De la théorie des catégories à l’usage des modèles en science

D E L A T H E O R I E D E S C A T E G O R I E S A

L ' U S A G E D E S M O D E L E S E N S C I E N C E

" L e s f ô t e s d ' o r t h o g r a p h e r e c o n n u e s c o m m e t e l l e s n ' e n s o n t p a s " ( R . T h o m )

Ce petit papier a pour but de faire comprendre aux non initiés ce qu'est l'idée essentielle de la théorie des catégories en mathématiques puis de transposer l'esprit de cette théorie en sciences physique , humaine etc pour en tirer des conclusions méthodologiques quant à l'usage de l'emploi des modèles .

On lira dans ce qui suit :

§ 1 - Qu'est- ce que la théorie des catégories ?

1. Introduction .

2. La notion essentielle de la théorie des catégories est la notion d'homomorphisme .

a) homomorphismes en algèbre abstraite

b) simplifications introduites par un homomorphisme ; un exemple .

c) les homomorphismes en topologie . 3. La théorie des catégories .

a) définition des catégories

b) le concept de foncteur ..

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-4. Un exemple : le foncteur de Pô ïncaré . Les transformations naturelles .

5. Le programme de la topologie algébrique . § 2 - L'usage des modèles en sciences .

1. Rapport avec la théorie des catégories . Le cas de la physique .

2. Les " structures élémentaires de la parenté " de Lévi-Strauss .

3. La valeur d'un foncteur . Conclusion .

§ 1 - QU' EST CE QUE LA THEORIE DES CATEGORIES ?

1 . Introduction .

Pour comprendre l'Idée essentielle de la théorie des catégories, nous n'allons pas retracer son évolution ou rechercher les raisons histo-riques qui étaient à l'origine de son invention . Nous allons regarder la théorie des catégories dans son fonctionnement actuel et en dégager l'idée essentielle .

Pour ceux qui n'ont , jusque là , fait aucune mathématique , ce qui va suivre n'aura peut-être pas beaucoup de sens sans un effort d'imagi^ nation considérable . Mais c'est à ce prix seulement qu'on pourra comprendre ce que sont les catégories vraiment , bien qu'on puisse construire le début de la théorie des catégories sans aucune connais-sance p r é - alable :

" Définition : on appelle catégorie ... etc " .'

Mais ce procédé a toute chance de ne fournir aucune connaissance p o s t - alable .

2. La notion essentielle de la théorie des catégories est la notion d1 h o m o m o r p h i s m e .

Par algèbre générale , entendons l'algèbre qui généralise l'algèbre des entiers ( positifs ou négatifs ) , c'est-à-dire l'ensemble 2 de ces entiers avec les deux opérations d'addition et de multiplication , sur-tout , ( et aussi les relations d'ordre et de divisibilité ) .

L'algèbre moderne consiste donc à étudier des ensembles X sur les-quels sont définies une ou plusieurs opérations ( ou lois de composi-tion ) qui vérifient certaines propriétés . On dit qu'un tel ensemble est structuré algébriquement .

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-La structure algébrique la plus importante est celle de groupe .

Un groupe est un ensemble X sur lequel est définie une opération notée f # g qui vérifie les propriétés :

1 ) " associatîvité " :

( f *g ) * h = f * ( g # h ) pour tous f, g, h de X

2) il existe un élément noté e , appelé élément neutre, tel que ( e * f ) = f * e = f pour tout f de X

3) pour tout f de X , il existe un f ' dans X tel que ' f * f1 = f i # f = e

f1 est appelé l'inverse de f

4) souvent on a l'axiome supplémentaire de rl commutatîvité " :

f #• g = g •* f pour tous f et g de X . Par exemple J_ avec son addition est un groupe commutatif .

Les groupes sont partout , en mathématiques . ( Lire Poincaré : Science et Hypothèse à ce propos ) .

Un anneau est un ensemble muni de deux opérations dont l'une est ap-pelée addition et l'autre multiplication , ces deux opérations ayant les mêmes propriétés formelles que l'addition et la multiplication ordi-naire de Z . ""N.

Un espace vectoriel X est comme un anneau , sauf que dans la multi-plication s'opère, un dédoublement : le facteur de gauche n'appartient pas à X , mais à un ensemble auxiliaire, dont les éléments sont consi-dérés comme des " nombres " alors que les éléments de X lui-même sont considérés comme des vecteurs .

t.. t. c. •••

N.B. L'émergence de ces structures algébriques ne s'est pas faite d'un coup : c'est le résultat d'une très longue activité mathématique , bien que l'idée elle-même en est , après coup , fort simple .

C'est le concept d'homomorphisme qui permet de " comparer " deux ensembles structurés , X et X1 . Si on note f T g l'opération sur X et

f ' j_ 91 ce I le de X1 , un homomorphisme H de X dans X1 est une

appli-cation H : X - » X ' qui à tout élément f de X associe un élément noté H (f ) de X1 tel que :

( 1 ) H(f T g) = H ( f ) J- H ( g

On peut dire que H " transcrit " X dans .X1 et la loi T en la loi _L .

Le concept d'homomorphisme est fondamental en mathématiques , di-sons depuis Galois , en gros .

b) Un hompjriorphisrne_ introduit souvent une simplification. l_a transcription H : X -» X1 , au cas où l'application est surjective ,

se fait avec perte d'information . Des objets distincts dans X sont iden-fiés par H dans X1 . L'homomorphisme H appauvrit donc X. . Cette

simplification par contre, permet souvent des raisonnements plus sim-ples ( dans X1 ) mais qui fournissent des renseignements sur X .

Prenons un exemple : l'anneau des entiers module p .

L'anneau des " entiers module p " s'obtient en identifiant deux entiers x et y qui diffèrent par un multiple de l'entier p . Deux tels entiers sont dits " congrus module p . Si a est un entier ( ordinaire ) on dé-signe par a j ou Par a l'ensemble de tous les entiers x congrus à a

module p . Un tel a est appelé " un entier module p" . L'ensemble de tous les a quand a est un entier est noté Z et c'est " l'anneau des en-tiers modulo p " . Par construction , nous avons une application sur — jective :

H : Z > Z •: a ~ > a = ce P

Z devient un anneau , comme Z , en y définissant une addition et une multiplication par les formules :

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-a -f b = -a + b

a . b = a b

Cette définition faite , H devient un homomorphisme d'anneaux . Dans l'anneau Z , les éléments 0 et 1 jouent le même rôle que les en-tiers ordinaires 0 et 1 dans Z .

