Généralisation de résultats sur les idéaux de Galois

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Annick Valibouze

To cite this version:

Annick Valibouze. Généralisation de résultats sur les idéaux de Galois. [Rapport de recherche]

lip6.2003.006, LIP6. 2003. �hal-02545655�

ANNICK VALIBOUZE

Resume

Cetarticleapour but degeneraliserdesproprietessur lesideaux de Galoispour lecalcul eÆcace de corps de decomposition.

Abstract

The goal of this paper is to generalize some properties about Galois ideals in order to compute eÆciently splittingelds.

1. Introduction

La construction du corps de decomposition K d'un polyn^ome f d'une variable sur un corpsparfaitkserealisedans[21]avecdesideauxdek[x

1 ;x

2 ;:::;x

n

],ditideauxdeGalois (avec x

1

;:::;x n

desvariablesalgebriquementindependantes). L'algorithmeGaloisIdeal quiy est propose construit une cha^neascendante de tels ideaux :

I 1 I 2 


I l =M (1) oul'idealI 1

est pardefautl'idealdesrelationssymetriquesquicontienttouslesideaux de Galois du polyn^ome f, et M est un ideal maximal telque le corps K soit isomorphe  al'anneau quotient k[x 1 ;x 2 ;:::;x n ]=M. Pour chaque ideal I

j

de la cha^ne (1), il s'agit de calculer un ensemble triangulaire T j l'engendrant et un stabilisateur L

j

, une partie de S n

, le groupe symetrique de degre n. L'ideal des relationssymetriques est engendre par les modules de Cauchy et possede S

n commestabilisateur ;l'idealmaximal Ma commestabilisateur un groupeisomorphe au groupede Galois de K sur k.

L'algorithmeGaloisIdealimposequechaquestabilisateurL j

soitungroupe. Or, dans [18] sont construits eÆcacement des ideaux de Galois dont les stabilisateurs ne sont pas des groupes (voiraussi Paragraphe 10). Pour calculerl'idealMa partirde tout idealde Galois, nous devons generaliser l'algorithme GaloisIdeal. C'est ce que vont permettre lesresultatsde cet article.

Cet article se decompose ainsi : le paragraphe 2 denit les ideaux de Galois, leurs stabilisateurs,le groupe de Galois etrappelledes resultats de [21] qui seront utiles pour

Date:9Mai2003.

AMS SubjectClassication 2OOO:12F1012Y0511Y40.

lasuitede l'article;leparagraphe 3est un rappelsur lesideaux triangulairesetcontient untheoremequidonneuneconditionsuÆsantepour qu'unidealtriangulairesoitun ideal de Galois ; le paragraphe 4 explique quels sont les resultats a obtenir pour generaliser l'algorithme GaloisIdeal ; les paragraphes suivant vont fournir les resultats theoriques permettantcettegeneralisation;leparagraphe5xedesnotationsethypothesesgenerales pour lasuitede l'article; leparagraphe6comporteun theoreme sur ladecompositionde lavarieted'un idealde Galois etde sonstabilisateur ;leparagraphe7 est dedieaucalcul desresolvantes ;leparagraphe8generaliselesmatricesdes groupesetdes partitions(voir [5] et [20]) ; le paragraphe 9 contient les theoremes permettant de calculer un ideal de Galois contenant un ideal de Galois donne (i.e. il sera aussi possible de calculer I

j  a partirde I j 1 lorsque lestabilisateurL j 1

n'est pas un groupe); auparagraphe10, nous traiterons un exemple illustrantles resultatsde cet article. Cet exemple vient completer l'exemple du polyn^ome f

12

qui nous suivra tout au long de l'article pour en illustrer les resultats (voirExemple 1.1). Nous aboutironsainsi au calcul d'un ensemble triangulaire engendrant un idealmaximal, note M

12

,associe aupolyn^ome f 12

.

Exemple 1.1. Pour tout cet article, nous xons lepolyn^ome f 12 (x)=x 8 +9x 6 +23x 4 + 14x 2

+1 irreductible sur Q et calcule par Mattman, McKay et Smith (communication privee). L'ideal des relations symetriques engendre par les 8 modules de Cauchy du polyn^ome f 12 , de degres respectifs 8 en x 1 , 7 en x 2 ,..., 1 en x 8

, est par defaut le point de depart de l'algorithme GaloisIdeal. Or, avec les resultats de [18], a partir de la fac-torisationde f

12

dansQ( 1

),nous construisonsrapidementl'idealde Galois J 12

engendre par T

12

, l'ensemble triangulaireseparable suivant :

T 12 = f x 8 1 +9x 6 1 +23x 4 1 +14x 2 1 +1; x 2 +x 1 ; x 3 3 +(x 7 1 +8x 5 1 +16x 3 1 +3x 1 )x 2 3 +(x 6 1 +9x 4 1 +21x 2 1 +6)x 3 +x 7 1 +9x 5 1 +23x 3 1 +14x 1 ; x 2 4 +(x 7 1 +8x 5 1 +16x 3 1 +3x 1 )(x 4 +x 3 )+x 3 x 4 +x 2 3 +x 6 1 +9x 4 1 +21x 2 1 +6; x 5 +x 4 +x 3 +x 7 1 +8x 5 1 +16x 3 1 +3x 1 ; x 6 +x 3 ; x 7 +x 4 ; x 8 +x 5 g :

Simultanementau calcul de J 12

, nous savons : - que le groupe G

12

d'ordre 24 et engendre dans S 12

par les permutations (1;3;2;6)(4;5;7;8) et (1;3;7)(2;6;4) est, a un isomorphisme pres, le groupe de Galois du corps de decomposition du polyn^ome f

12 sur Q, - et qu'un stabilisateur de J 12 est la partie L 12 de S 12

qui s'exprime comme une union (disjointe) de deux classes a droite du groupe G

12 :

Remarquonsqu'ilest impossiblede considerern'importequelconjuguedu groupe de Ga-loisde f

12

pour etudier l'ideal J 12

et en deduire un ideal maximal qui le contient. Pour calculer(uniquement)legroupede Galois,R.P.Stauduharenconsidereun conjugue quel-conque et reordonne les racines approximees numeriquement an qu'elles correspondent 

a ce conjugue (voir [19]). Ici, le conjugue ne peut ^etre quelconque et nous precisons au fur eta mesure les contraintes sur l'ordre des racines de f

12

sans jamaisles calculer. Au depart, la contrainte est que le 8-uplet  de ses racines appartienne a la k-variete aÆne de l'idealJ

12 .

L'ideal J 12

est l'intersection de deux ideaux maximaux dont l'un, M 12

, possede le groupe G

12

comme stabilisateur et l'autre le groupe (3;4)(6;7)G 12

(3;4)(6;7). Nous cherchons a calculer l'ideal M

12

. Il est eventuellement possible de le calculer par une methode classique : la decomposition de J

12

en ideaux premiers. Mais cette methode generale est bien plus co^uteuse qu'un algorithme adapte aux ideaux de Galois comme GaloisIdeal. Notons g

i

, le i-ieme polyn^ome de T 12

. Il est egalement possible de fac-toriser le polyn^ome g

4 de degre 2 en x 4 dans le corps Q( 1 ; 3 ) isomorphe a l'anneau quotient Q[x 1 ;x 3 ]= <g 1 (x 1 );g 3 (x 1 ;x 3

) > qui est de degre 24 sur Q (voir [3]). Cette fac-torisation est egalement moins eÆcace que ce que nous proposons. Elle le sera encore moinspour de nombreux autres exemples (voir [18]).

