5).

Figure 5

3 ° A P P A R E I L POUR DIVISER UN SEGMENT DE DROITE EN SEGMENTS ÉGAUX OU EN SEGMENTS PROPOR-TIONNELS A DES NOMBRES DONNÉS. — C e t i n s t r u m e n t permet également de tracer des parallèles équi-distantes (fig. 6).

4° Q U A D R I L A T È R E O R T H O D I A G O N A L . — Si la somme des carrés de deux côtés opposés d'un quadrilatère est égale à la somme des carrés des deux autres, les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires.

. Exemple : AB = 19 ; BC = 16 ; CD = 8 ; DA = 13 (Nous prenons comme unité de longueur la distance des axes de deux trous consécutifs d'une barre, soit un demi-pouce).

5 " Q U A D R I L A T È R E C I R C O N S C K I P T I B L E . — Construire un quadrilatère dans lequel la somme de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres.

Exemple : AB = 8 ; BC = 12 ; CD = 20 ; DA = 16.

6 " T R I A N G L E R E C T A N G L E DONT L E S COTÉS SONT M E -S U R É -S PAR DE-S N O M B R E -S E N T I E R S .

Exemple : AB = 8 ; BC = 10 ; AC = 6.

7 " A P P A R E I L P E R M E T T A N T L E T R A C É C O N T I N U D ' U N Q U A R T D ' E L L I P S E . — Construire le losange articulé OABC. Munir l'articulation B d'un curseur qui pourra glisser sur une barre fixe Ox. Tout point de la barre CB (autre que C eu B) se déplace sur une ellipse (fig. 7).

/ M A / C urje ur B * C F i g u r e 7 B ) T R A N S F O R M A T I O N S .

1 " T R A N S L A T I O N . — Double parallélogramme arti-culé (translateur de Kempe) AB étant fixe, M' est le t r a n s f o r m é de M par la translation AB (fig. 8).

Appareil à dessiner. PQ est fixé sur la planche.

Les deux droites perpendiculaires Ox et Oy se meuvent parallèlement à elles-mêmes (fig. 9).

2 ° S Y M É T R I E PAR R A P P O R T A U N E D R O I T E . — Munir les articulations M et M' du losange AMBM' de curseurs qui glisseront le long d'une barre fixe D.

F i g u r e 9

M et M' sont symétriques par r a p p o r t à D (fig. 10).

3 ° H O M O T H É T I E . — Pdntographe.

Exemple : Si OA = 16 et OB = 24, le panto-graphe est capable de l'homothétie de centre O et

2

de rapport — (fig. 11).

4:_{< S I M I L I T U D E . R O T A T I O N (Pantographe de}

Syl-vester). — Sur les côtés AB et BC d'un parallé-logramme articulé, fixons, comme l'indique la fi-gure 12, deux triangles semblables {en carton, par exemple) : ABM et CM'B.

M

F i g u r e 12 60

Exemple :

AB = CD = 16

AD = BC = 24 OM. ON = 75

OA = 10 BO = 6

b) Inverseur de Peaucellier (plus commode à

ma-nipuler).

Exemple :

OA = OB = 16

MA = MB = M'A = M'B = 8

O M . O M ' = 1 9 2 Il est aisé de démontrer que le triangle OMM'

est semblable aux triangles précédents. Si O est fixe, M' est le t r a n s f o r mé de M par la similitude de centre O, d'angle a = AM, AB = CB, CM' et

AM CB

de rapport h = = . .

AB CM'

Figure 1 7. — Schéma et vue de l'appareil

61 A

L2F

o c

Figure 14

5 ° S Y M É T R I E PAR RAPPORT A UN POINT . — L e côté BA du parallélogramme ABMD est prolongé d'une longueur AM' == AB. Le quadrilatère est mo-bile autour du milieu O de AB qui est fixe. Les

V u e de l'appareil (figure 1 2)

Cas particuliers.

a) AB = AM. Le rapport de similitude est égal

à 1. M' est le t r a n s f o r mé de M par la rotation de centre O et d'angle a = AM, AB (fig. 13).

M

Figure 13

b) a = 0° ou ^ = 180°. M' est l'homothétique

I AM \

direct ou inverse de M I O , l/cl = j (fig. 14).

\

points M et M' sunt symétriques par rapport à O (fig. 15).

6 ° I N V E R S I O N .

a) Inverseur de Hart : contre-parallélogrammc

articulé : AB = CD = a mn AD = BC = b OM. ON = — (b- — a-) OA = m OB = n (m ₊ n₎2 (fig- 16) Figure 15

M' est le t r a n s f o r m é de M par l'inversion de pôle O et de module k = 16- — 82 _{= 192.}

Figure 16

7 " P O L A I R E D'UN P O I N T PAR RAPPORT A UN CERCLE. — L'appareil représenté par la figure 18 dérive de l'inverseur de Peaucellier. Deux barres égales OA = OB = : a sont articulées en O. E n

Figure 18

A et en B sont fixées respectivement, en leurs mi-lieux, deux barres égales MC = MD = 2b arti-culées en M. Enfin, une barre (m) est fixée en C et peut glisser en D dans un coulisseau.

Le quadrilatère M A N B est un losange dont le

MC MD

côté a pour longueur — = b, CD est

2 2

perpendiculaire à OM ; de plus, on sait que : OM.ON = a2 _{— ,b*.}

Si nous traçons un cercle de centre O (point fixe) et de rayon ^ J a - — F1_{), CD est la polaire du} point M par rapport à ce cercle (cercle directeur de la t r a n s f o r m a t i o n ) .

