ARTheque - STEF - ENS Cachan | De la méthode expérimentale à la méthode déductive.

LES MATHÉMATIQUES

EN 2

_{A N N É E D'APPRENTISSAGE}

De la méthode expérimentale

à la méthode déductive...

faire l'étude e x p é r i m e n t a l e des figures géométriques : les élèves ont observé, m e s u r é , tracé...

Certes, l'emploi de la méthode expérimentale en géométrie soulève des objections, mais cette méthode présente d'incontestables avantages que l'on nous permettra de rappeler brièvement :

1° Tous les élèves^ sont capables de suivre la classe ;

2° Si l'on veut bien considérer que l'expérience ne consiste pas ici à faire des pliages approximatifs, mais à exécuter avec précision des mesures et des tracés, on reconnaîtra qu'il est profitable d'entraîner ainsi les élèves des Centres d'apprentissage à r e m -ploi correct des i n s t r u m e n t s de m e s u r e ;

3° Si, au lieu de dicter un texte, on laisse les élèves rédiger eux-mêmes les conclusions de leurs expériences, on les habituera à penser c o r r e c t e m e n t et à s ' e x p r i m e r c l a i r e m e n t ;

4° Enfin, autre conséquence dont l'intérêt n'échap-pera à personne, on remarquera que la méthode expérimentale est la seule qui permet de bâtir un cours de mathématiques sur lequel peuvent s'appuyer les professeurs de dessin et les maîtres d'atelier.

E x e m p l e s : Dès la première année, les élèves vérifient la relation de Pythagore ; ils découvrent

les p r o p r i é t é s des polyèdres, chapitres qui, par la méthode traditionnelle, ne pourraient être étudiés qu'au milieu ou à la fin de la scolarité, c'est-à-dire à un moment où, depuis longtemps, les techniciens ont eu à utiliser ces notions.

Mais la méthode déductive développe, sans nul doute, la faculté de raisonner juste : aussi reprend-on, en deuxième année, l'étude du cours de géo-métrie.

Que les élèves connaissent déjà les propriétés des figures, ce n'est pas là, croyons-nous, une difficulté ; mais il faut leur montrer comment, p a r la v e r t u d ' u n r a i s o n n e m e n t , on peut les établir. Les premières leçons de deuxième année seront donc moins un cours de géométrie qu'un c o u r s de méthodologie. Ainsi la première leçon aura pour titre : L a démons-t r a démons-t i o n en géomédémons-trie, edémons-t pour sous-démons-tidémons-tre : Angles opposés p a r le s o m m e t .

Nous nous permettrons d'insister sur un dernier point : un texte de leçon, pris dans un livre, n'est que le « s c é n a r i o » d'une pièce que le professeur doit, pour le public particulier auquel il s'adresse,

« m e t t r e en scène » ; ainsi fera-t-il de sa leçon une œuvre personnelle. Pour l'élève, ce texte est un r é s u m é qui lui évitera pendant la classe de copier, sans avoir le temps de comprendre, un cours dicté par le maître.

LA DÉMONSTRATION EN GÉOMÉTRIE'" -

Angles opposés par le sommet

P R E M I E R E L E Ç O N 1. — R a p p e l o n s , sur un exemple, la m é t h o d e suivie d a n s le cours de m a t h é m a t i q u e s de pre-m i è r e a n n é e , pour étu-dier les p r o p r i é t é s des figures g é o m é t r i q u e s .

et étudiez les propriétés du quadrilatère formé par

ces droites (parallélogramme).

1° Au m o y e n d ' u n double-décimètre, nous a v o n s

mesuré les côtés du p a r a l l é l o g r a m m e ; nous avons ainsi constaté que les côtés opposés é t a i e n t é g a u x

deux à deux :

A B = DC ; AD = BC.

2° Au m o y e n d ' u n rapporteur, n o u s a v o n s mesuré les a n g l e s du p a r a l l é l o g r a m m e ; n o u s a v o n s ainsi c o n s t a t é que les a n g l e s opposés é t a i e n t é g a u x deux à deux :

E X E M P L E . —

Tra-cez quatre droites

paral-lèles deux à deux (fig. 1) A

( 1 ) Cette leçon est tirée d ' u n ouvrage publié par les éditions F o u c h e r sous le titre : Les Mathématiques en 2 e A R . Cluzel.

