Recherches sur les surfaces plusieurs fois cerclées

T

HÈSES DE L

’

ENTRE

-

DEUX

-

GUERRES

H. A

DAD

Recherches sur les surfaces plusieurs fois cerclées

Thèses de l’entre-deux-guerres, 1935

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SÉRIE A — N° SÉRIE 1600 F~~T"1 ~ T ~ ^ ¥ ^ ^ / ^ ^ " 1 — ^ / ^ " ^

" ^ " ^ ' PRESENTEES

A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES

P a r M. H. AD AD

PROFESSEUR AU LYCEE D'ALGER

r ° THÈSE. — RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES.

a' THÈSE. — PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.

Soutenues le , devant la Commission d'examen.

MM. CARTAN, Président, VESSIOT, )

GARNIER, $ > ^ ™ ™ ^

-T O U L O U S E

EDOUARD PRIVAT, Libraire-Éditeur

Librairie de l'Université

J 4 , BUE DES ARTS, I/J

A MONSIEUR ERNEST VESSIOT

Hommage reconnaissant et respectueux. H. ADAD

PREMIERE THÈSE

RECHERCHES

SUK

LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES

Par M. H . ' A D A D

Professeur au Lycée d'Alger

INTRODUCTION

E n g é o m é t r i e e u c l i d i e n n e (ou projective), les surfaces p l u s i e u r s fois réglées sont celles de degrés i et 2.

E n g é o m é t r i e c o n f o r m e , les surfaces d u p r e m i e r degré (sphères), et d u second degré, (cyclides) sont en général (voir Exceptions, c h a p i t r e IV) p l u s i e u r s fois cerclées. Mais il est facile de voir q u ' i l existe des surfaces (S) plusieurs fois cerclées, de d e g r é c o n f o r m e ^ ) > 2 ; l'exemple le p l u s s i m p l e est fourni p a r la surface engen-d r é e p a r la t r a n s l a t i o n engen-d ' u n cercle engen-d o n t ]e centre engen-décrit u n a u t r e cercle : cette surface est en général d u q u a t r i è m e d e g r é conforme. D'autres exemples o n t été i n d i q u é s par K œ n i g s (s) et p a r M. Vessiot(3). Dans d e u x notes insérées a u x Comptes rendus de

VAcadémie des Sciences(*), Cosserat a d o n n é u n e m é t h o d e p o u r d é t e r m i n e r toutes les surfaces (S); il les c o n s i d è r e c o m m e engendrées de deux façons p a r des coniques q u i r e n c o n t r e n t toutes en d e u x p o i n t s u n e c o n i q u e fixe C; d a n s sa d e u x i è m e note, il cite u n exemple de surface d o u b l e m e n t cerclée du h u i t i è m e degré (3).

(') J'appelle degré conforme d'une surface algébrique, le degré de son équation en coordonnées pentasphériques ; c'est aussi le nombre de points de rencontre (conformes) de la surface avec une droite isotrope (conforme) arbitraire.

(2) Voir plus loin, chapitre VIII.

(3) Voir plus loin, chapitre VIII.

(*) Comptes rendus, tome i3o, 1900, pages 3 n et 385.

(3) II s'agit ici du degré euclidien; cette surface est du quatrième degré conforme; voir

2 H. ADAD.

Dans ce travail, après avoir exposé, dans les chapitres I à IV, quelques résultats indispensables pour la suite (et dont la plupart sont*d'ailleurs classiques), je montre qu'il existe trois grandes catégories de surfaces (S) : i° Surfaces doublement

cer-clées du troisième degré (ou surfaces réglées-cercer-clées); 20 Surfaces triplement

cerclées du troisième degré; 3° Surfaces doublement cerclées du quatrième degré. Je prouve, au chapitre VII, que les surfaces des deux premières catégories sont toutes imaginaires; au chapitre VIII, je détermine et j'étudie les surfaces réelles de la troisième catégorie,

II y aurait lieu, plus généralement, d'étudier la classification, en géométrie pro-jective, des surfaces sur lesquelles existent plusieurs familles de coniques. Mais ce problème semble beaucoup plus difficile que celui qui fait l'objet du présent travail. Je tiens, avant de terminer, à exprimer toute ma reconnaissance à M. Vessiot, qui a bien voulu s'intéresser à mes recherches, et qui n'a cessé de me guider et dé m'encourager; M. Cartan a bien voulu examiner mon travail et me donner quelques indications qui m'ont permis d'améliorer sensiblement la rédaction; je le prie de trouver ici Texpressioo de mes sentiments de vive gratitude.

