ARTheque - STEF - ENS Cachan | Pour un enseignement expérimental de la statique.

POUR UN ENSEIGNEMENT

EXPERIMENTAL

DE LA STATIQUE

par-ticulier dans nos Centres d'apprentissage, les notions de statique f o r m e n t une partie importante de l'étude de la mécanique théorique.

Elles semblent être plus faciles à enseigner que la cinématique ou la dynamique et on en arrive à penser que ces notions sont assez claires par elles-mêmes pour être comprises sans effort. On réalise quelques expériences au sujet des forces concou-rantes et des forces parallèles, et, f a u t e d'être outillé convenablement, on étudie de façon purement théorique ce qui concerne les moments de force et les couples.

L'enseignement de la statique devient alors pu-rement géométrique ; on f a i t des constructions sur des vecteurs,. et la réalité échappe à la compré-hension des élèves. On s'évertue à bâtir des pro-blèmes plus ou moins simples sur l'équilibre de forces appliquées aux sommets d'un triangle, aux milieux des côtés, etc., si bien que les jeunes gens ne voient plus dans l'étude de la mécanique qu'un prétexte à une amplification de l'horaire de géo-métrie.

Je me propose dans ce qui va suivre, non d'ex-poser en détail la suite des leçons de statique, mais seulement de montrer, en suivant le plan logique de ces leçons, comment on peut illustrer expéri-mentalement avec une très grande précision la presque totalité des notions étudiées, et en tout cas toutes les notions fondamentales ; on donne ainsi à cet enseignement la base concrète indispensable qui évite les fausses interprétations.

L'appareillage employé est extrêmement simple et peu encombrant : c'est un simple support en T, constitué par des profilés en durai, dont la concep-tion revient à M. Basquin, inspecteur général de l'Enseignement technique.

Le dessin de l'appareil, que nous reproduisons ci-contre, est extrait de sa « Mécanique expéri-mentale » ; il comporte toutes les indications néces-saires à sa réalisation.

Précisons que les roulements à billes employés doivent être choisis tournant librement sur leurs

axes ; les forces de f r o t t e m e nt introduites par ce dispositif sont de l'ordre de 1,5 gramme-poids à 2 cm de l'axe. Les causes d'erreur sont donc si faibles qu'elles sont pratiquement négligeables en statique.

L'appareil est complété par :

— Une plaque plane servant d'écran pour l'étude des forces concourantes ;

— Une barre tabulaire en durai, perforée de trous équidistants, pour l'étude des forces parallèles, leviers, couples, etc. ;

— Un. assortiment de masses marquées en laiton, dont les valeurs peuvent être choisies au gré de chaque opérateur. C'est ainsi qu'on peut réaliser des masses de 60, 90, 210 grammes par exemple, afin que les calculs ne portent pas constamment sur des nombres entiers d'hectogrammes.

Si on le préfère, on peut réaliser, à l'exemple d'un appareil que j'ai eu naguère à ma disposition, des masses quelconques, toutes égales, qui sont prises comme unités et qui portent un crochet à chacune de leurs bases. Cela permet de réaliser des contrepoids dont le rapport est immédiatement visible.

Toutes les expériences décrites ci-après ont été effectivement réalisées et la plupart d'entre elles le sont journellement devant les élèves du Centre annexa à l'E.N.N.A. de Nantes par leurs professeurs ou par les stagiaires.

I. _ E T U D E DE L ' E Q U I L I B R E E T DE LA COMPOSITION D E S F O R C E S a) Point matériel soumis à l'action de deux forces (fig. 1).

Le point matériel est matérialisé par un petit anneau d'aluminium percé de huit trous.

Les élèves constatent que, pour que les deux forces se f a s s e n t équilibre, il f a u t qu'elles soient égales et opposées. On peut d'ailleurs montrer dans quelles limites l'expérience vérifie cette égalité et

Ecrou

|

\BoulonH10•

DFile te sur25

"Ronde/le

M6\

Rondelle

M 6

Ecrou H6. D (laiton)

Roulement

SKF

Vis R 6.30

( laiton)

Tube <p 10-8

longueur

550

(Duralumin)

11 trous 4>3,5

à 5 0 mm d'axe

<ln axe

Poulie à gorge

(Aluminium)

i

50 extérieur

40 a Fond de

g-Alésage

20H?'