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C et B = D.

3° Ainsi, pour découvrir les p r o p r i é t é s d'une

figure, avons-nous employé la méthode

expéri-mentale.

C e t t e m é t h o d e a l ' a v a n t a g e de n o u s r e n d r e r a p i -d e m e n t f a m i l i è r e s les figures g é o m é t r i q u e s , m a i s

son emploi appelle certaines observations.

a ) L o r s q u e n o u s m e s u r o n s les a n g l e s A et C (fig. 1), obtenons-nous exactement le m ê m e r é s u l t a t ? E n g é n é r a l , non, c a r la le'cture des

g r a d u a t i o n s du r a p p o r t e u r n ' e s t p a s t r è s précise ;

b) Si nous -avions dessiné, n o n u n seul p a r a l l é l o g r a m m e , m a i s deux, cinq, mille... p a r a l l é l o g r a m m e s , a u -r i o n s - n o u s toujou-rs vérifié l'égalité de d e u x a n g l e s opposés. N o u s ne pou-v o n s p a s répondre , car n o us n ' a pou-v o n s p a s p o u r s u i v i l'expérience.

La méthode expérimentale n'ap-porte donc pas la preuve certaine de l'existence des propriétés des figures géométriques.

OB en ligne droite ; ils s o n t donc supplémentaires ( c o u r s de p r e m i è r e a n n é e ) . Ce qui s'énonce encore :

O 2 a pour s u p p l é m e n t 'O3.

3° De ces deux c o m p a r a i s o n s il r é s u l t e que les a n g l e s Ose t O o, Qui ont le même supplément, s o n t

égaux.

Fig. 3. - o i et 6 J sont

supplémentaires Fig. 4. - Ô , et o i î sont supplémentaires

2 . D A N S LE COUES DE GÉOMÉTRIE

DE DEUXIÈME ANNÉE, n o us allons,

uni-quement par des raisonnements, établir que : Si une figure répond à u n e c e r t a i n e définition, ou possède c e r t a i n e s propriétés...,

alors, elle jouit de c e r t a i n e s a u t r e s propriétés.

O ] et O j sont égaux

Si Alors

Cette m é t h o d e est dite déductive. Elle ne néces-site a u c u n i n s t r u m e n t de m e s u r e (inutile de se d e m a n d e r s'ils sont j u s t e s ! ) ; elle ne comporte a u c u n e lecture de g r a d u a t i o n (inutile de se d e m a n -der c o m m e n t a p p r é c i e r u n intervalle ! ) ; elle s'ap-plique à n ' i m p o r t e quel p a r a l l é l o g r a m m e (inutile d ' é t u d i e r p l u s i e u r s p a r a l l é l o g r a m m e s d i f f é r e n t s ! ) .

Pour suivre cette méthode, il suffit de raisonner correctement.

3. — A N G L E S OPPOSÉS PAR LE SOMMET. — R a p p e

-lons que deux a n g l e s AOB et COD s o n t d i t s opposés par le sommet quand les côtés de l'un sont les pro-longements des côtés de l'autre (fig. 2).

1° C o m p a r o n s les a n g l e s O, et 6T (fig. 3) : ils sont a d j a c e n t s et on t leurs côtés exté-rieurs OA et OC en ligne droite ; ils s o n t d o n c supplé-mentaires (cours de p r e m i è r e année ) Ce qui s'énonce encore : O, a pour s u p p l é m e n t Ô , . 2° C o m p a r o n s l e s a n g l e s O, et OÔ (fig. 4) : ils sont a d j a c e n t s et ont l e u r s côtés e x t é r i e u r s OD et

4. — THÉORÈME. — A n a l y s o n s l'étude que n o u s venons de f a i r e . Elle comporte :

1° U n point de départ : si deux angles sont opposés par le sommet ;

2° U n raisonnement ;

3° U n point d'arrivée : les angles sont égaux. L'ensemble des conditions données s'appelle l'hy-• pothèse ; le r a i s o n n e m e n t s'appelle la

démonstra-tion ; la p r o p r i é t é établie s'appelle la conclusion. Un théorème est c o n s t i t u é p a r l'énoncé de l'hypothèse (italique) suivi de celui de la conclusion ( g r a s ) .