L'homomorphisme H introduit d'abord une simplification radicale : il passe d'un ensemble infini à un ensemble fini. Par exemple pour p = 7,

l'anneau J_ contient les sept éléments 0 , 1 , 2 , ..., 6 . L'entier 7 est à classer avec 0 ( 7 = 0 ) , l'entier 8 avec 1. ( 8*'= 1 ) etc . H permet aussi de simplifier certaines formules écrites entre entiers ordinaires . Par exemple la formule :

(i ) ( a + b )

= a

+ 7 a

b + 21 a

b

+ 35 a

b

+ 35 a

b

+ 21 a

b

+ 7 , a b

+ b

devient dans l'anneau ~l_ :

(n) ( a + | 3 )

= cc

+ g

parce que les termes intermédiaires de la formule (î) étant des mul-tiples de 7 sont à classer avec 0 .

<-? [ Le " 7 " dans la formule ( îi ) garde son sens ordinaire , car a si-gnifie a. a. .... a ( sept fois ) ] .

De même pour tout nombre premier p ( nombre n'admettant pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même ) , la formule simî laire ( i ) ( a+b ) = . . . devient tout simplement :

( i i ) ( a+ p )P = ccP + pP dans Zp

cette formule signifie d'ai I leurs-que l'application ct^1—> (X de Z dans Z est un homomorphisme .

La formule ( iî )'donne par itération la formule : , ( i i ï ) (a+f3-f-Y*-—)P = ccP+ pP+ YP + —

Or comme a = 1 + 1 + ... -f 1 ( a fois ) , on a aussi : cc = ï + 7+... +T (a fois )

La formule ( iii ) donne :

aP = ( 1 + 1 + ... + 1 )P = 1 P + 1 P +...+ 1 P = 1 + 1 +...+ 1 = a . On a donc la formule :

( iv ) a = a pour tout a dans Z .

Remontons maintenant dans Z et interprétons la relation ( îv ) qu'on a obtenue :

l_a relation ( iv ) signifie que les entiers a et a sont à identifier , c'est-à-dire , leur différence est un multiple de p .

( v ) a'3 - a = k p pour un certain k

Dît autrement : l'entier p divise a ( a - 1 ) .

Si on suppose que p ne divise pas a , on en déduit alors :

(vi ) p divise a - 1 ( p premier ne divisant pas a ) ce qui est un théorème de Fermât .

Nous allons voir au § 2 , que Lévi-Strauss , dans les Structures Elémentaires de la Parenté , dans son analyse du système Murngin , rai -sonne exactement de cette façon . Un homomorphîsme le fait passer de la structure Murngïn réelle à une structure Murngin théorique beau-coup plus simple et en second lieu il remonte de cette structure à la structure initiale .

c) Les structures topo logiques et leurs homomorphîsmes . Rjipporjt_e_n_tr_e_ho|]pf)£'loJ2.ph_i^£'les__^JJ^HIPSJ^-™^L5- •

Les structures topologiques tournent autour des notions de " continu",

11 continuité " , " voisinage " , " distance " .

Un espace topologique est un ensemble X avec la donnée d'un ensemble Z de parties de X , appelées parties ouvertes de X , de sorte que :

. X lui-même ainsi que l'ensemble vide sont des par-ties ouvertes d e X ( X € £ et 0 Ç X ) .

- 81 - .

. Toute réunion d'une famille de parties ouvertes de X est encore une partie ouverte de X .

( s i O. 6 2 pour tout î C l , alors U O. Ç X )

1 i € 1 '

Si X , SL et X , Z1 sont deux espaces topo logiques , une application

H : X > X1 est un homomorphisme ( topo logique ) si la condition sui -vante est vérifiée :

Si O1 est dans s;1 ( est une partie ouverte de X1 ) , alors H ( O1) ( l'image inverse de O1 par H ) est dans 3; ( est une partie ouverte de X ) .

Les homomorphîsmes topologiques sont exactement les fonctions conti-nues .

Les homomorphîsmes de structures algébriques ou topologîques véri-fient les propriétés suivantes :

Si X est un ensemble structuré , ev l'application

x

identique de X , est un homomorphisme .

SI H : X —> Y et F : Y —> Z sont des homomorphîs-mes alors l'application composée F ° H : ' X — > Z

(«H

est un homomorphisme .

( i î i ) Un ^omomorphisme H : X —> Y tel qu'il exîste un homomorphisme H1 : Y > X vérifiant H o H1 = e et H1 ° H = e est un Isomorphîsme .

x

Remarque théorique : .

La troisième condition peut être prise comme définition du mot " î s o -morphîsme " . En fait les choses se passent à l'envers : la notion pre-mière est celle d'isomorphïsme et la notion d'homomorphisme doit être

que dans le cas des structures topologiques , on peut prendre comme condition d'homomorphisme :

Si O est ouverte dans X, H (O ) ( image directe de O) est ouverte dans X1 .

Ces homomorphismes ne sont plus les applications continues .

Si H : X —> X1 est un isomorphisme , X et X1 sont dits isomorphes . Si on note H ( f ) par f' alors à f T g correspond f1 j_ g1 , ( dans le cas algébrique ) e t , comme H est une bijectîon , on peut dire qu'à l'appel-lation " ' !1 près , X , c'est " le même " que X1 . Néanmoins , l ' e x i s -tence d'un isomorphîsme est souvent non triviale . / Ainsi si X désigne l'ensemble des réels strictement positifs avec la multiplication ordinaire e t s i X1 désigne l'ensemble de tous les réels avec l'addition ordinaire , X et X1 sont deux groupes ( et espaces to-pologiques ) qui sont isomorphes ( comme groupes et espaces topo lo-giques ) . L'isomorphisme est réalisé par la fonction Log :

" logarithme Népérien " , qui est loin d'être triviale .