Epaisseur.- 6

Axe de

suspension

Ac.Stub

Douille à collier

Profilé

L 64x4.0

Iong

₅₅₀

_(Duralumin)

Tige de suspension

de l'écran

A c . S t u b . 0 10, - long

120

Rondelle brasee

percée

An / rtl ' I

Ecran

4-00

> 3 60

(A

P/W/Vé C 6 * 0*

4-long

800

(Duralumin)

Profilé

L 64x4-0^5

long

150

(Duralumin)

Languette à coulisse

larg

28

épais

4,!ong

avant pliage 115

( Aluminium)

Socle (noyer) 400 x 2W *24

donner une idée de ce qu'est une grandeur négli-geable ainsi que le demande le programme de phy-sique : on ajoute d'un côté des surcharges crois-santes : 2 dg, 5 dg, 7 dg, 1 g... Avec des masses de 400 g, l'équilibre est rompu lorsque l'écart entre les deux masses atteint 0,9 dg dans un sens et 1,4 dg

dans l'autre, ce qui montre bien que c'est le frotte-ment sur l'axe de la poulie qui en est la cause.

L'erreur dans ce cas est au maximum de 3,5 pour 1.000 : elle est négligeable. Avec des masses de 20 grammes par contre, l'erreur atteint 4,5 pour 100.

Fiq 2 _{f i q 4}

b) Point matériel soumis à l'action de trois forces concourantes (fig. 2).

On fixe un papier sur l'écran avec du ruban cellulosique et on amène cet écran à toucher les trois fils de suspension : les forces sont dans le même plan.

On déplace l'anneau et on le lâche : après quel-ques oscillations, il revient exactement au même endroit ; la position d'équilibre est. unique et l'in-tensité des deux forces, dont la direction varie, détermine les angles qu'elles f o n t entre elles et avec la troisième qui reste verticale.

On trace sur le papier les droites d'action des trois forces. En utilisant la conclusion de l'expé-rience précédente (a), on trace le vecteur repré-sentatif de la force qui équilibre l'une quelconque des trois forces (et de préférence l'une des forces obliques). L'élève qui effectue le tracé constate qu'elle est la diagonale du parallélogramme tracé sur les vecteurs représentatifs des deux autres.

Le graphique obtenu circule dans la classe. L'erreur ne dépasse jamais un demi-millimètre, et provient essentiellement de l'imperfection du tracé au crayon.

On a donc établi la notion de résultante de deux forces concourantes, la règle de construction.

On répète l'expérience avec des masses diffé-rentes avant de conclure.

On peut ensuite, laissant fixes deux des forces, faire varier la troisième et mesurer les valeurs successives des angles des deux forces invariables. On montre ainsi la variation de la résultante avec l'angle des composantes.

c) Barre métallique soumise à l'action de trois forces parallèles (fig. 3).

On montre d'abord que la barre est en équilibre lorsqu'on accroche les deux contrepoids C symétri-quement par rapport au trou central ; son poids n'intervient donc pas dans l'étude de l'équilibre.

On accroche deux masses, de 90 g et 210 g par exemple, aux crochets des contrepoids et on f a i t rétablir l'équilibre par un élève qui déplace une masse de 300 g accrochée à la barre par une boucle. On montre que l'équilibre est impossible avec une masse différente.

Répéter l'expérience avec des masses différentes, soit en laissant les fils extrêmes à la même place, et en f a i s a n t mesurer avec une règle graduée les distances obtenues au moment de l'équilibre, soit en déplaçant les poulies et en suspendant la barre par deux perforations symétriques par rapport à la perforation centrale.

On montre alors qu'en écrivant dans l'ordre croissant :

La valeur des forces-poids utilisées F j F3 F=

Les distances BC AB AC

L'égalité des trois rapports est évidente. En inclinant à la fois la barre perforée et la traverse, montrer que l'équilibre subsiste.

On utilisera les résultats de cette étude pour

établir ensuite les règles relatives à la recherche de la résultante de deux forces parallèles, de même sens, puis de sens contraires.

d) Equilibre d'une plaque plane (fig. 4). 1° Equilibre de la plaque suspendue à l'axe O. Quand la plaque est en équilibre, elle est soumise à son poids qui est nécessairement (a) équilibré par la réaction de l'axe : ces deux forces sont donc égales et opposées, et la direction du poids du corps est une verticale qui passe par l'axe de suspension, On la trace.