CHAPITRE I

Classification des familles linéaires de sphères. Représentations paramétriques d'une droite isotrope et d'un cercle.

1. Généralités. — Rappelons d'abord quelques notions classiques relatives aux

coordonnées pentasphériques. Dans un tel système de coordonnées, un point

con-forme (ou plus simplement un point) est défini par cinq coordonnées xi . . . x^ non

toutes nulles, vérifiant la relation :

Nous dirons que deux points sont distincts si les coordonnées xt du premier ne

sont pas proportionnelles aux coordonnées y, du second (*). Deux points œt9 yt sont

(') La notion de point conforme n'est pas identique à celle de point euclidien. Passons en coordonnées cartésiennes par les formules :

Nous voyons qu'à tout point euclidien (x, y, z, t) nous pouvons faire correspondre le point conforme ï (o, o. o, i, i). Nous dirons que les coordonnées de I sont les coordon-nées conformes singulières du point euclidien. Si on laisse de côté le point T, auquel correspond, réciproquement, tout point de l'espace euclidien, on obtient les résultats suivants :

i° Si x4 -f- ixn =j= o, au point conforme (x±y . . . , xB) correspond par les formules (G)

un point euclidien unique, situé à distance finie. Réciproquement, à tout point euclidien à distance finie correspond un point conforme bien déterminé, pour lequel x4 + ix^ n'est pas nul.

2° Lorsque ,xt -f- lxs z=z °» on a i — o et le point euclidien est à l'infini; on a de plus x\ + x\ -h x\ = o, c'est-à-dire x% + y2 -f z* = o. Si donc xt, #s, xH ne sont pas nuls à la

fois, le point est sur le cercle de l'infini; si xx = x^ ~ x% = o, le point est indéterminé

dans le plan de l'infini.

Réciproquement, à tout point du plan de l'infini non situé sur le cercle de l'infini, ne correspond que le point T. Soit maintenant un point du cercle de l'infini : x = u2 — v2, y = 2uv, z = i(a9 + ^ ) , i = o ; on a : xx = \{uz — v2), x% = 1. 2ixv, xz = Xi (a* 4- i>2), x4 = X\ x% = il' (X et X' étant arbitraires). On obtient donc une infinité de points

con-formes dont les coordonnées dépendent linéairement d'un paramètre. [Cf. DARBOUX. Prin-cipes de géométrie analytique, Paris (1917), p . ^

à H. ADAU.

dits orthogonaux lorsque leurs coordonnées vérifient la relation :

L'ensemble des points xx qui satisfont à l'équation

(0

où les at sont des constantes données, est appelé sphère conforme (ou plus

simple-ment sphère).

Une sphère est dite de rayon non nul si Saf 4= °> &e rayon nul dans le cas

con-traire. Lorsque la sphère (i) est de rayon nul, on peut la considérer, soit comme un point (de coordonnées at), soit comme le lieu des points orthogonaux au point av,

que Ton appelle alors le centre de la sphère (s).

Si on considère deux sphères distinctes de rayon non nul :

(-) Étant donnés deux points euclidiens A et B, appelons Âf tout point conforme qui correspond à A, B' tout point conforme qui correspond à B, par les formules (C) [chapi-tre ï, note i ] ; il est facile de déterminer les cas où A' et Bf sont orthogonaux :

a) A et B sont à distance finie; A' et Bf sont orthogonaux si AB — o.

b) A est à distance finie, B à l'infini, hors du cercle ombilical : Ar et B' ne sont jamais orthogonaux.

c) A est à distance finie, B sur le cercle ombilical : un des points B' est orthogonal

à A'.

d) A et B sont à l'infini, hors du cercle ombilical; A' et B' sont confondus, donc

orthogonaux.

e) A et B sont à l'infini, A étant seul situé sur le cercle ombilical : tous les points A'

sont orthogonaux à B'.

f) A et B sont sur le cercle ombilical; s'ils sont distincts, un point A' n'est jamais

orthogonal à un point B' ; s'ils sont confondus, tout point A' est orthogonal à tout point B'.