3. L'a théorie des catégories .

a) Définition des catégories .

La théorie des catégories commence à partir du moment où on se rend compte que dans beaucoup de constructions mathématiques , les homo -morphismes H : X — > X1 n'interviennent plus par leur définition ato-mique individuelle ( qui est particulière à chaque homomorphïsme et à chaque type de structure ) , mais uniquement globalement : pour faire ces constructions , pour les décrire , on a besoin uniquement des symboles " H : X > X1 " pris comme tels, et les propriétés formelles ( M ) de la page précédente qui les lient .

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-Par exemple : le concept de produit direct. .

Si X et Y sont deux ensembles structurés de même type (par exemple : deux groupes , ou , deux anneaux , ou deux espaces vectoriels , ou , deux espaces topologiques ) le produit direct de X et Y est défini de la façon suivante :

c'est un ensemble structuré H de même type avec deux homomorphis — mes P : n > X et Q. : n —•> Y de sorte que la propriété suivante soit vérifiée :

p;

Pour tout espace £ de même type et tout couple d'ho-momorphismes H : £ > X et K : £ > Y , il existe un et un seu 1 homomorphisme I_ : £ > n tel que P o l _ = H e t Q o l _ = K .

H -^ X

K

Bien sûr , dans chaque cas de structure , ce produit I I s ' î l existe , prend une forme particulière . Ainsi dans les cas classiques , l'en-semble sous-jacent est toujours l'enl'en-semble X xY des couples ( x, y ) où x est dans X et y dans Y , et P : X x Y > X (resp. Q : X x Y > Y) est ( x, y )-v—> x ( resp. ( x, y )~ > y ) . Dans le cas où X et Y sont des groupes ( dont on note l'opération multiplicativement ) , la m u l t i p l i c a -tion sur X x Y est définie par la formule :

( x , y ) . ( x ' , y1 ) = ( x x1 , y y1 ) . etc.

On peut dire que , pour la théorie des catégories , les homomorphis-mes H : X > X1 ( pour une structure donnée ) deviennent " élémen-taires " , des éléments .

Notons alors tout simplement un tel H : X -—> X1 par une lettre minus eu le h . Entre ces éléments f, g, h, k, . . ., on a une loi de composi -tion f T g qui est la composi-tion des homomorphismes :

f T g = f o g

( cette composition n'est bien sûr possible qu'à certaines conditions ). L'ensemble des homomorphismes f, g, h, ... (d'une structure donnée) muni de cette loi de composition est appelée une catégorie . On obtient ainsi la catégorie des groupes , c e l l e des'anneaux , des espaces to-pologiques etc .

Les catégories émergent donc en partant de structures algébriques etc . Pour mettre la théorie des catégories sur ses propres pieds , on pose alors comme définition d'une catégorie :

Une catégorie £ est la donnée d'un ensemble d'applications f , bapti-sées homomorphismes , de s o r t e que les propriétés formelles ( }j) de la page 8 seront vérifiées , cet ensemble étant structuré par la loi de composition f o g .

En fait chaque symbole f tient lieu d'un symbole de fonction définie sur un ensemble de départ et arrivant dans un ensemble . La donnée de chaque f sous-entend donc la donnée de D ( f ) l'ensemble de départ de f et A ( f ) l'ensemble d'arrivée de f . La composition f °g est alors pos-s i b l e uniquement pos-s i A ( g ) = D ( f ) .

Les catégories ainsi définies sont dites " concrètes " .

Car les f sont effectivement des fonctions . Un pas de plus vers l'abstraction consiste à ôter aux f leur caractère de fonctions pour obte -nir des catégories " abstraites " . Le même processus s ' e s t produit au sujet des groupes : initia lement l e s - s e u Is groupes considérés étaient

ceux dont les éléments étaient déjà des fonctions .

Les groupes " abstraits ", c'est-à-dire où les éléments n'ont pas d'in-terprétation comme fonction , sont venus après .

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-On peut aussi noter l'analogie d'une catégorie avec un groupe . Les éléments e jouent un rôle d'éléments neutres . Un îsomorphîsme est

/x

comme un élément inversible . Souvent les catégories ont été appelées groupoi'des .

b) Le concept de foncteur .

Le concept fondamental de la théorie des catégories est celui de fonc -teur . Un fonc-teur n'est rien d'autre qu'un homomorphisme d'un degré supérieur .

Si (£. et E0 sont deux catégories un foncteur F de E dans (£0 est une 1 2j \

transformation notée F : £ ><£,-, , qui à tout f de E associe un

1 & \ ' = F ( f ) de S de sorte que :

F ( f o g ) = F ( f ) o F ( g .

et F transforme les applications identiques en applications identiques : De façon plus précise :

comme chaque f est en fait une fonction f : X — > Y , la donnée de F est d'abord la donnée pour tout objet X lié à E d'un objet F ( X ) = X1

lié à £ et pour tout f : X — > Y , la fonction F ( f ) s ' écrit

£

F ( f ) = F ( X ) — > F ( Y) . D i r e q u e f transforme les applications iden-tiques en applications ideniden-tiques signifie alors :

Ff e ) = e1

^I SX ' F

La condition ( g ) exprime bien le fait qu'un foncteur g est un n°mo _ morphisme ( d'un degré supérieur ) . Un foncteur permet de comparer

la morphologie de deux catégories . De même qu'un homomorphisme ( surjectif ) introduit des simplifications , un foncteur ne retient le plus souvent que certains aspects de la catégorie de départ .

Le foncteur le plus oublieux , appelé d ' a i l l e u r s , le foncteur oubli

Si G* est une catégorie ( concrète ) , la catégorie des espaces topo lo-giques par exemple , s o i t X un objet de E , c'est-à-dire un espace to-pologique ; alors F ( X ) est égal à X mais considéré uniquement comme ensemble sans structure . De même si f est une application continue , F ( f ) est égale à f , mais considérée du seul point de vue ensembliste. F est un foncteur de la catégorie E vers la catégorie des ensembles , obtenu en oubliant la structure de départ .