On recommence avec un autre point de suspen-sion..., l'expérience est classique et montre l'exis-tence du centre de gravité.

2" Equilibre de la plaque sous l'action de trois forces non parallèles, dont l'une est son propre poids (fig. 4).

Le centre de gravité venant d'être déterminé, on suspend la plaque par deux de ses points à deux contrepoids par l'intermédiaire des poulies.

On vérifie que les deux forces se coupent sur la verticale du centre de gravité, donc sur la direction de la troisième. On en conclut que :

Lorsque trois forces non parallèles sont en équi-libre, elles sont nécessairement complanes et concou-rantes.

C'est une généralisation de (b), les forces étant appliquées à un corps quelconque au lieu d'être appliquées au même point.

II. — MOMENT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A U N AXE

a) Notion de moment. Sens d'un moment (fig. 5). On équilibre un poids de 300 g par exemple, placé à l'extrémité de la barre, à l'aide de la tension du ressort.

On le remplace par un poids de 500 g et on rétablit l'équilibre horizontal. Pour que cette posi-tion d'équilibre soit nettement visible de toute la classe, on placera un repère sur un support en face de l'extrémité de la barre.

On mesure la distance à l'axe et on constate que : 25 X 300 = 15 X 500 = M = d X F . On répète l'expérience avec un poids de 100 g par exemple et on vérifie avec 200, 300, 400, 500, que la même relation s'applique et permet de prévoir la position du point d'application.

Enfin à l'aide d'une poulie de renvoi, on f a i t agir obliquement une force quelconque. Sur la figure on a pris 500 g et on a fixé le fil en un point quelconque de la barre du côté du ressort ; on déplace alors la poulie de façon à réaliser le même équilibre que dans la première expérience : les conclusions des expériences précédentes nous amènent à affirmer que le moment de cette force doit être le même : quelle est la valeur de d et comment mesurer cette dis-tance ?

On dispose une équerre graduée de façon à montrer que d mesure, comme dans les expériences précédentes, la distance de l'axe à la droite d'action de la force.

On remplace la tension du ressort par un poids F ' appliqué au même point et on vérifie que les moments sont égaux en valeur absolue, mais qu'ils

s'opposent puisque les effets se compensent : le moment M est donc une valeur algébrique dont on définit alors le sens :

M = d X F - - d' X F ' . b) Moment de la résultante de deux forces.

1° Forces concourantes (fig. 6). On réalise tout

• = » ( 5 Û 0 ) | i * \ o / X o \ / \ / \ 1 1 1 1 1 1 1 1

JL

à 1

d'abord l'équilibre de trois forces (fig. 2)'; en plaçant convenablement les poulies, on pourra ob-tenir que le fil vertical passe à l'aplomb d'une per-foration de la barre, ce qui présente l'avantage d'éviter une mesure au double décimètre, la distance de la droite d'action à l'axe étant alors aisément repérable de loin.

La figure montre l'expérience réalisée avec Ft = 200 g, Fs = 300 g, F3 = 400 g.

Supprimant le poids de 400 g, on attache le fil qui le soutenait à la barre transversale, en veillant à ne pas modifier l'angle des deux autres fils ; on règle le ressort pour obtenir le même équilibre.

On constate alors, en remplaçant les deux forces Ft et F„ par leur résultante — F3, que l'équilibre

subsiste, ce qui prouve que le moment de la résul-tante est égal à la somme des moments des composantes.

On peut d'ailleurs relever comme précédemment les distances du â„, d:s des droites d'action à l'axe O

et constater qu'on a bien, en posant H = (— F3) :

di X Fi + (î. X F j = d, X R. Dans le cas de l'expérience :

d1 = 14 cm d„ = 4 cm d„ = 10 cm

14~X 200 + 4 X 3 0 0 ^ = 10 X 400 = 4.000 La vérification est rigoureuse si les mesures sont faites avec soin ; la seule cause d'erreur à laquelle on doit veiller est l'absolue verticalité du fil qui s'attache à la barre : bien régler la poulie en conséquence.

2° Forces parallèles (fig. 7 et 8). On s'appuie sur les résultats de l'expérience n° 3 pour vérifier que pour les trois forces Ft, F , et R = — F3, on a :

M0 (FÎ) + M0 (Fa) = M0 (R).