Or, avec les connaissances actuelles, l'ideal J 12

est inutilisable pour l'algorithme GaloisIdeal puisque son stabilisateur L

12

n'est pas un groupe. L'ideal des relations symetriques,argumentpossibledel'algorithmeGaloisIdeal, estquantaluil'intersection de 1680=8!/card(G

12

) ideaux maximaux. La generalisation de GaloisIdeal aux ideaux de Galois qui comme J

12

ont des stabilisateurs qui ne sont pas des groupes induira donc un gain tresimportantpour le calcul de corps de decomposition(i.e. de l'idealM).

2. Rappels

Cette partie reprend les resultatsde [21] quenous ne redemontrons donc pas.

Nous nous donnons un polyn^ome f d'une variable sur k et de racines supposees dis-tinctes=( 1 ; 2 ;:::; n

)dansunecl^oturealgebrique ^ kdek. Lecorpsdedecomposition K de f est donc k( 1 ; 2 ;:::; n ).

Nous notons Ml'idealdes  -relations deni par :

M=fR 2k[x 1 ;:::;x n ]jR ( 1 ;:::; n )=0g :

Cet ideal est maximal puisqu'il est lenoyau du morphisme surjectifd'evaluationqui a P dans k[x 1 ;x 2 ;:::;x n ] associe P( 1 ; 2 ;:::; n ) dans k( 1 ; 2 ;:::; n ).

Le groupe de Galois de  sur k, noteGal k

() est deni par :

Gal k

()=f2S n

Pour unepartie H du groupesymetrique S n

(nonnecessairement un groupe), l'(; H)-ideal de Galois(sur k), note I

H 

, est deni par :

I H  =fR2k[x 1 ;:::;x n ] j (8 2H) R ( (1) ;:::; (n) )=0g :

Un tel idealest appele un ideal de Galois de f (sur k). L'ideal I

Sn 

est appele l'ideal des relations symetriques (entre lesracines du polyn^ome f). L'idealdes -relationsMest l'idealI

I n 

ouI n

est lesous-groupeidentitede S n

. Nous simplionscette notation en posant I

 =I

In 

.

Fixons un ideal de Galois J de f et choisissons le n-uplet  de racines de f de telle sorte qu'ilappartienne aV(J)=f 2

^ k n

j(8R2J)R ()=0g, lak-variete aÆnede J.

Le stabilisateur de J relatif a  , note Stab(J; ), est deni par :

Stab(J; )=f2S n j (8R 2J) R ( (1) ;:::; (n) )=0g :

Ce stabilisateurestl'uniondespartiesH deS n

tellesqueJ soitl'(;H)-idealde Galois (i.e. J =I

H 

). L'idealJ est aussi appele l'-idealde Galois de stabilisateur Stab(J; ).

L'exemple de l'ideal J 12

de l'introduction montre qu'un stabilisateur n'est pas necessairement un groupe. Une condition necessaire et suÆsante pour que Stab(J;) soitun groupeest qu'ilexisteun sous-groupeH de S

n

telqueJ =I H 

etqueH contienne le groupe de Galois Gal

k

(). Dans ce cas, l'ideal J ne possede qu'un stabilisateur, le groupeH, que nous appelons lestabilisateur de l'idealJ et quenous notons Stab(J).

Remarque 1. Le stabilisateur de l'ideal des relations symetriques est le groupe symetriqueS

n

etceluidel'idealdes-relations,M=I 

,estlegroupedeGaloisGal k

(). Enparticulier, nous avons :

I  =I Gal k ()  :

Nous avons les identites suivantes :

V(J) = f( (1) ;:::; (n) )2 ^ k n j2Stab(J;)g et (2) Stab(J;) = Gal k ( )H =fgh j g 2Gal k ( ); h2Hg (3)

pourtoutepartieHde S n

tellequeJ soitl'(;H)-idealdeGaloisetdoncen particulier pour H =Stab(J; ). Nous constatons que Gal

k

( ) Stab(J;).

Si I est un ideal de Galois de f (sur k)contenant J ettelque 2V(I) alors :

Stab(I;)Stab(J; ) : (4)

I [ H2G H  = \ H2G I H  : (5) 3. Id eaux triangulaires

Rappelons ci-dessous la denitiond'un ensemble triangulaireseparable :

Un sous-ensemble T de n polyn^omes de k[x 1

;:::;x n

] est dit triangulaire si T = ff 1 (x 1 );f 2 (x 1 ;x 2 );:::;f n (x 1 ;:::;x n

)g ou chaque polyn^ome f i

est unitaire en tant que polyn^ome en x

i

avec deg(f i

;x i

)>0. Cet ensembletriangulaire est ditseparable sichaque polyn^ome f

i

de T veriela condition suivante:

8( 1 ;:::; n ) 2 ^ k n tel que 8j 2 [[1;n]], f j ( 1 ;:::; j

) = 0, le polyn^ome d'une variable f i ( 1 ;:::; i 1

;x) n'a pas de racine multiple dans ^ k[x]. La liste(deg(f 1 ;x 1 ), deg(f 2 ;x 2 ),..., deg(f n ;x n

))est appelee la listedes degres initiaux de l'ensembleT (ou de l'idealqu'il engendre).

Un idealest dittriangulaire s'ilest engendre par un ensembletriangulaire separable.

Lorsque le stabilisateur d'un ideal de Galois est un groupe alors la liste de ses degres initiauxest calculable apartir de ce groupe (voir[8]).

Exemple 3.1. L'ideal de Galois J 12

est triangulaire engendre par les polyn^omes de T 12

. La liste de ses degres initiaux est (8;1;3;2;1;1;1;1). L'ideal maximal M

12

possede le groupe de Galois G

12

comme stabilisateur. Le calcul montre que la liste de ses degres initiauxest(8;1;3;1;1;1;1;1). Notonsg

i (x

1 ;:::;x

i

)lei-emepolyn^omedel'ensembleT 12 . Alorsg 1 ;g 2 ;g 3 etg 5 ;g 6 ;g 7 ;g 8

appartiennentaun ensembletriangulaireengendrantl'ideal M 12 (car J 12  M 12

). Pour conna^tre un ensemble triangulaire l'engendrant, il reste a trouver un polyn^ome de la forme x

4 +h(x 1 ;x 3 ) (avec h 2 Q[x 1 ;x 3 ]) qui appartienne a M 12 .

Nous avons le theoreme suivant qui nous donne une condition suÆsante pour qu'un idealtriangulaire soitde Galois :

Theoreme 3.2. Soit I un idealtriangulaire sur k[x 1

;:::;x n

]tel que sa variete V(I)soit incluse dans la variete V(I

Sn  ) = f( (1) ;:::; (n) ) j  2 S n

g. Alors I est un ideal de Galoisde f.

Demonstration. Par hypothese, V(I) =f( (1)

;:::; (n)

) j  2 Hg ou H est une partie S

n

. Comme l'idealI est engendre par un ensemble triangulaire separable, il est radical. DoncI est l'idealde V(I),c'est-a-dire que :

I =fR2k[x 1 ;:::;x n ] j (8 2H) R ( (1) ;:::; (n) )=0g=I H 

4. L'algorithme

GaloisId

eal et sa gen

eralisation

Supposons queI soitun idealde Galoisde f engendre par un ensemble triangulaireT etayant S comme stabilisateur relatifa 2V(I).

L'algorithme GaloisIdeal calcule un ideal de Galois I 0

contenant strictement I (i.e. un stabilisateur de I

0

et un ensemble triangulaire l'engendrant) et recommence avec cet ideal I

0

. L'algorithme se termine sur l'ideal maximal M (nous verrons plus loin le test d'arr^et).

Lapremiereetapeconsisteachoisirun sous-groupeH de S n

inclus dansS etacalculer un polyn^ome d'une variableappele H-resolvanteS-relative de  (voirParagraphe 7).