Les mathématiques actuelles sont en grande partie concernées par la construction de foncteurs . La géométrie algébrique moderne par exemple est fondamentalement liée au langage des foncteurs . L ' a t t i -tude de certains mathématiciens vis à vis de la théorie des catégories est parfois surprenante . Certains traitent en effet ces notions de " non-sens abstrait " . C'est très surprenant de la part de gens qui acceptent sans discussion un idéalisme mathématique très poussé , alors que la théorie des catégories n'est en fait pas au delà de cet idéalisme , au contraire , e l l e en fait partie intégrante et en plus , comme nous l'avons vu, l ' i d é e centrale de cette théorie est c e l l e d'ho-momorphisme et on peut dire que le programme de la théorie des caté-gories n'est qu'une radicalisation des idées ouvertes depuis Galois . Le même phénomène se passe au sujet du refus de l ' a n a l y s e non stan dard qui formalise les idées de nombres infiniment petits . Refus s u r -prenant , de nouveau , de la part de gens qui n'ont aucun scrupule à manupuler des machins comme <$( ty( ^ etc ... Ç( IN ) ))) etc ) , l'ensem-ble des parties de l'enseml'ensem-ble des parties etc ... de l'enseml'ensem-ble des parties de N .

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-4. Un exemple : le foncteur de Poinearé .

Le programme de la branche mathématique appelée topo logie est le sui-vant :

.Etant donnés deux espaces topo logiques X et Y dire s ' i l s sont isomorphes ou non .

Ce programme est , bien sûr , un programme hautement idéaliste ; la "donnée" de X et Y est déjà hautement non constructîve en général . Mais il n'est pas impossible qu'on 'donne un jour une réponse haute-ment idéaliste à-- ce problème . Néanmoins , il n'est pas.étonnant que pour. l e moment il n ' y e n ait point . . . . .

Le foncteur de Poinearé est un foncteur n de la catégorie des'espaces topologiques vers là catégorie des groupes ( commutatifs ) •.

Le foncteur H associe donc a t o u t espace topo logique X un groupe n ( X ) et à toute application f : X — > Y continue un homomorphisme de grou-pes : . . n ( f ) : Ï I ( X ) > ï ï ( Y ) .. . • . ' • Ce foncteur traduit les propriétés topologiques en propriétés a l g é -briques plus simples .

La connaissance de ce foncteur ( I1 " existence " de ce. foncteur) a •des conséquences positives pour la résolution duprogramme de la to

-pologie .

L'intérêt d'un tel foncteur .est de donner des conditions nécessaires ( mais non suffisantes ) ., pour que deux espaces topo logiques soient

isomorphes . . . ' . - .

En effets si X et Y sont deux espaces topo logiques isomorphes , il y a deux applications ' continues f : X —> Y et 9 : Y - — > X tel l e s - q u e .3 ° f = ex et f ° g = .e .•

La transcription par n donne alors deux homomorphîsmes de groupes :

n ( f ) : n ( x ) —> n ( Y ) et n ( g ) : ÏÏ(Y)—>n(x)

tels q u e n ( f ) ° I ï ( g ) = en^Yj e t ï ï ( g ) ° I l ( f ) = e ,x ^

ce qui signifie que les groupes n ( X ) et n( Y) sont isomorphes . Dit autrement : si on sait que n ( X ) et n ( Y ) sont deux groupes non isomorphes , alors X et Y ne peuvent pas être topologîquement iso-morphes .

Ce résultat , apparemment négatif , donne néanmoins des renseigne-ments positifs ( souvent non constructifs ) .

On peut en donner un exemple à l'aide, du foncteur de. Poincaré . La construction précise du foncteur n n'intervient pas dans |-a suite du raisonnement. Il suffit d'avoir seulement les deux renseignements sup-plémentaires :

Si D est l'espace topologique formé par un disque du plan , alors Il( D ) = { 0 } ( l e groupe réduit à 1 élément ) .

Si D est l'espace topologique S formé par le cercle bordant un disque, alors ï ï ( S ) = Z .

Ces deux renseignements, avec les propriétés formel les d'un foncteur ( propriétés d'homomorphîsme ) permettent de démontrer le théorème suivant de Brouwer : le théorème du point fixe :

II s'énonce : si f : D —£>D est une application continue du disque dans lui-même , alors il existe au moins un point de D laissé fixe par f .

Voici la démonstration : e l l e procède par l'absurde .

Supposons le contraire . Alors pour tout point P de D , on aurait f ( P ) T ^ P . Les deux points P et f ( P ) définissent donc une droite qui

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-coupe le cercle S , bordant D en deux points dont l'un est du côté de P , point que nous appellerons c p ( P ) .

S c D

La fonction cp : D — > S ainsi définie est bien sûr continue . P a r défi-nition de cp , si le point P de- D e s t s î t u é s u r S , on a cp( P ) - P. Cette relation s'écrit de la façon suivante :

soit î : S — > D l'injection de S dans D , S étant inclus dans D ( cette injection est continue ) . La relation c p ( P ) = P pour P Ç S est équiva-lente à cp° i = e application identique de S .

C^

Résumons la situation :

Nous avons deux espaces topologiques S et D et deux applications continues , cp : D —->S et î : S —> D telles que cp° i = e .

Traduisons cette relation à l'aide du foncteur n . On obtient deux homomorphîsmes de groupes tels que :

Il( cp) : ÏI(D) > n ( S ) et n( i ) : H (S) > ïï(D) , n( cp) o H ( ï ) = e n(S) • La relation n ( c p ) ° Il(i) = e , ^ entrafne que l'application n ( i ) est

n \ /

injective . Or ïï( i ) va de ïï( S ) = Z dans n( D ) = 0 . Or î I ne peut y avoir d'injection de ~i dans { 0 } .

D'où une contradiction et le théorème s'en trouve démontré .

Cet exemple montre l'intérêt que peut avoir un foncteur , c'est-à-dire un homomorphîsme au deuxième de-gré . M a i s le processus d'abstrac-tion, peut être continué : on peut considérer des homomorphismes du troisièrrte degré etc. lf . .