La question du signe du moment intervenant dans le calcul, on pourra f a i r e une expérience avec des forces parallèles et de même sens :

Fig. 7 —> 25 X 210 — 25 X 90 = 10 X 300 et une avec des forces parallèles et de sens contraires :

Fig. 8 -> 10 X 400 + 20 X 100 = 20 X 300. En inclinant la traverse et la barre, on pourra montrer que la propriété ainsi vérifiée ne dépend pas de l'angle que f o n t les forces avec la barre.

3° Système de forces parallèles (fig. 9). L'expé-rience illustre le cas de trois forces parallèles et de même sens. La résultante étant égale à leur somme, on détermine par tâtonnements le point d'applica-tion de celle-ci, après avoir enlevé les trois autres, et on vérifie que :

(20 X 300) + (10 X 100) + (5 X 100) = 15 X 500 — A l'aide d'une poulie de renvoi, on réalisera le cas d'un système comprenant des forces de sens quelconques ; on pourra prendre 100 g et 200 g dans un sens et 90 g dans l'autre : la résultante étant 210 g, on a u r a par exemple :

(25 X 200) + (10 X 100) — (20 X 90) = 20 X 210 ou telle autre combinaison absolument quelconque,

puisqu'il n'est pas indispensable (d'appliquer les poids exactement aux perforations.

— On en déduit le théorème de Varignon, et on appliquera la méthode des moments en déterminant par le calcul le point d'application d'une résultante :

(d± X Fx) + (d2 X F2) ± (ds X Fs)

x =

F, + F„_ ± F3

ces trois forces agissant du même côté par rapport à l'axe O, et on vérifiera expérimentalement le résultat obtenu.

3° Equilibre des leviers. On dispose la barre de manière qu'elle pivote autour du troisième trou à partir de l'extrémité et on l'équilibre avec un contre-poids coulissant C. Le point O est le point d'appui du levier.

a) On applique une force à chaque extrémité de façon à réaliser l'équilibre (fig. 10). On a un levier inter-appui, et on vérifie l'égalité des moments des forces en valeur absolue par rapport à l'axe O :

40 X 100 = 10 X 400.

b) On applique une force à l'extrémité opposée au contrepoids et, à l'aide d'une poulie de renvoi, une force de sens contraire entre celle-ci et l'axe O. On réalise à la fois le levier inter-résistant et le levier inter-puissant, et on effectue la même véri-fication (fig. 11) :

40 X 50 = 10 X 200

III. — ETUDE DES COUPLES DE FORCES

a) Réalisation d'un couple et moment d'un couple.

Avec deux poids égaux quelconques (200 g sur la figure), réaliser un couple qu'on équilibre à l'aide du ressort. Déplacer l'ensemble des deux forces en g a r d a n t la même distance entre les points d'appli-cation A et B et f a i r e constater que l'équilibre n'est pas modifié ; au contraire cet équilibre est modifié : — Si l'on change les forces sans changer leur distance ;

— Si l'on modifie la distance sans changer les forces.

On en conclut donc que : l'effet d'un couple sur un corps qui peut tourner autour d'un axe ne dépend pas des positions des points d'application des deux forces mais seulement : de leur intensité, et de la distance de deux droites d'action, c'est-à-dire de leur bras de levier.

Le moment M du couple a pour expression : M = d X F

et l'on vérifie qu'on a :

15 X 200 = (25 X 200) — (10 X 200) = (20 X 200) — ( 5 X 200) = ... = OA X F — OB X F

= ( O A — OB) X F = AB X F

b) Couples équivalents.

On vérifie que le moment M d'un couple est la grandeur qui le caractérise, en remplaçant le couple précédent par divers couples de même moment sans toucher au ressort, et en constatant que l'équilibre n'est pas troublé. Les couples (15, 200) et (10, 300)

de même moment M sont équivalents.

c) Equilibre de deux couples.

Supprimer le ressort et chercher à équilibrer uii couple par un autre couple : vérifier que les moments sont égaux, mais qu'ils tendent à faire tourner le corps l'un dans un sens et l'autre à l'opposé : le moment d'un couple est donc une grandeur algé-brique, positive ou négative :

F.cj.Ç) <- > • < — = - > 0

1

J L

Fig.10

1 3 M „ ( F \ , F ' O = 1 5 X 2 0 0 M0 ( F „ , F ' . ) = — 1 0 X 3 0 0

M0 ( F „ F ' J ) = — M0 ( F » , F ' , ) d) Un couple ne peut être équilibré que par un couple.