Pour calculerune telle resolvante, il faut appliquerl'algorithme de [8] qui, a partir de l'ensembletriangulaireT, calculeune puissance de cette resolvante queS soitounon un groupe. Si S est un groupe, le degre de la resolvante etant connu (c'est l'indice de H dansS),laresolvantel'estaussi (celaasonimportancecarseuls ses facteurssimplessont exploitables). Nousallons montrercomment calculerledegrede la resolvantedans lecas ouS n'est pas un groupe(voirParagraphe 7).

Une fois un facteur simple de cette resolvante obtenu, GaloisIdeal applique le theoreme3.27de[21]pourendeduiredesgenerateursdel'idealI

0 =I

H 

. Maiscetheoreme n'est applicable que dans le cas ou S et Stab(I

0

; ) sont des groupes. Au paragraphe 9, nous generaliserons ce theoreme sans condition sur les stabilisateursdes ideaux I etI

0 .

Dans l'algorithme GaloisIdeal un des parametres est une liste de groupes, dite liste decandidats,pouvant^etre legroupede Galoisde sur k. Avec uneresolvanteS-relative, enutilisantlamatricedesgroupesrelativeaS oucelledes partitions(voirParagraphe8), ilest possible d'excluredes groupesde cette listede candidats. Lecalculde la cha^ne(1) d'ideauxde Galoisaboutissantal'idealmaximalMs'entrouvegrandementsimplie. En particulier,legroupeHestchoisiparmicesgroupesetl'algorithmeseterminelorsquequ'il n'existe plus qu'un seul groupe dans cette liste (a conjugaison pres dans S). Seulement lesmatricesdes groupes etdes partitions ne sont denies et utilisablesquelorsque S est un groupe. LeParagraphe 8les generalisera aucas ou S est quelconque.

Ainsi, avec les resultats de cet article, nous pourrons appliquer l'algorithme GaloisIdeal a tous ideaux de Galois.

5. Notations et

Hypoth eses

gen erales

Pour toute lasuite, nousxons J un idealde Galoisde f. Nousconsiderons 2V(J) etnous posons L =Stab(J; ). L'inter^et de tout ce qui va suivre est de ne pas supposer queL est un groupe.

Nous posons G=Gal k

(),le groupe de Galois de  sur k,et nous notonsM le groupe engendrepar L dans S

n

. Comme legroupe M contientG, ilest lestabilisateur de l'ideal I

M 

G=Stab(M)  L=Stab(J;) M =Stab(I M  ;) et (6) I M   J  I H   M=I  : (7)

Exemple 5.1. Nous savons que L 12

(de cardinal 48) est le stabilisateur de l'ideal J 12 relatifa un certain dansV(J

12

). Legroupeengendre parL 12 est le groupeM 12 d'ordre 192 etengendre dans S 8

par les permutations(1,5)(2, 8)(3, 4)(6, 7), (1,4)(2, 7)(3, 5)(6, 8),(1,6)(2, 3)(4, 8)(5, 7),(1, 3,4)(2, 6, 7)et (1,2)(3, 4,6, 7). 6. D ecomposition de l'id eal J et de sa variet e Pour  2 S n et R 2 k[x 1 ;x 2 ;:::;x n ], posons : = ( (1) ;:::; (n) ) et :R = R (x (1) ;:::;x (n) ). Lemme 6.1. Soit  2S n

. Nous avons les trois identites suivantes :

Gal k (: ) = 1 G ; I : =I G  et V(I : )=f: j  2Gg : L'ideal I :

etant maximal, la variete V(I :

) est irreductible.

Demonstration. Soit  =  1 g 2  1 G, avec g 2 G et R 2 I : ; pour montrer que  2Gal k

(: ), il suÆt de montrer que :R ( (1)

;:::; (n)

) = 0. Nous savons par hypothese sur R que :R (

1 ;:::; n ) = R ( (1) ;:::; (n) ) = 0. Comme g appartient au groupe de Galois de  , nous avons, par denition, g:R (

1 ;:::; n ) = 0 et donc  1 g:R ( (1) ;:::; (n) ) = 0. Ainsi  1 G  Gal k

: . Par symetrie, en posant  = (

(1)

;:::; (n)

), nous obtenons l'inclusion reciproque ; d'ou l'egalite. Pour les varietes, comme:R ( (1) ;:::; (n) )=:R ( 1 ;:::; n ),et puisque Gal k (: ) est le stabilisateur de I 

, nous avons, d'apresl'identite(2), :

V(I : ) = f: j  2Gal k (: )g = f: j  2 1 Gg :

D'oule resultat. L'identite sur l'idealI :

decoule de celle sur V(I :

). 

Theoreme 6.2. La k-variete aÆne V(J) de l'ideal de Galois J est l'union disjointe de s=Card(L)/Card(G) k-varietes aÆne irreductibles

V(I  i : )=f( (1) ;:::; (n) )j 2G i g i2[[1;s]]:

Pouri2[[1;s]], l'idealdelavarieteV(I 

i :

)est l'idealI 

i :

des  i

:-relations ayantpour stabilisateur le groupe de Galois Gal

k ( i : )= 1 G i

J = s \ i=1 I i: et Stab(J;)=G 1 +G 2 +


+G s :

Demonstration. Soient les e = [S n : G] permutations  1 = id;:::; e telles que S n soit l'uniondisjointe: S n =G 1 +G 2 +


+G e

. Lavarietedel'idealdesrelationssymetriques est donnee par (voir (2)) :

V =f( (1) ;:::; (n) )j 2S n g

qui,d'apreslelemme6.1,sedecompose ene k-varietesaÆnesirreductiblesdisjointes (car les

j

sont distincts deux a deux)

V i =f( (1) ;:::; (n) )j 2G i g i2[[1;e]]:

Comme V contient V(J) (car I S

n 

 J), en choisissant correctement l'ordre des  i

, nous obtenonsqu'ilexiste se telqueV(J)=V

1 [V

2

[


[V s

. Commelesideaux de Galois sont radicaux,en appliquantlelemme6.1 etl'identite(5), nous obtenons leresultat. 

Exemple 6.3. Toujours en poursuivant notre exemple. Considerons  un 8-uplet des racines du polyn^ome f

12

tel que l'ideal I 

des  -relations ait le groupe G 12

=Gal Q

() commestabilisateur. Puisque L

12 =Stab(J;)=G 12 +G 12 (3;4)(5;6),nous obtenons : J 12 =I  \I (3;4)(6;7): : 7. R 

esolvantes L-relatives

Soit  un polyn^ome de k[x 1

;:::;x n

]. Rappelons quela resolvante L-relative de  par est le polyn^ome :

R ;J = Y 2f:j2Lg (x ( 1 ;:::; n )) :

Lorsque  est xe, pour simplier,nous noterons parfois cette resolvante R ;L

. Le polyn^ome caracteristique C

;J

de l'endomorphisme multiplicatifinduit par  dans l'anneauquotientk[x

1 ;:::;x

n

]=J estunepuissancedecetteresolvante. NousavonsR ;J

2 k[x] puisque lecorps k est parfait.

SoitHunsous-groupedeM etinclusdansL. SupposonsquesoitunH-invariant M-primitif ;c'est-a-dire que H =f 2M j :=g. La resolvante R

;L

est appelee une H-resolvante L-relative. Si L est un groupe, alors le degre des H-resolvantes L-relatives est l'indice de H dans L. Le Theoreme suivant, nous donne le degre des H-resolvantes

Theoreme 7.1. Soient  1 H; 2 H;:::; e H (avec  1

= id) les classes a gauche de H dans M numerotee de telle sorte que (

j H) T L 6= ; pour j = 1;:::;r avec r  e et ( j H) T

L=; pour j =r+1;:::;e. Nous avons l'union disjointe :

L=( 1 H)\L+


+( r H)\L : (8) La H-resolvanteL-relative R ;L

est de degre r et est donnee par

R ;L = r Y j=1 (x (  j (1) ;:::;  j (n) )) :

(Cette resolvante est un facteur de la resolvanteR ;M avec ( 1 ;:::; n ) comme racine commune.)