D

B

Fig 2. - A O B ' et C O D sont opposés par le sommet

5. A P P L I C A -TION : DROITES PERPENDICU-LAIRES. — P a r définition, deux d r o i t e s sont perpendicu-laires quand l'un des angles qu'elles f o r m e n t est droit.

B r é s u l t e de là que si O,, p a r exemple, est droit : ' Oa = O | = 90» (§ 4).

Q, = Ô \ = 90° (§ 3 ;1°).

C

Fig. 5

O, O , 90° (§ 4).

N o u s a v o n s ainsi d é m o n t r é que, si l'un des angles formés par deux droites est droit, les quatre angles

formés sont droits.

E X E R C I C E S

D a n s les t r o i s p r e m i e r s p r o b l è m e s qui suivent, m e t t e z en évidence l'hypothès e et la conclusion et p a s s e z de la p r e m i è r e à la seconde a u m o y e n d'un r a i s o n n e m e n t que l'on t r a d u i r a p a r des o p é r a t i o n s sur des égalités.

l'angle, on trace' l'angle droit COD. D é m o n t r e z que

3. D é m o n t r e z que les a i r e s des s u r f a c e s o m b r é e s (fig. 8) s o n t égales.

4. Soit u n s e g m e n t A B et son milieu M. S u r AB, on p o r t e d e u x l o n g u e u r s é g a l e s A A ' et B B ' . D é m o n t r e r que M est aussi le milieu d u s e g m e n t A ' B ' .

5. T r a c e z deux a n g l e s opposés p a r le s o m m e t ; puis la bissectrice de l'un de ces angles. D é m o n t r e z que, si on la p r o l o n g e à l ' i n t é r i e u r de l ' a u t r e angle, o n t r a c e a i n s i la b i s s e c t r i ce de ce dernier . Enoncez, avec le m i n i m u m de mots, la p r o p r i é t é ainsi établie.

6. T r a c e z d e u x a n g l e s a d j a c e n t s s u p p l é m e n t a i r e s , puis la b i s s e c t r i ce de l'un de ces angles. D é m o n t r e z que, si l'on m è n e la p e r p e n d i c u l a i r e à cette droite, on t r a c e ainsi la bissectric e de l ' a u t r e angle. E n o n -cez, avec le m i n i m u m de mots, la p r o p r i é t é ainsi établie.

7. E t a n t donné un a n g l e d r o i t A O B et une demi-droite OC i n t é r i e u r e à

1. D e u x mobiles p a r t i s en m ê m e t e m p s de O ont à p a r c o u r i r des t r a j e t s é g a u x OB et OB' (fig. 6). A u bout d ' u n c e r t a i n t e m p s , ils o n t p a r c o u r u des l o n g u e u r s é g a l e s OA et OA'. Que p e u t - on dire des d i s t a n c e s r e s t a n t à p a r c o u r i r ?

2. D e u x d e m i - d r o i t e s OA et O ' A ' , en t o u r n a n t du m ê m e angle , v i e n n e n t en OB et O ' B ' (fig. 7). Que p e u t - o n dire des a n g l e s qu'elles f o r m e n t a l o r s a v e c les p r o l o n g e m e n t s OC et O ' C ' de OA et O ' A ' ?

AOC = B O D

Application :

P o u r m e s u r e r la « h a u t e u r » d ' u n point A a u d e s s u s de l'horizon, c'està dire l ' a n g l e AOB, on emploie l ' i n s t r u -m e n t r e p r é s e n t é p a r la figure 9.

lu _{Quel efât le c o m p l é m e n t de l ' a n g le} O , ?

2° Quel est le c o m p l é m e n t de l ' a n g l e

O , ?

Fig. 9. - Mesure de la « hauleur » d ' u n point.

3° Où p e u t - o n lire, sur l'appareil, l'angle cherché? ( L a solution de ce p r o b l è me p e u t ê t r e « calquée » sur la d é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e § 3).

R. C L U Z E L , Professeur E.N.N.A., Paris.

« Rien ne se f a i t Sans un peu d'enthousiasme. »

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