Si E, et <£. sont deux catégories fixées , on peut aussi considérer les I 2i .

fonctéurs A : E —-> E0 comme des objets .et si B : E1 >E0 en est un

] JLi I Zj

autre , définir une transformation g de l'un dans l'autre de la façon suivante : A tout objet X de & on associe un homomorphîsme noté g ( X ). : A ( X ) > B C X )' de <&. de s o r t e que si f est un homomorphîsme de (£ : f : X > Y le diagramme suivant soit commutatif :

A ( X ) ^( X ) > B ( X ) .

A ( f ) - B ( f ) ' ( B ( f ) o g ( X ) = g ( Y ) 9 A(f ) v

A ( Y ) V(Y;. ' > B ( Y )

On construit ainsi une nouvelle catégorie , la composée de deux 3 du type précédent étant évidente . Une t e l l e transformation s ' a p p e l l e na-turelle et c ' e s t la formaj isation de cette notion qui e s t a l'origine de la théorie des catégories . Ces transformations , pour abstraites q u ' e l l e s puissent apparaître dans le contexte présent , sont apparues naturellement dans la pratique mathématique des homomorphîsmes ( a u premier degré ) . .

5. Le programme dé la topologie algébrique. .

La connaissance d'un foncteur de la- catégorie dés espaces topologi-ques vers la catégorie des groupes donne don-c des renseignements to-pologiques . Mais pas tous les renseignements . Un foncteur , comme nous l'avons dit, introduit une simplification en. introduisant un ".point de vue " . La connaissance d'un seul foncteur ne suffit donc pas à ré-soudre le programme de la topologie : .

décider si deux espaces .sont isomorphes topologiquement ou non. Letopologue a l g é b r î s t e cherche alors à construire un très grand

nom 9 1 nom

-S bre de foncteurs de la catégorie des espaces topologiques vers l a c a

-tégorie des groupes et il espère , avec l'aide de cet éventail de foncteurs , pouvoir résoudre le problème , c ' e s - t - à - dire recueillir

9

assez de renseignements topo logiques pour pouvoir décider de l ' î s o -morphïsme de deux espaces .

§ 2 - L' USAGE DE MODELES EN SCIENCE .

1 . Rapport avec la théorie des catégories .

En science , physique , humaine , ... , on fait usage de modèles pour représenter une situation r é e l l e , concrète .

On peut schématiser par le diagramme suivant :

E —^—> 03?

& représente la situation concrète à étudier , 2JÎ le modèle employé , JR la représentation , c'est-à-dire la transformation qui fait passer de la situation réelle E au modèle 2R . C'est yt qui exprime le " rapport d'analogie '' .

Nous voulons dire que ER est comme un foncteur .

En énonçant cela , on é t a b l i t une analogie avec une situation mathéma-tique , bien que dans certains cas , cette analogie peut ê t r e très pré-cise et que le diagramme précédent est effectivement un foncteur entre deux catégories .

Dans la pratique scientifique , un des termes de ce diagramme est ( e n principe) toujours bien défini, sans ambiguïté : c ' e s t le terme 3JI, qui peut être un modèle mathématique . Ce qui est moins bien défini en général , c'est le terme de gauche , E , ainsi que ( par la force des choses ) la transformation K .

C'est une des originalités du livre de F. Halbwachs : La pensée phy -sique , d'avoir remplacé la " situation réelle " E par une situation praxéologique .

93

-La question de savoir s'il y a li'eu de reconnaître à la pensée humai-ne uhumai-ne vérité objective n'est pas uhumai-ne question théorique , mais uhumai-ne question pratique . C'est dans la pratique que l'homme prouve la vé-rité , c'est-à-dire , la réalité et la puissance de sa .pensée , dans ce monde-et pour notre temps . La discussion sur la réalité ou l ' i r r é a l i t é d'une pensée^qui s ' i s o l e de la pratique , est purement sco lastique ". Et encore ':

11 Le défaut principal de tout le matérialisme passé ( y compris) celui de Feuerbach , est que l'objet ( Gegenstand ) ., la réalité , la maté-r i a l i t é ,' n'y sont'considématé-rés .que sous .la fomaté-rme de l'objet ( Objekt ) ou de l'intuition ( Anschaung ) ;. mais non comme activité s e n s i b l e , de l'homme , comme praxis , non-subjectivement ... . Feuerbach veut des objets sensibles véritablement distincts des objets de pensée ., mais il ne considère pas l ' a c t i v i t é humaine ellemême comme une activité ob -jective " . • ' ' . ' . ' • ' " . •

Par situation praxéologiquë on entend d'abord situation expérimentale, puis situation de production ( d'un o b j e t ) ' . Dans.chacun de ces cas la situation r é e l l e & consiste;en un mode opératoire définissant de façon m a t é r i e l l e la succession et l'enchaînement des transformations expéri-mentales o u d e production . . . ' ' ' . '

Au lieu de résumer de façon plus ou moins .maladroite les idées de F. Halbwachs , renvoyons à son livre . • •

Dans son livre , F. Halbwachs donne , entre autre , l'exemple de l'op-tique . . Il considère la situation praxéologiquë suivante :' . . ' une suite de milieux. M1 , M0 , ... , M , ... ( a i r , verre ,' milieux

l £ n . ' physiques matériels ) et des dioptres , lentilles etc. .( systèmes phy -siques matériels ) séparant ces milieux et on envoie des faisceaux .lu-mineux , selon un processus bien défini , qui passe de M. à M0, de

M2 à M_ etc ...

Si on considère deux milieux M. et M. , 1 successifs , il y a des fais-i

ceaux qui entrent en M- et sortent dans M. , 1 après avoir traversé le dioptre D. . Le système D. agit comme une transformation qui " fait passer '' un faisceau P de M. à un faisceau P! de M . ,1 . Si on r e m -place le dioptre D. par un autre D! , la transformation sera différente, il se passera autre chose. De même si M et M1 sont deux milieux quel -conques de la suite M , ... , M , ... , non nécessairement contigus , un faisceau P rentrant dans M sort comme P1 dans M1 , _[e système des dioptres intermédiaires faisant passer de M à M1 .