Demonstration. Les racines de la resolvante R ;L

sont, d'apres (8), les  i

h: tels que i 2 [[1;r]] et h 2 H. Cherchons les racines distinctes de cette resolvante. Soit ; 2 S

n tels que  2H. Puisque  est invariant par les permutations de H, nous avons := :(h:) =:. Soient i;j 2 [[1;r]] tels que 

i

:=  j

:. Nous avons donc  1 j

 i

:=. CommeM estungroupe,

1 j  i 2M etdonc 1 j  i

2HpuisqueestunH-invariantM -primitif. Comme

i 2

j

H,nous avons i=j. Doncles racinesdistinctes de la resolvante R

;L

sont les  i

:avec i2[[1;r]]. 

L'invariant est dit(L; )-separablesi pour tout 2L si:6= alors

( (1) ; (2) ;::: (n) )6=( 1 ; 2 ;:::; n ) :

Soithlefacteurk-irreductibledanslaresolvanteR ;L dont( 1 ; 2 ;:::; n )estracine. Le polyn^ome h est un facteur simple de la resolvante si et seulement si  est (L; )-separable. Remarque 2. Posons  =( 1 ; 2 ;:::; n

). Si  est (L; )-separable alors  est racine simple de la resolvante R

;L

. Inversement, supposons que la resolvanteR ;L

possede un facteurhsimpleetirreductiblesurk. Enconsiderant2V(J)telquesoituneracinede ce facteur, l'invariant  est alors (L;)-separable. Nousverrons par lasuite lanecessite que soit(L;)-separable.

Exemple 7.2. Prenons legroupeH =G 12 d'indicee=8 dans M 12 . Calculons un G 12 -invariantM 12

-primitiftel que laresolvante associee ait aumoins un facteur simple. Le module PrimitiveInvariant ecrit en GAP (voir [1] et [2]) calcule le polyn^omeP =x 6 x 7 x 8 +x 3 x 4 x 5 +x 2 x 5 x 7 +x 2 x 4 x 6 +x 2 x 3 x 8 +x 1 x 5 x 6 +x 1 x 4 x 8 +x 1 x 3 x 7 qui est un G 12 -invariant M 12

-primitif mais qui se reduit a zero modulo l'ideal J 12 . Puisque P 2J 12 ,laresolvanteR P;L 12 =x 5

. Nousappliquonsdonclamethode de[12] pourobtenir uninvariant(L

12

;)-separable: soit(x)=x 2

+x;alorslepolyn^omeP((x1);:::;(x 8

)) est aussi un G -invariantM -primitif. Sa reduction modulo J fournit lepolyn^ome :

 12 = 3x 1 x 2 3 x 4 +2x 6 1 x 3 x 4 +14x 4 1 x 3 x 4 +22x 2 1 x 3 x 4 +2x 3 x 4 x 7 1 x 4 9x 5 1 x 4 21x 3 1 x 4 6x 1 x 4 +x 6 1 x 2 3 +7x 4 1 x 2 3 +11x 2 1 x 2 3 +x 2 3 x 7 1 x 3 9x 5 1 x 3 20x 3 1 x 3 +3x 1 x 3 2x 6 1 15x 4 1 27x 2 1 11 :

Nouscalculons ensuiteledegrede laresolvante. Cinqdes huits classesagaucheH de H dans M verient H\L6=; ; donc laresolvanteR

12;L12

est de degrer =5. Elleest donnee par : R 12;L12 = Y 2F (x ( (1) ;:::; (n) )) ou F =f 1 =id;(4;5)(7;8);(1;6;2;3)(5;8);(1;7;8;3)(2;4;5;6);(1;8;4;3)(2;5;7;6)g.

Pourterminer, calculons cetteresolvanteen executant pas-a-pasl'algorithmede [8]qui en calcule une puissance. C'est le systeme de calcul formel MAXIMA qui aete utilisepour ces calculs (voir [17]). Soit p

1 le resultant en x 4 de x  12 et du polyn^ome g 4 reduit modulol'idealJ

12 . La factorisationde g 1 sur Q[x 1 ;x 3 ;x] donne: p 1 =(x+6)p 2 ou p 2 =x 6 1 +6x 4 1 +8x 2 1 +x+10 : Leresultant enx 1

despolyn^omesp 2

etg 1

est lepolyn^omeQ-irreductiblep 3 =x 4 +28x 3 + 239x 2 +487x 1093. Le polyn^ome (x+6)p 3

est la formesans facteurcarre du polyn^ome caracteristique C

 12

;J 12

et son degre est identiquea celui de la resolvante. Donc

R  12 ;L 12 =(x+6)(x 4 +28x 3 +239x 2 +487x 1093) :

8. Matrices des groupes et des partitions

Nous considerons un H-invariantM-primitif. La resolvanteR ;M

de degree =[M : H].

Nous notons C lesclasses a gauche de H dans M.

Nous prenons comme convention que le groupe de Galois d'un polyn^ome de degre m sur k est celui de son corps de decomposition sur k qui,par isomorphisme,appartientau groupesymetrique S

m . Pour  2S n , posons   =( (1) ; (2) ;:::; (n) ).

8.1. Matrices des groupes et des partitions relatives a M (rappels).

Ce paragraphe reprend des resultats des articles[5] et[20] etprecise les liens entre les facteurs des resolvantes M-relatives et l'action du groupe de Galois G sur les classes de C.

Uniquement a partir des groupes G;M et H, nous savons calculer une partition P M (G;H) = (i 1 ;:::;i s

) de e et une liste de groupes Gr M (G;H) = (G 1 ;:::;G s ) (ou G j  S ij

pour j 2 [[1;s]]) telles que la resolvante R ;M

ait exactement s facteurs k-irreductibles dont les degres et les groupes de Galois sur k respectifs soient i 1 ;:::;i s etG 1 ;:::;G s . LeslistesP M (G;H)etGr M

(G;H)nedependentquedesclassesde conjugaisondeGet H dans le groupeM. Supposons ques lesclasses de conjugaisons dans M soient indicees par 1;2;:::;m, quela i-ieme soitcelle du groupeG et quela j-ieme soitcelle du groupe H. La matrice des partitions (resp. des groupes) relative a M est la matrice mm ou P

M

(G;H)(resp. Gr M

(G;H))est a l'intersection de la ligne i etde lacolonne j.

Les lignes de la matrice des partitions etant distinctes deux a deux, il est toujours possible de calculer le groupe de Galois d'un polyn^ome avec des resolvantes sans racine double. Ces matricessont utilisees par l'algorithme GaloisIdeal an de reduire laliste des groupes candidats.

Soit O = fg 1 H;g 2 H;:::;g d

Hg une G-orbite par action a gauche dans C. Alors la resolvante R

;M

possede un facteur h sur k de degre d=card(O)et qui s'ecrit :

h(x)= d Y i=1 (x  g i ) : ; (9)

Pour simplier, nous pouvons supposer que  est racine de h. Nous pouvons alors choisir g

1

= id et g i

2 G pour i2 [[1;d]]. Si le polyn^ome h est sans racine multiple alors f

j  2 Gg = f gi

j i 2 [[1;d]]g. Par la theorie de Galois classique, le polyn^ome h est donc k-irreductible ; c'est lepolyn^ome minimal de  sur k. Dans ce cas, legroupede Galoisdu polyn^ome hsur k est le sous-groupede S

d

obtenupar operationagauche de G sur l'orbiteO. C'est ainsi que sont calculees les listes P

M

(G;H) etGr M

(G;H).