Utilisation de cet appareil.

1. Si nous plaçons M en un point o, la droite (m) vient en (A,). Si le point M décrit ( / \ ) , la polaire de ce point passe par le point S (fig. 19). .

V u e de l'appareil (figure 19)

On vérifie ainsi que si un point décrit une droite, sa polaire passe par un point fixe.

2. Si le point M décrit une courbe ( F ) , sa polaire (m) enveloppe une courbe (-< ). En parti-culier, si M décrit un cercle à l'intérieur duquel se trouve O sa polaire enveloppe une ellipse (fig. 20).

Si m a i n t e n a n t le point M décrit ( y ) , sa polaire enveloppe ( F ) . (Réciprocité de la transformation.)

Remarques. — On peut fixer l'appareil au tableau noir, tracer le cercle directeur de la t r a n s f o r m a t i o n à la craie blanche, la droite /\ à la craie bleue, ainsi que le point S ; le cercle ( F ) et l'ellipse ( y ) seront tracés à la craie rouge. L a barre figurant la polaire, d'une longueur de 1,20 m environ sera peinte en blanc, de cette manière elle se détachera bien du mécanisme qui détermine sa position.

La droite A , le point S, le cercle F et l'ellipse y auront la même épaisseur que la barre (m). C) PRODUIT DE DEUX TRANSFORMATIONS.

P R I N C I P E . — Sur un plan horizontal, accoupler convenablement deux appareils à transforme r At et A,. Le premier t r a n s f o r m e M en M,, le second Mt en Mo. Accoupler au système AjAn l'appareil A, capable de t r a n s f o r m e r directement M en M». Pour la clarté de l'expérience, réaliser les appareils A,A= et A avec des barres de couleurs différentes ; par exemple : A1 sera vert, A„ rouge et A nickelé.

La mobilité p a r f a i t e de l'appareil est la vérifi-cation expérimentale du fait, déjà démontré, que le produit des transformation s Ax et A2 est la transformation A. Cet énoncé peut d'aiileurs être transposé ainsi :

La transformation que peut réaliser un système de deux appareils A1 et A2 peut être obtenue par l'unique appareil A.

L'énoncé : « Le produit de deux translations est une translation » devient : « L'opération que peut réaliser un système de deux translateurs peut être obtenue au moyen- d'un seul. »

E X E M P L E S

2 ° P R O D U I T DE DEU X H O M O T H É T I E S .

LU _{P R O D U I T DE DEUX T R A N S L A T I O N S . — Accoupler} trois translateurs conformément à la figure 21.

P a r exemple : 2 ^ et Ç o , , 2 2 )

On sait que c'est une homothétie dont le cen-tre O est aligné avec OjO» (un calcul facile moncen-tre que :

fOO\ \ 1 2

( — = 2 et dont le rapport k = 2 X — = — .

\ 0 0 » / 3 3

On peut, d'après ces indications, réaliser le mon-tage conforme à la figure 22 et à la photographie.

O A = 12 0 , 0 = 24

F i g u r e 2 1 . — S c h é m a et v u e d e l ' a p p a r e i l F i g u r e 2 2

3 " P R O D U I T D'UNE TRANSLATION ET D'UN E

HOMO-V u e de l'appareil (figure 2 2 )

Placer, au moyen d'équerres, le troisième panto-graphe dans un plan perpendiculaire à celui qui contient les deux autres.

Un pantographe unique peut réaliser l'opération effectuée par an couple de pantographes.

THÉTIE. — Le produit de la t r a n s i t i o n V par L'ho-mothétie ^ O , , — ^ est une hoL'ho-mothétie de rapport — dont le centre O est défini par l'égalité :

O, O

—» k V

k 2 V (fig. 23)

Accoupler, dans un plan horizontal un

panto-2

graphe capable d'une homothétie de rapport et

3 un translateur ; puis, en tenant compte des résultats ci-dessus, accoupler au système obtenu, dans un plan vertical, un pantographe analogue au précédent.

4 " P R O D U I T DE DEUX INVERSIONS DE MÊME P Ô L E (fig. 24). — Construire deux inverseurs de Peau-cellier.

Figure 2 3 . — Schéma et vue de l'appareil _{Figure 2 4 . — Schéma et v u e ' d e l'appareil}

Ax : (h — 24 = 8 px = 242 — 8a = 512 Aa : a2 = 16 b„ = 8 p2 = 16= — 82 = 192 Le produit de deux inversions de pôle O et de modules p^ = 512 et p„ = 192 est une homothétie

p2 3 de centre O et de rapport k = — = — .

Vx 8

Accoupler, dans un plan horizontal, les deux inverseurs Aa et A2 et, dans un plan vertical, fixer en O, M et M„ un pantographe capable d'une

homo-3 thétie de rapport — .

8

La transformation réalisée par deux inverseurs Ax et A., accouplés et de même pôle, peut être

obtenue au moyen d'un pantographe.

REMARQUES RELATIVES A L'UTILISATION DES INSTRUMENTS DE TRANSFORMATION

1° Le professeur pourra dessiner sur une feuille de papier à dessin une figure F et sa transformée

F'. Pour la mise en place, il sera utile d'utiliser

l'appareil à t r a n s f o r m e r. Après avoir fixé la feuille sur une planche, il placera l'appareil ;

2° Il est difficile de suivre simultanément le mouvement du point M qui décrit la figure F et celui de son t r a n s f o r m é M' qui décrit la figure F ' . Pour remédier à cet inconvénient, le mouvement de M pourra être guidé (manivelle ou gabarit).

A. BIGUENET,