Pour tout couple M et M1 de milieux ( physiques , effectivement placés sur un banc optique par exemple ) , on a donc un ensemble de trans -formations effectives de M dans M1 . Notons : D : M —>M' , la l e t t r e D étant là pour appeler , pour nommer le système matériel ( suite de dioptres sur le banc ) séparant les milieux M et M1 . Si D1 : M1 >Mn est une autre transformation , la composition D ' o D : M >MM a un sens praxéologique physique effectif et nous sommes donc en présence d'une catégorie K de transformations physiques effectives .

En face de cette catégorie £ on peut mettre une catégorie mathéma-tique 93!, c e l l e d'opérateurs linéaires, ou matrices , bien définis et le passage 3} de E à Kl est bien défini dans certains cas bien définis ( ap-proximation de Gauss par exemple ) .

Quand on parle de modèle mathématique , on imagine souvent qu'on considère un ensemble structuré particulier , par exemple un groupe particulier pour représenter une situation . En fait , tel est rarement le cas . Même pour représenter une situation ( et à f o r t i o r i pour re -présenter plusieurs situations de même type ) on emploie un ÏRodèle ( avec grand 331 ) qui consiste en plusieurs modèles ( avec petit m ) ainsi

95

-que les homomorphismes des uns dans les autres , par exemple on uti-lise le ïltodèle formé de la famille de tous les groupes finis avec leurs homomorphïsmes de groupes . En d'autres mots : le ÏRodèle 2R consiste en une catégorie . Ceci s ' i l l u s t r e bien par l'exemple des structures élémentaires de la parenté de 'Lévi-Strauss : l'analyse de la struc-ture de parenté des Murngîn , tribu d'Australie , . ne fait pas seulement appel à un modèle algébrique, mais à plusieurs imbriqués les uns dans

les autres . .

2. Les Structures Elémentaires de la Parenté de Lévi-Strauss. La situation r é e l l e étudiée consiste dans les faits de parenté , de m a -riage , de filiation des sociétés primitives , sociétés supposées divi-sées en classes . L'analyse structurale de Lévi-Strauss , dans son livre : Les structures élémentaires de la parenté, consiste dans l'em-ploi d'un foncteur : ' .

où Ç représente les faits de parenté et 331. les modèles utilisés qu'on trouve clairement définis dans Courrège [ 5 ] , ou dans Chevallard [6]. Par exemple dans Cheval lard nous lisons page 23 :

D é f i n i t i o n 1 . Soit S un ensemble fini non vide . O n appelle struc-ture élémentaire de parenté sur S la donnée d'un tri pi et ( f ,. m , p ) de permutations ( bijections ) de S vérifiant les axiomes :

( D } • p = m ° f - ' • ' . ' • ' ( E x o ) f ( X ) 7 * X pour Y X g S

les fonctions f, m, p. sont appelées respectivement fonctions conjugale, maternelle , paternelle .

D é f i n i t i o n 2 ( page 24 ) . Soit ( S, f, m, p ) une structure é l é -mentaire de parenté . On dit que cette structure est à échange

res.-2

L'interprétation de ces définitions est immédiate : les éléments X de S représentent les classes matrimoniales , la fonction conjugale f pré-cise qu'un homme de la classe X peut épouser une femme de la classe f ( X ) . L'axiome " f ( X ) ^ X M est donc la règle d'exo - garnie .

Les fonctions p et m précisent à quelles classes appartiennent les en-fants . Si le père appartient à X , les enen-fants sont classés dans p (X ), si la mère est dans X , les enfants sont dans m ( X ) .

L'axiome (D) { " D. H pour définition ) exprime la relation nécessaire que doivent vérifier les fonctions f et m et p : si un homme et une fem -me sont mariés , leurs enfants sont communs : p ( X ) et m ( f ( X ) ) doit donner la même classe .

Les définitions 1 et 2 sont purement algébriques. Pour faire compren-dre leur sens, les lignes qui précèdent en donnent une interprétation : cela consiste en fait à remonter la flèche ty > ïft

Ç —§—> ffll

\

interprétation

©

Mais ce qui est premier est la flèche directe : |p > ÏR que Lévi-Strauss construit dans son texte .

On pourrait donc croire que pour étudier une société particulière , il suffit d'étudier une structure , un modèle algébrique ( S, m, p, f ) particulière ; maïs tel n'est pas le cas , comme on le voit en lisant le texte de Lévi-Strauss qui parle de la tribu Karîera ( Australie ) (pp.

182 ... ) , divisée en quatre classes .

Lévi-Strauss écrit , pp. 182-183 : " II suffît d'analyser cette formule pour voir quelle relation unit un système de type Kariera à l'organisa-tion plus simple en moitiés matrilinéaires ... .

97

-Qu 'est-ce-que le système Karîera ajoute à cette division en moitiés matrilinéaires ? Une division différente , perpendiculaire ( c'est nous qui soulignons ) à la précédente , en moitiés patri linéaires " .

Le mot " perpendiculaire " renvoie non à une droite perpendiculaire à une autre , mais plutôt à un système de deux droites perpendiculaires :

Y

. (x, y)

X

en tant qu'axes dé coordonnées , c'est-à-dire en produit direct . Les raisonnements contenus dans les pages 182 et suivantes ne font rien d'autre qu'exprimer le fait que le système Kariera est isomorphe au produit direct de deux structures à deux moitiés exogamiques res-pectivement matrilinéaires et patrî linéaires .

Or nous avons vu ( remarque au § 1 ) , que le produit direct fait inter-venir essentiellement les homomorphismes des structures ( ici algé-briques ) en cause . Le Modèle des structures élémentaires de la pa-renté est donc bien une catégorie de modèles avec leurs homomorphïs — mes .

D'ailleurs , on lit , p. 25 , dans Chevallard :

D é f i n i t i o n 3 . Soient ( S f , m , p ) et ( S2 , f2 , m2 , P2 ) deux structures élémentaires . On dit qu'une application H de S dans S est un homomorphisme de parenté si on a les égalités suivantes :

Ai

H o fi = f2 °H , H o m1 = m2° H , H oP ] = p2 o H . Ce qui signifie en termes moins formels que H passe de S à S et change f en f0 , m en m0 ainsi que p en p .

\ \ \

Ce concept d'homomorphisme apparaît , sous une forme moins formali-sée , dans le texte de Lévi-Strauss lui-même au sujet du système Murngin .