Dans la pratique, nous ne disposons que de la resolvante R ;M

et nous cherchons a savoirlesquels de ses facteurs sur k sontassociesades G-orbitesde C =f

1

H;:::; e

Hg. Soit g un facteur sur k de cette resolvanteayant 

 i

comme racineou i2[[1;e]]. Si g est un facteur simple de la resolvanteR

;M , alors 8j 2 [[1;e]]nfig   j 6=  i . C'est doncen particuliervraipourlesj 6=itelsque

j 2G

i

H. Silepolyn^omeg estun facteur k-irreductible simple de laresolvanteR

;M

, alors il est associea la G-orbitede  i

H.

Remarque 3. Supposons que lepolyn^omeg soitk-irreductibleetassocieaune G-orbite etqu'un autre facteur g

0

de laresolvanteverie g =g 0

. Dansce cas, le polyn^ome g n'est pas simple et pourtant bien associe a une G-orbite. Il faut alors etudier la matrice des partitionsrelativea M poureventuellement ledetecter.

L'ideedecalculerdeslistesP M

(G;H)etGr M

(G;H)estancienne(voir[9]et[13]). Mais n'etaient consideres que le cas ou M =S

n

avec des groupes H transitifs. En se limitant auxpartitionsP

Sn

(G;H),elleaetereprise avec succesjusqu'en degre7avec des groupes H ayant des H-invariants S

n

-primitifs lineaires (voir [16]). Dans le paragraphe suivant, nous allons generaliser cette idee aux matrices des groupes et des partitions relatives a la partie L de S

n

8.2. Matrices des groupes et des partitions relatives a L.

Il s'agit icide construire des matricesdes groupes etdes partitionsrelatives a L etde lesassocier aux resolvantes L-relatives de la m^ememaniere quepour M.

Posons F =fC 2C j C\L6=;g etC 0

=H 2 O (2 M), laG-orbite associee au facteur hdonne en (9). Lepolyn^ome h possede 



comme racine. Sihestirreductible,ilest unfacteursimplede laresolvanteR

;M

. Dansce cas,d'apres le theoreme 7.1, nous avons que C

0

2 F si et seulement si h est aussi un facteur simple de la resolvante R

;L

(car h et R ;L

ont une racine en commun et h est k-irreductible). Donc h est un facteur de la resolvante R

;L

si et seulement si O est la G-orbite de C 0 dans F.

Nouspouvonsetudierlesmatricesdes partitionsetdesgroupesrelativeaLsansutiliser les proprietes algebriques des polyn^omes et en ne considerant que les groupes. C'est ce quenous faisons ci-dessous en utilisantl'outil classique quesont lesclasses doubles.

Soit larelationd'equivalence denie R dans S n

par

R siet seulementsi  2GH:

La classe d'equivalence de , notee (GH), est appelee une classe double. Nous avons egalement R si etseulement siH\G 6=;.

Lemme 8.1. Nous avons (GH) = P

K2O

K (union disjointe). Soit  2 GH (i.e. H\G 6=;). Alors nous avons l'union disjointe :

G = X KO K \G : Demonstration. 

Evident, par la denition de la G-orbite O et celle de la relation

d'equivalence R. 

Le propositionsuivantetraduiten terme degroupelefaitsuivant: si 

est une racine de la resolvante R ;L alors les   0 tels que  0

H 2 O sont aussi des racines de cette resolvante et par consequent le polyn^ome h est un facteur de cette resolvante que h soit ounon k-irreductible.

Proposition 8.2. Si C 0

2F. Alors toute classe C dans la G-orbite O appartient F.

Demonstration. Comme L est une union de classes a droite G (voir Theoreme 6.2) et que C

0

= H 2 F, nous pouvons choisir  2 L tel que H \G 6= ;. Nous avons alors  2GH etdonc 2G

0

H siC = 0

H appartient aO. D'ouC\G 6=;etC 2F. 

Lemme 8.3. Soit  2 M tels que  2 GH. En posant c =card(H \G) 6= 0 (car  2GH),nous avons c=card(

0 H\G 0 ) pour tout  0 ; 0 2GH. Demonstration. Soit  0 2 GH, donc  0 H 2 O. Supposons que H = fh 1 ;:::;h r g et que H\G = fh 1 ;:::;h c g. Comme  0 H 2 O, nous avons  0 H = fg 1 h 1 ;:::;g r h r g ou g 2G. Nousavons forcement g h ;:::;g h 2

0

g s h s 2H\G alors h s

2G ets 2[[1;c]]. Doncc=card(H\G)et, commeil s'agit d'unerelation d'equivalence, leresultatenonceest vrai. 

Theoreme 8.4. Supposons que C 0

= H 2 F (i.e.  

est une racine commune de h et de la resolvante R

;L

). Soit  2GH et c=card(H\G). Alors

card(G) = c:card(O)=c:deg(h) :

Demonstration. Soit d le cardinal de O et donc aussi le degre du polyn^ome h. Soit f

1

H;:::; d

Hg, l'orbiteO. D'apres lelemme 8.1, nous avons :  X i=1 ( i H\G)=G

Commecette union est disjointe, puisque les  i

H lesont deux a deux, nous avons :

d:card( i

H\G)=card(G)=card(G) :

Pour nir, nous appliquons lelemme 8.3pour obtenir c:d=card (G). 

Theoreme 8.5. Lenombredefacteursk-irreductiblesd'uneH-resolvanteL-relativesans racine double est lenombre de classes doubles distinctes (GH) auxquelles appartiennent lespermutations 

1 ;:::;

s

de L telles que L est l'union disjointe G 1

+


+G s

.

Demonstration. Car achaque facteur irreductible (simple)dela resolvanteR ;L

(i.e. une orbiteO) correspond une et une unique classe double. 

Remarque4. Nousretrouvons leresultatbien connuqui ditquesilaresolvantepossede un facteur simple h = x 



( 2 S n



etant forcement inconnu), alors G  H 1

. En eet, si c'est le cas alors (GH) = fHg, soit G  H

1

. Dans la pratique, nous considerons  2 V(J) tel que h = x  (i.e.  = id). Ce qui permet d'aÆrmer que GH.

Remarque5. Avec lesresultatsprecedents,ilappara^tquesiun facteurest simple dans laresolvanteR

;L

alors il est associe aun G-orbitedans F (doncdans C). Orce facteur n'est pas necessiarement un facteur simple de la resolvante R

;M

. Cette remarque est a rapprocher de laremarque 3.

8.3. Calcul des matrices de partitions et de groupes en GAP.

Ladierenceentre lecalculdelamatricedes groupes(resp. partitions)relativeaM et cellerelativea Lest donc inme: ilsuÆt de determinerle sous-ensembleF de C. Parla proposition8.2, touteG-orbited'uneclassedeC estoubiendansF oubiencompletement en dehors de F. Or, avec chacune de ces G-orbites O, nous savons calculer le degre et le groupe de Galois sur k du facteur commun des resolvantes R

;M et R

;L

et associe a l'orbiteO dans lecas ouce facteur est k-irreductible (voir paragraphe 8.1).

Nous notons Gr L

(G;H) (resp. P L

(G;H) ) la liste des groupes de Galois sur k (resp. desdegres) desfacteurs irreductibles (simples)de laresolvanteR

;L

. LafonctionGroups suivanteecritedansle langagedu logiciel decalcul formelGAP (voir[14]) retournelaliste Gr

L

(G;H) (lalisteP L

Groups := function(M,L,G,H) local rc,orbits; rc:= Filtered(RightCosets(M,H), rc -> (Intersection(rc,L) <> [])); orbits:=Orbits(G,rc, OnRight); return List(orbits, D->AsSubgroup(SymmetricGroup (Len gth (D)) , Operation(G,D,OnRight))); end;

LafonctionGroupssecomprendaisementen remplacantRight(droite)pargauchecar en GAP les actions dites a droite sont celles a gauche de notre article. Cette fonction est deduitedecelleecriteparClaudeQuitte(communicationprivee)quiretourneGr

M

(G;H) .