Cependant on a équilibré un couple à l'aide de

la tension du ressort : cela semble contradictoire au jugement des élèves : il f a u t donc leur montrer que le ressort n'agit p a s seul.

Essayer de supprimer l'axe : on est obligé d'exercer un effort sur le milieu de la barre ; par exemple, on peut la f a i r e reposer sur le t r a n c h a n t de la lame d'un couteau que tiendra un élève :

F :_{9 '}1_'5 _{F i g . 1 5}

l'axe exerce une réaction qu'il f a u t f a i r e intervenir. Pour détermine r la valeur de cette réaction, la b a r r e é t a n t t o u j o u r s sur son axe, remplacer la ten-sion du ressort p a r une force-poids. On vérifie que l'équilibre a lieu quand (fig. 14) :

M„ (F, F ' ) = — M„ (T), T d é s i g n a nt la tension du ressort en valeur absolue 5 X 200 = 10 X 100. Si on s u p p r i m e l'axe, il f a u t alors exercer une force qui sera égale à la réaction en a t t a c h a n t u n fil à la p e r f o r a t i o n centrale et en le f a i s a n t passer sur une poulie de renvoi, en p r e n a n t soin d'équili-brer le poids propre de la b a r r e — qui ne doit p a s intervenir comme d a n s les expériences de la figure 3 — par les deux contrepoids C,C. On constate alors qu'il f a u t suspendre à ces contrepoids u n poids égal à T : la réaction de l'axe est donc égale et opposée à l'action du ressort, et les deux forces f o r m e n t un couple qui équilibre le couple donné.

On en conclut :

— Qu'un couple n'est j a m a i s équivalent à une forc e unique ;

— E t qu'il ne f a u t j a m a i s oublier les réactions des axes (ou des appuis) d a n s l'étude de l'équilibre d'un corps.

e) Composition de deux couples agissant dans le même plan.

1" Couples de même sens. On réalise deux couples avec les poids de 60 g et de 210 g p a r exemple et on équilibre avec la tension du ressort.

On remplace p a r un couple réalisé avec les poids de 300 g (par exemple) et on vérifie que :

(15 X 60) + (10 X 210) = 10 X 300 M0 (F„, F \ ) + M0 (F2, F ' , ) = M0 (F, F ' ) .

Tous les couples avec lesquels on peut réaliser le m ê m e équilibre, et qui sont des couples équiva-lents, ont un m o m e n t égal à la somme des m o m e n t s des couples donnés.

2° Couples de sens contraires. L a réalisation expérimentale est identique à la précédente : c'est le cas de la figure 15. On a :

(15 X4Ô0) — (30 X 60) = (20 X 210) c'est-à-dire :

M„ (Fj, + M„ (F., F'o) = Mo (F, F ' ) l'un des m o m e n t s é t a n t n é g a t i f .

3" Généralisation. Elle se f a i t s a n s difficulté et l'on arrive à la conclusion générale : le moment résultant est la somme algébrique des m o m e n t s des couples donnés.

C'est de plus une application intéressante du cours de m a t h é m a t i q u e s : les q u a n t i t é s algébriques sont ici matérialisées.

IV. E Q U I V A L E N C E D ' U N E FORCE F

ET D'U N SYSTEME [Force F = F', Couple Ml

( F i g . 16)

On équilibre une force F (400 g) par la tension du ressort. On la déplace ensuite de A en B : l'équi-libre est modifié.

Pour le rétablir, on exerce un couple ( f , / ' ) dont on déterminera p a r t â t o n n e m e n t s le b r a s de levier, f et / ' é t a n t choisis a r b i t r a i r e m e n t (sur la figure / = / ' • = 200 g).

On vérifie que le momen t de ce couple est égal en g r a n d e u r et en sens, au m o m e n t de la force F appliquée en A par r a p p o r t au point B :

15 X 400 = 30 X 200 ou M4 F = M (/, / ' )

On voit alors que l'on a :

M» ( F ) — M„ ( F ' ) + M (/, / ' ) .

On a remplacé la force F par la forc e F ' et le couple ( f , }').

L a généralisation devient aisée, et l'étude des conditions d'équilibre d'un corps repose ainsi sur des bases expérimentales solides.

R. P R E T ,

Professeur à l'E.N.N.A. de Nantes.

Les sceptiques ne font rien d'utile et ce sont les rêveurs qui construisent des mondes. Irène TEMPLE-BAILEY. *