Les tribus Murngïn sont divisées en deux moitiés patri linéaires dont chacune est divisée en quatre classes , soit huit sections en tout , no-tées A1 , B1 , C ] , DI , A2, B2, C2, D2 .

Dans ce système de parenté existent deux règles de mariage ( avec la même règle de filiation ) , l'une appelée de type normal et l'autre de type optionnel , chacune de ses structures étant de type restreint ( définition 2 p . 22 ) c'est-à-dire si un homme de la classe X épouse une femme de la classe Y , alors réciproquement un homme de la clas-se Y doit épouclas-ser une femme de la clasclas-se X ( l'importance que Lévi-Strauss donne aux structures restreintes est due au fait qu'il y voit à l'oeuvre un principe de réciprocité qui serait à la base de la prohibi-tion de l'inceste ) . Mais d'un autre côté existe dans cette société la règle du mariage préférentiel avec la cousine croisée matrî latérale ( f i l l e du frère de la mère ) à l'exclusion du mariage avec la cousine croisée patrilatérale ( f i l l e de la soeur du père ) . .

Or aucune structure restreinte n'arrive à rendre compte de cette par-ticularité : car dans une t e l l e structure la condition de m a r i a b i l ï t é de la cousine croisée matri latérale ( condition " CCM " ) entraîne la m a -r i a b î l i t é avec la cousine'c-roisée pat-rilaté-rale ( condition " CCP )

[ en effet , en raisonnant dans les modèles 'de Courrège , " CCM " s ' é c r i t " f o m = m o f " et CCP s ' é c r i t " f o m = m o f~1 " . Donc si on a

2 — 1

f = 1_ , on a f =f, c'est-à-dire que les deux conditions CCM et

^3

CCP sont équivalentes ] .

Si on suppose que la mariage se f a i t alternativement ( en ligne direc-te et c o l l a t é r a l e ) selon l'une et l'autre des formules , alors on peut voir facilement que CCM est vérifiée et non CCP . Lévi-Strauss ap-pelle cette structure ( alternance de deux règles de mariage dont cha-cune est restreinte ) la structure Murngïn " r é e l l e " . ( *)

( *) N.B. Cette structure " r é e l l e " est bien sûr aussi théorique que toutes les autres : il s ' a g i t toujours d'un modèle de permutations.

99

-La structure élémentaire la plus simple admettant CCM à l'exclusion de CCP ( et ayant deux moitiés patri linéaires ) est une structure à 4 sections P , Q. , R , S où la règle de mariage est donnée par le dia-gramme :

P > Q > R > S > P Cette structure élémentaire est dite généralisée .

Lévi-Strauss tente alors d'établir un lien entre 1 ) l'existence de deux règles de mariage , la structure Murngîn " r é e l l e " , 2) la condition CCM à l'exclusion de CCP et la structure précédente appelée par lui structure Murngin théorique . Cette structure Murngin théorique est considérée par Lévi-Strauss comme sous-jacente au système réel ; e l l e fonctionne à l'insu en quelque sorte des indigènes .

Pour établir ce lien, Lévi-Strauss utilise la notion d'homomorphisme. Voici comment :

Dans le..formalisme utilisé par Lévî - Strauss , les deux structures ( " réelle " et théorique ) sont décrites par les deux diagramm.es sui -vants : .

(opt.) • (nor.) (opt.) (nor.) (opt.) (nor.)

Structure théorique

Explication de ces diagrammes : . •'

Les lettres désignent les classes , les majuscules désignent les hom-mes de cette classe , les minuscules les femhom-mes . l_e symbole P = q signifie le mariage entré un homme de la classe P avec une femme de la classe Q . Le symbole s S lie deux frère et soeur de la classe S . Le symbo le :

A1 =

D,

dit que d , D sont issus du mariage A = b .

£> À 1 1

Une ligne horizontale représente une génération . Une ligne verticale une lignée . Le rond ( j entourant une lettre : ( C J et ( S J donne

la position de " Ego " si on veut .

Lévi-Strauss passe du premier diagramme au deuxième en identifiant les lettres : ( classes )

D

l

101

-C'est justement dans cette identification que Consiste l'homomorphîsme et c'est par cet homomorphisme qu1 on fait apparaître la structure théorique à partir de la structure " réelle " .

Ce n'est pas pour autant que la structure théorique est opératoire au niveau de la structure " réelle " . En fait , du point de vue formel , tel est néanmoins le cas : en dédoublant la structure théorique, c ' e s t -à-dire en faisant le chemin inverse de l'identification précédente , en superposant une dichotomie matrilinéaire à la dichotomie patri linéaire, on obtient la structure " réelle " c o m m e produit direct de la struc-ture théorique et d'une strucstruc-ture à deux moitiés exogamîques matrili-néaires ( voir pp. 216-218 ) .

Du point de vue formel donc , la structure théorique est effectivement imbriquée dans la structure " réelle " . Ce n'est pas pour autant que la structure théorique fonctionne effectivement dans la société r é e l l e . Pour affirmer une t e l l e réalité , Lévi-Strauss doit faire une hypo-thèse en faisant appel à l'histoire ( contact, fusion etc. de deux so-ciétés ) .

Conclusion . Il n'y a pas de différence essentielle entre l'analyse structurale que fait Lévi-Strauss au sujet des faits de parenté .et l'ana-'lyse mathématique t e l l e que la propose A. W e i l à la demande de

Lévi-Strauss ou Courrège dans son a r t i c l e . La différence entre les deux textes ( celui de Lévi-Strauss et celui de Courrège ) est analogue à la différence qui existe, pour la résolution d'un " problème de robinets", entre la méthode de la " fausse position " et la méthode algébrique 11 ax + b = 0 " .

Ces deux analyses , qui en fait n'en sont qu'une , se font dans un Mo-dèle , une catégorie , formé de moMo-dèles algébriques simples ainsi que des homomorphismes qui y sont associés .