Remarque 6. Il est possible de calculer autrement Gr L

(G;H). Il suÆt de calculer les classes doubles (GH) dans M contenant 

1 ;:::;

s

. Le nombre de ces classes doubles est m, le nombre de facteurs irreductibles des H-resolvantes L-relatives separables de polyn^omes de groupe de Galois G. Soit H 2C telle que (GH) soitune de ces classes doubles (i.e. H 2 F). La G-orbite de H est formee des classes a gauche H dans C telles que2(GH).

Exemple8.6. NoussavonsqueL 12

=G 12

+G 12

(3;4)(6;7). Donc,d'apresletheoreme8.5, touteG

12

-resolvanteL 12

-relativeseparableestoubienQ-irreductible,oubienleproduitde deux polyn^omesQ-irreductibles. Laresolvanteseparable R

 12

;L 12

calculee dans l'exemple 7.2 a eectivement 2 facteurs (simples) sur Q : le premier, x+6, est lineaire et l'autre, g(x)=x 4 +28x 3 +239x 2

+487x 1093, apourgroupede Galois sur Q legroupealterne A 4 . D'apres l'exemple7.2 : L 12 = [ 2F (G 12 )\L 12 :

L'execution de lafonction Groups, avec M =M 12 ,L=L 12 , G=G 12 et H =G 12 comme parametres reels, retourne une liste constituee de deux groupes : le groupe S

1

, groupe de Galois sur Q du facteur lineaire x+6, et le groupe A

4

, groupe de Galois sur Q du facteur g. Ces groupes correspondent aux 2 G

12

-orbites que sont fHg de longueur 1 et f(H)\L j  2F ; 6=idg de longueur 4.

Sinousne savionspasdejaquelegroupedeGaloisdef surQ estG 12

,lefacteurlineaire simple de cette resolvante nous assurerait qu'il est inclus dans G

12

. Il faudrait alors calculer des resolvantes G

12

-relatives (en utilisant un ensemble triangulaire engendrant l'idealI

G 12 

)pour determiner quele groupe de Galois de  sur Q est bien G 12

.

Pour cet exemple, les matrices de groupes etde partitions ne sont pas utiles car nous savonsdejaquelegroupedeGaloisdef

12

surQ estG 12

9. El

ement primitif d'un id

eal de Galois

Soit I un ideal de Galois de f (sur k) contenant l'ideal J et tel que  2 V(I). Un polyn^omeP de k[x

1

;:::;x n

] est ditL-primitif de l'idealI si

Stab(I;)=f 2L j P( (1) ;:::; (n) )=0g : Proposition 9.1. Soit  2 k[x 1 ;x 2 ;:::;x n

] tel que H = f 2 L j : = g et tel que la resolvante R

;L

ait un facteur simple h irreductible sur k. Soit  2 V(J) tel que ( 1 ; 2 ;:::; n

) soit une racine du polyn^ome h (i.e.  est (L; )-separable). Alors le polyn^ome h() est un polyn^ome L-primitif de l'ideal I

H 

.

Remarquons qu'ilsuÆt que  soitun H-invariant M-primitifpour que H=f 2L j :=g. Demonstration. Posons P =h(),   =( (1) ; (2) ;:::; (n) )pour 2S n et A=f 2L j P( (1) ; (2) ;:::; (n) )=0g :

Le polyn^ome k-irreductible h etant lepolyn^ome minimalde  sur k, par la theorie de Galois,nous savons que:

h= Y 2f  j2Gg (x ) : CommeP( (1) ; (2) ;:::; (n) )=h( 

),nous aurons2A sietseulementsiilexiste  2 G tel que 

 = 

; ce qui est equivalent a  

1 

= , par denition du groupe de Galois Gde  sur k auquel la permutation appartient. Puisque GL =L (voir identite (3)appliqueeaL=Stab(J; )),nousavons

1

 2L. Comme,parhypothese,lepolyn^ome est (L; )-separable, nous obtenons :

A =f 2L j (9 2G) 1

:=g :

Puisque  1

 2L etque H est le stabilisateurde dans L, nous obtenons :

A=f 2L j (9 2G) 1

 2Hg=GH :

Le polyn^ome P est donc bien un polyn^ome L-primitif de l'ideal I H 

puisque, d'apres l'identite(3), nous avons Stab(I

H 

; )=GH. 

Remarque7. Pourcalculerledegrede laresolvanteR ;L

,letheoreme7.1 imposeque soitunH-invariantM-primitifetcettepropositionluiimposeseulementd'^etreL-primitif.

Exemple 9.2. La polyn^ome x + 6 est un facteur simple et irreductible sur k de la resolvante R

12;L12

(voir Exemple 7.2). Pour un ordre  = ( 1 ; 2 ;:::; 8 ) des racines def 12 ,  12 ( 1 ; 2 ;:::; 8

)estune racinedupolyn^ome x+6etlepolyn^ome P 12

= 12

+6 est un polyn^ome L

12

-primitifde l'ideal I 

=I G

12 

Le theoreme suivant a deja eteprouve dans lecas ouL et Stab(I;) sont des groupes (voirTheoreme 3.27 de [21]).

Theoreme 9.3. Soit P un polyn^ome L-primitif de l'idealI. Alors

I =J+<P > : o u <P > est l'ideal engendre par P dans k[x

1 ;x 2 ;:::;x n ].

Demonstration. Posons U =Stab(I;). D'apres le theoreme 6.2 et puisque U L, nous avons lesunions disjointes suivantes :

U =G 1 +


+G e et L=G 1 +


+G e +G e+1 +


+G s

pour une numerotation bien choisie des  i , avec  1 =id ete:Card(G) =Card(U). PosonsU 0 =G e+1 +


+G s etI 0 =I U 0 

. Pour i2[[1;s]],nousavons I  i : =I G i  (voir Lemme6.1). Les ideaux I, I

0

etJ s'expriment comme suit (voir Identite(5)) :

I = e \ i=1 I i: , I 0 = s \ i=e+1 I i: et J =I\I 0 :

CommeP est un elementL-primitifde l'idealI etd'apresl'identite(2) sur lesvarietes aÆnesdes ideaux de Galois, nous avons :

V(J+<P >) = f( (1) ; (2) ;:::; (n) ) j 2LetP( (1) ; (2) ;:::; (n) )=0g = f( (1) ; (2) ;:::; (n) ) j 2Stab(I;)g=V(I) : DoncI = p

J+<P >,leradicalde l'idealJ+<P >. Il existe doncun entier m >0tel que:

I m

J+<P > I : D'apreslelemme9.4, lesideaux I etI

0

sontcomaximauxet, parconsequent,lesideaux I

m etI

0

le sontaussi. Prenons x2I. Il existe u2I m etv 2I 0 tels que x =xu+xv : Nous avons xu2J+<P >et xv 2II 0

. Les ideaux I 

i :

etant maximaux etdistincts deux a deux (donc comaximauxdeux adeux), nous avons

II 0 = e Y i=1 I  i : s Y i=e+1 I  i : = s \ i=1 I  i : =I\I 0 =J :

Doncxv 2J et x2J+<P >. Ce qui terminelademonstration. 

Lemme 9.4. Les ideaux I et I 0

de lademonstration du theoreme 9.3 sont comaximaux.

Demonstration. Nous savons que V(J) = V(I)[V(I 0

) est l'union des s varietes aÆnes irreductibles disjointes V

i

= V(I 

i :

), i 2 [[1;s]] (voir Theoreme 6.2). De m^eme V(I) = S e i=1 V i et donc V(I 0 )= S s i=e+1 V i

. Nous avons donc V(I+I 0

)=V(I)\V(I 0

)=; etles 0

Exemple 9.5. Soit P 12 =  12 +6 le polyn^ome L 12

-primitifde l'ideal M 12

= I 

= I  calculedans l'exemple 9.2. Alors,pour 2V(J

12

) telque ( )soitracine de x+6 (i.e. P()=0),nous avons 2V(M 12 )et : M 12 =J 12 +<P 12 > :

Calculons le corps de decomposition du polyn^ome f 12 . Bien que Q( 1 ; 2 ;:::; 8 ) ' Q[x 1 ;x 2 ;:::;x 8 ]=M 12

, la liste des generateurs de M 12

dont nous disposons n'est pas adaptee pour calculer dans le corps Q(

1 ;

2

;:::; 8

). Il faut pour cela disposer d'un ensemble triangulaire engendrant l'ideal M

12

. Nous savons d'apres l'exemple 3.1 qu'il suÆtde calculerun polyn^ome de la formex

4 +h(x 1 ;x 3 ).

En partant des polyn^omes de l'ensemble T 12

et du polyn^ome P 12

, des calculs rapides avec des pseudo-restes aboutissent aupolyn^ome :

h 4 =x 4 x 3 1 x 2 3 4x 1 x 2 3 +x 6 1 x 3 +8x 4 1 x 3 +15x 2 1 x 3 +x 3 x 7 1 9x 5 1 23x 3 1 13x 1 qui appartient a J 12 + < P 12 >= M 12 . L'ideal M 12

est donc engendre par l'ensemble triangulaireT  =fg 1 ;g 2 ;g 3 ;h 4 ;g 5 ;g 6 ;g 7 ;g 8 g.

10. Un autre exemple d'application

Nous allons choisir un autre exemple dans lequel sont construits des ideaux de Galois triangulaires dont les stabilisateurs ne sont pas des groupes. Ces stabilisateurs sont inconnusmais nous parviendrons tout de m^eme a calculerun element primitifd'un ideal deGalois an depoursuivrelaconstructionde lacha^neascendante. Nousutiliseronscet exemplepour illustrerles resultatsdu paragraphe 8.

Nous considerons le polyn^ome f =x 8

+x 4

+2 calculepar Mattman,McKay et Smith. Choisissonsaudepart un8-upletquelconquedesracinesdu polyn^omef surlequel nous imposerons des contraintes au fur et a mesure de l'avancee des calculs. Tout d'abord, remarquons que le groupe de Galois de f sur Q est un groupeimpair puisque son discri-minant2

19 7

4

n'est pas un carre dans Q.

10.1. Calcul d'un ideal maximal des -relations.

NotonsI 1

l'idealdesrelationssymetriquesentrelesracinesdupolyn^omef. Considerons lesous-groupeH

2 de S

8

d'ordre1152 et engendre par les permutations

a=(5;6);b=(1;2);c=(7;8);d=(3;4);e=(1;5)(2;6)(3;7)(4;8);(2;3);(6;7);(5;7)(6;8)et (1;3)(2;4):

Choisissons leH 2

-invariantH 1

-primitifsuivant :

 2 =x 1 x 2 x 3 x 4 +x 5 x 6 x 7 x 8 :

Pour cet invariant,il existe une formulepermettant de calculerla resolvante(voir[4]) de  par  2 . Nous obtenons : R 2;I1 =(x 1)x 8 (x 2 8) 5 (x 4 8x 2 +14) 4 :

Cette resolvante possede le facteur lineaire simple x 1. Decidons que  soit tel que 

2

( ) 1 = 0. Nous avons alors Gal ()  H 2

. Notons I 2

stabilisateurH 2

. D'apresle theoreme 3.27 de [21](dontle theoreme9.3 de cet articleest une generalisation), nous avons :

I 2 =I 1 +< 2 1> :

Nouscherchonsacalculerunensembletriangulaireengendrantl'idealI 2

. Nousutilisons l'implantationdeP.AubryenAXIOMpourdecomposerunidealen ensemblestriangulaires (voir [6] et [7]). Nous obtenons trois ensembles triangulaires engendrant respectivement trois ideaux J

1 ;J 2 et J 3 tels que I 2 =J 1 \J 2 \J 3 :

Enparticulier, nous avons :

J 1 = <x 8 1 +x 4 1 +2;x 2 +x 1 ;x 2 3 +x 2 1 ;x 4 +x 3 ;x 4 5 +x 4 1 +1;x 3 6 +x 2 6 x 5 +x 6 x 2 5 +x 3 5 ; x 2 7 +x 7 x 6 +x 7 x 5 +x 2 6 +x 6 x 5 +x 2 5 ;x 8 +x 7 +x 6 +x 5 > :

Pour chacundes ideaux J 1

;J 2

etJ 3

, leproduitde leurs degresinitiaux est 384. L'ideal I

2

est radical et le cardinal de sa variete est Card(H 2

) = 3:384 = 1152. Donc les trois ideaux J 1 ;J 2 etJ 3

sontaussi radicaux. Par letheoreme 3.2, ce sontdonc trois ideaux de Galoisdu polyn^ome f.

Posons I 3 =J 1 et imposonsa  d'appartenir aV(I 3

). Nous avons la cha^ne :

I 1 I 2 I 3 :

Pour des raisons evidentes d'eÆcacite, nous aimerions poursuivre notre calcul avec l'ideal I

3

plut^ot qu'avec l'ideal I 2

. Pour ce faire, il faut pouvoir calculer des resolvantes H 3 -relatives ou H 3 est le stabilisateur de I 3

relatif a  . La denition du stabilisateur montre que H

3

ne peut ^etre calcule qu'avec l'ideal maximal des -relation que nous recherchons. Nous ne pouvons donc pas appliquer le theoreme 7.1 qui donne le moyen de calculer les degres des resolvantes H

3

-relatives. Pour y parvenir, nous utiliserons une autremethode adaptee a notre situation.

Avec la matrice des partitions relative a S 8 et la resolvante R  2 ;I 1 , nous obtenons le resultatsuivant: legroupedeGalois def sur Q est un sous-groupeH

4 de H

2

d'ordre128 etengendre par les permutations

bd;ac;cd;e;g =(1;3;2;4) eth=(5;7;6;8) :

Avec lemodulePrimitiveInvariant, nous calculons l'H 4 -invariantH 3 -primitif  4 =x 1 x 2 +x 3 x 4 +x 5 x 6 +x 7 x 8 :

Avec l'algorithmede [8] nous obtenons :

M 4;J1 =x(x 4 4x 2 +32) et M 4;J2 =M 4;J3 =(x 4 4x 2 +32)(x 4 8x 2 112): ouM ;I

estlaformesansfacteurcarredupolyn^omecaracteristiquedel'endomorphisme multiplicatifinduitparlepolyn^omedansl'anneauquotientQ[x

1 ;x 2 ;:::;x 8 ]=I. Comme laresolvanteR 4;I2

estdedegre9,l'indicedeH 4

dansH 2

,etquelestroispolyn^omesM 4;J

R 4;I2 =x(x 4 4x 2 +32)(x 4 8x 2 112) : Comme les resolvantes R

 4

;J j

sont aussi des facteurs de cette resolvante, nous avons R  4 ;J j =M  4 ;J j

pourj =1;2;3. Lepolyn^omexestdoncunfacteursimpledelaresolvante R  4 ;J 1 . Imposons a  de verier  4

()=0. Nous avons alors Gal Q

( ) H 3

. Notons I 4 l'-idealde Galois de stabilisateur H

4

. Avec le theoreme 9.3, nous obtenons :