Ainsi pourrait.s'expliquer la phrase de LéviStrauss dans " Anthro -pologie Structurale page 306 :

En second lieu , tout modèle appartient à un groupe de transformations dont chacun correspond à un mo-dèle de même famille , si bien que l'ensemble de ces transformations constitue un groupe de modèles "

Le " groupe de modèles " dont parle Lévi-Strauss correspond à la catégorie 33} formée des modèles ( S, f, m, p ) avec leurs homomor -phismes , transformations de l'un dans l'autre .

L'intérêt d'utiliser un texte comme celui de Courrège pourrait être de dégager nettement ce qui est mathématique ( raisonnement formel à l'in-térieur de 331 ) et ce qui est ethnologique c'est-à-dire ce qui a trait au

ÎP

foncteur tp ———> ïïl .

D'un autre côté , le pédantisme que dégage un texte tel que celui de Courrège , est-ii supportable ?

La réponse est liée à c e l l e qu'on apporte à la valeur d'un foncteur ER : £ > 331 .

3. La valeur d'un foncteur SR : & > 331 . Conclusion .

Il ne faut jamais perdre de vue que la construction d'un foncteur yn

E > 331 n'est pas une description de la r é a l i t é E . Ceci est vrai en physique , comme le dît F. Halbwachs dans son livre , où i l ' i n s i s t e sur le rôle non descriptif joué par la représentation d'une situation à

l'aide de modèles . Une position contraire est extrêmement naïve. Ce qui est vrai en physique l'est aussi pour toute autre science En sciences humaines on semble parfois l'oublier et le terrorisme

103

-dégagé par des textes comme ceux de Lévi-Strauss est dû entre autre à cet oubli .

TO

Si en physique la valeur d'un foncteur E ———> 331 est mesurée par réfé-rence à la pratique : " qu'est-ce qu'il me permet de faire ? " , la si-tuation en sciences humaines est de ce point de vue beaucoup moins claire et le problème de la valeur d'une théorie n'en es.t que plus obs-cure .

»

Néanmoins, l'existence d'un foncteur E —-—> 231 , pourvu qu'il soit bien construit , que les faits ne soient pas agencés exprès pour rentrer dans le cadre , est porteur d'information . Le fait que la situation r é e l l e £ se " laisse faire " par un foncteur 9* n'est pas neutre et cela donne des renseignements . Et i I n'est pas étonnant que Lévi-Strauss puisse écrire ( Anthropologie Structurale II p. 95 ) :

" II n'est que plus encourageant de constater que dés données ethno -graphiques viennent indépendamment corroborer une inférence obtenue par le raisonnement " .

Mais oublier qu'un foncteur est souvent " oublieux " , ne retient que certains aspects , c'est faire une erreur méthodologique . Pourtant la pauvreté des modèles utilisés en sciences humaines est là pour nous

le rappeler .

Rechercher un modèle unique , le meilleur , est encore une erreur méthodologique .

Les méthodes employées en topologïe algébrique nous montrent le che-min : la bonne méthodologie consiste à multiplier les foncteurs 3t : (£ > 331 pour étudier une réalité £ , à construire tout un faisceau de foncteurs . C'est la conjonction de tous ces foncteurs qui pourrait permettre de comprendre , c'est-à-dire d'épuiser la r é a l i t é E .

De même que pour appréhender un objet , une photo ne suffit pas ; il. faut tourner autour de l'objet et le photographier depuis .plusieurs points de vue . Et encore , le mode opératoire ne nous fait connaître que la surface de l'objet . D'autres modes opératoires sont à inventer pour dégager toute la nature de l'objet .

La multiplicité de foncteurs à construire est à priori très grande . On peut dire même qu'il faut une multiplicité de types de foncteurs ; c'est-à-dire de foncteurs qui font partie de classes absolument pas comparables . .

Dans ce sens , on peut dire qu'il faut développer des foncteurs même contraires . ' .

On rejoint ainsi , en partant d'une analogie formel le , les idées ex-primées par P. Feyerabend dans son livre " Contre la méthode , esquisse- d'une théorie anarchiste de la connaissance " , où on peut

lire :

11 Le seul principe qui n'entrave pas le progrés ( scientifique ) est : tout est bon " .

11 Nous pouvons nous servir d'hypothèses qui contredisent des théories confirmées . Nous pouvons faire avancer la science en procédant par contre-induction " .

" Des hypothèses qui contredisent des théories bien confirmées nous fournissent des indications qu'on ne peut obtenir d'aucune autre façon. La prolifération des. idées est bénéfique à la science tandis que l'uni-formité affaiblit son pouvoir critique " .

" II n'y a pas d'idée si ancienne et absurde fût-elle qui ne soit capable de faire progresser notre connaissance " .

105

-Si l'histoire a retenu , dans l'évolution de la science physique , Une série de modèles emboîtés les uns dans les autres , un modèle donné expliquant , comprenant , les modèles antérieurs ( Halbwachs ) , il faut souhaiter l'a construction • de tout un tas de séries disjointes . 1 1 y a de quoi faire pour l'imagination des générations à venir .

Jean M e r k e r Janvier 1 9 8 3

Bibliographie :

[1 ] Hilton : Le langage des catégories , Ed. Fernand Nathan, Cedîç Très bon livre d'initiation sur le concept de; base . Discussion d'une introduction de la topologîe dans le secondaire .

Etude du foncteur de Poincaré . Niveau terminale .

[2] Gramaîn : La topologie des surfaces : PUF Collection SUP . Un livre bien fait sur la topologie algébrique ( en fait la topolo -gie différentielle ) on y trouve au début l'étude du foncteur .de Poincaré ( niveau 1 année Fac ) .

[3] Bourbaki : Structures . Livre I , Ch IV , Hermann .

Lisible . Définition précise du concept de structure ( algé -brique , topo logique etc. ) . ( Niveau ? )

[4] Lévi-Strauss : Les structures élémentaires de la parenté . 2 édition . Mouton .

[5] Anthropologie et Calcul :

Courrège : Les formalismes dans les études de parenté .

[6] Cheval lard : Deux études mathématiques sur la parenté. Cedic. [7] Don Sperber : Le structuralisme en anthropologie.

Ed. Seuil .

[8] F. Halbwachs : La pensée physique . Collection Zeithos -Delachaux - Nestlé . » [9] Feyerabend : Contre la .méthode » Ed. Seuil . A lire !