I 4 =I 3 +< 4 >=<x 8 1 +x 4 1 +2;x 2 +x 1 ;x 2 3 +x 2 1 ;x 4 +x 3 ;x 4 5 +x 4 1 +1;x 6 +x 5 ;x 2 7 +x 2 5 ;x 8 +x 7 >:

Nouspouvonsutiliserlesmatricesdesgroupesetdespartitions. Lecalculmontrequeles deux facteurs de degre 4 de la resolvante R

35;I2

ontle groupe diedral D 4

comme groupe de Galois sur Q. Nous determinons 5 sous-groupes H de H

2 tels que Gr H 2 (H;H 4 ) = (1;D 4 ;D 4

)(voirParagraphe 8.1). Parmi eux,nouschoisissonslesous-groupeH 5

d'indice 2dans H

4

etengendrepar lespermutationsbd;ac;e;g;het cd. Avec le module PrimitiveInvariant, nous calculons 

5 un H 5 -invariantH 4 -primitif. Cetinvariant sereduita zeromodulol'idealI

4

. Noustransformons cet invariant,comme dansl'exemple7.2, avecici(x)=x

2 +x+1. Lepolyn^ome 5 ((x 1 );:::;(x 8 ))sereduit modulol'idealI

4 aupolyn^ome : 5 =128x 3 1 x 3 x 3 5 x 7 +352 :

Noustrouvons que le resultanten x 7 de x 5 etde x 2 7 +x 2 5 (polyn^ome de I 4 )se reduit moduloI 4 aupolyn^omex 2 704x+58368=(x 608)(x 96). Imposonsa de verier 5 ( ) 96=0. AinsiGal Q ( )H 5 et I 5 =I 4 +< 5 96>. Soit I 5 =< x 8 1 +x 4 1 +2;x2+x 1 ;x 2 3 +x 2 1 ;x 4 +x 3 ;x 4 5 +x 4 1 +1;x 6 +x 5 ;2x 7 +x 5 x 3 x 7 1 +x 5 x 3 x 3 1 ;x 8 +x 7 >:

est l'-idealde Galoisde stabilisateurH 5

. Legroupede Galoisest donc H 5

oubienun de ses sous-groupes. Le seul de ses sous-groupes H quiverie Gr

H 2 (H;H 4 )=(1;D 4 ;D 4 ) est le groupe H 6 d'indice 2 dans H 5

engendre par les permutations bd;ac;e;g et h. Un calcul rapide d'une H

6

-resolvante H 5

-relative de degre 2 separable et reductible montre queH

5

estlegroupedeGaloisde surQ etqueI 5

estl'idealmaximalMdes -relations. Nousavons construit lacha^ne ascendante d'ideaux de Galois suivante :

I 1 I 3 I 4 I 5 =M :

Remarque 8. En factorisant le polyn^ome f dans Z=11Z, nous trouvons le polyn^ome (x 3)(x +3)(x 2 2)(x 2 5x 4)(x 2

+5x 4) qui correspond au cycle type 1 2

;2 3

. D'apresles tablesde Butleret McKay (voir[10]), legroupe de Galoisde f sur Q ne peut ^etre legroupeH

6

conjugueau groupe augroupe8T 17

de leur nomenclature.

10.2. Illustration des resultats du paragraphe 8.

Posons M 1 =Stab(J 1 ;), M 2 =Stab(J 2 ;)[Stab(J 3 ;), G = H 5 et H = H 4 . Nous avons Card(H) = 2:card(G) = 128. Nous savons qu'il existe des permutations 

1 = id;:::; 18 ; 1 =id;:::; 9 de H 3

telles quenous ayons lesunions disjointes :

Nousallonsetudierlelienquiexiste entre lestroisresolvantesR u =R  4 ;Ju (u=1;2;3) et les  i H \G j (i 2 [[1;9]] et j 2 [[1;18]]). Comme 3.card(V(J u )) =card(H 3 ) pour u=1;2;3,nous avons, en numerotantcorrectement les 

j

,(voirTheoreme 6.2) :

M 1 =G 1 +


+G 6 et M 2 =G 7 +


+G 18 :

Choisissons l'ordredes i

de tellesortequelesfacteursde laresolvanteR  4 ;I 3 verient: g 1 =x = x  1 : 4 ( ) g 2 =x 4 4x 2 +32 = 5 Y i=2 (x  i : 4 ( )) et g 3 =x 4 8x 2 112 = 9 Y i=6 (x  i : 4 ( )) :

Regardons d'abord la G-orbite de  1 H (reduite a  1 H puisque G  H) a laquelle le polyn^ome g 1

= x est associe. Comme  1

=  1

= id, nous avons  1

2 G 1

H et d'apres le lemme 8.1, nous avons G

1 = 

1

H\G 1

(i.e. G  H). Nous avons c 1 =card( 1 H \ G 1

) =Card(G) = 64. Comme x n'est facteur que de la resolvante R 1 , les 64 autres permutationsde 1 HappartiennentaussiaM 1 . Choisissonslapermutation 2 deM 1 telle que 1 H\G 2

6=;. D'apresle lemme 8.3, nous avons c 1 =64 =card( 1 H\G 2 ). Nous avons G 2 = 1 H\G 2 (i.e. G 2 H). D'ouH =( 1 H\G 1 )+( 1 H\G 2 )=G+G 2 .

Interessons nous maintenant a la G-orbite f 2

H;:::; 5

Hg a laquelle est associe le facteur g

2

commun aux trois resolvantes R i

, i=1;2;3. Nous avons necessairement pour i=1;2;3;4 etj =3;4;5;6 :  i H\G j 6=; avec c 2 =card( i H\G j )=card(G)=4=16 : Nous avons 4:c 2 = 64 et card( 2 H) = 2:64. Il y a donc 64 permutations de  2 H ap-partenant a M 1 (en fait a G 3 +G 4 +G 5 +G 6

). Les 64 autres permutations de  2

H appartiennent donc a M

2

. D'apres les lemmes 8.1 et 8.3, en numerotant correctement les

j

, nous savons que les 4 classes a droites G j , j = 7;8;9;10, dans M 2 verient pour i=2;3;4;5 G j = 5 X i=2  i H\G j ; c 2 =card( i H\G j ) et  i H = 10 X j=3 ( i H\G j ) :

Pour terminer, le facteur g 3

est associe a la G-orbite f 6

H;:::; 9

Hg. Ce polyn^ome est uniquementun facteur des resolvantes R

2 etR

3

. Les 8classes adroite G 11

;:::;G 18 verient donc pour i=6;7;8;9et j 2[[11;18]]:

G j = 9 X  i H\G j ; card( i H\G j )=16 et  i H = 18 X ( i H\G j ) :

Conclusion



A partir de l'ideal des relations symetriques, pour calculer en une etape l'ensemble triangulaire T

engendrant l'ideal maximal M 12

, il faudrait calculer une resolvante de degre 1680 =[S

8 : G

12

] (i.e. la resolvante de Galois) et en extraire au moins un facteur lineaire simplepour obtenirun polyn^ome S

8

-primitifde l'idealM 12

(i.e. un ensemblede generateurs de cet ideal). Resterait ensuite un calcul extr^emement co^uteux en temps et en espace pour en deduire T

. De plus, ce calcul n'est possible en une etape que si le groupede Galois est deja connu.

Ici,apartird'unefactorisationdansQ( 1

)dedegre8surQ,l'idealJ 12

apu^etrecalcule etle groupede Galois G

12

determine. Puis le calcul de T 

s'est realise en une etape par lebiais d'une resolvante de degre 5 etde quelques pseudo-restes. Cette methode eÆcace pourcalculerlecorpsde decompositionaeteen partiepossiblegr^ace auxresultatsdecet articlequi permettent d'exploiterceux de [18].

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Universit

e Paris VI4, place Jussieu F-75252ParisCedex05 E-mailaddress: Annick.Valibouze@lip6.fr