(3) On sait qu'à toute sphère conforme correspond en géométrie euclidienne une sphère ou un plan. Réciproquement :

à une sphère euclidienne de rayon non nul, ou à un plan non isotrope, correspond une sphère conforme de rayon non nul;

à une sphère euclidienne de rayon nul ou à un plan isotrope correspond une sphère conforme de rajon-nul;

au plan de l'infini correspond la sphère de rayon nul x± + i x5 = o.

Le centre d'un plan isotrope est le point où il touche le cercle de Finfini ; le centre du plan de l'infini est un point quelconque de ce plan (puisqu'en géométrie conforme, c'est le

RECHERCHES feUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CEHCLEES. 5

on peut choisir les ax el les bt de façon que :

L'angle V des deux sphères est alors défini par :

elles sont donc orthogonales lorsque

Si maintenant une des deux sphèies est de rayon nul, on ne peut plus définir leur angle en général; mais nous conviendrons encore de dire qu'elles^sont orthogo-nales si :

Une transformation conforme de l'espace équivaut à une substitution orthogonale effectuée sur les x% :

5

x[ = ^ À ,rx , (i = i, 2, . . . , 5).

Une telle transformation conserve Sx,4 et Sst;jt 0*v D\ désignant deux systèmes de valeurs quelconques des variables initiales). Soient ak les coefficients de

l'équa-tion d'une sphère, a[ ceux de l'équal'équa-tion de la sphère transformée. On a :

ce qui montre qu'une sphèie de rayon nul se transforme en sphère de rayon nul, et que deux sphères orthogonales se transforment en sphères orthogonales,

2. Faisceaux linéaires; intersection de deux sphères. — Nous classerons les

fais-ceaux linéaires d'après le nombre de sphères de rayon nul qiuls contiennent." Soient :

ax = o, bx = o (*),

(A) Nous poserons pour abréger : 'Haix% = ax et la Ésphère ax ~ o sera appelée « la

6 H. ADAD.

les équations des sphères de base du faisceau. Une sphère quelconque du faisceau est de la forme :

\a-\- \kb (À, |x arbitraires).

Les sphères de rayon nul sont données par :

(2) X3. a2 + 3Xjx . ab + [i.2. 62 = o .

Si la relation (2) n'est pas une identité, il y a dans le faisceau deux sphères de

rayon nul, qui sont distinctes ou confondues suivant que le discriminant : A = (aby — a*.b*

est différent de zéro, ou nul.

a) A =|= o. Prenons d'abord les deux sphères de rayon nul comme sphères de base, ce qui revient à supposer :

(3) a" = 6' = o, a6 4 = o .

On peut faire en sorte que ab = 2 .

Prenons maintenant comme nouvelles sphères de base : , a + b a — b

a' — , 6 = :— ,

2 11

on a :

a't = b"= 1, a'6' = o.

Les sphères a', b' étant de rayon non nul et orthogonales, peuvent être prises comme sphères de coordonnées, et on obtient pour l'équation du faisceau la forme réduite :

(4) AXa + ax4 = O.

Deux sphères quelconques du faisceau se coupent suivant la ligne :

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 7

que nous appellerons cercle véritable. On peut en effet, en utilisant les formules (G)

[I, note i], transformer cette ligne en un cercle :

i x* + y

3

+ z* = 1,

ç z = o .

Nous dirons que le faisceau (4) est un faisceau de sphères sécantes. Les sphères

de rayon nul de ce faisceau ont pour équations :

x^ -+- ix

x

= o .

Les centres de ces sphères sont appelés les foyers du cercle (5). Ces deux points

ne sont pas orthogonaux.

p) à = o. Prenons comme sphères de base la sphère de rayon nul du faisceau et

une autre sphère quelconque. Nous aurons :

a

2

= ab = o, 6

2

4= o .

On peut toujours réduire l'équation de la sphère a à

xA — ixh — o,

car on peut supposer que son centre est le point (o, 0 , 0 , 1, — i). L'équation de la sphère b est alors de la forme :

K xx + b%x% + 63x3 + bA(xA — ixs) = o.

On ne réduit pas la généralité en supposant :

L'équation réduite du faisceau est donc :

(6) Xar

8

+ [x(X — ix,) = o .

Deux sphères quelconques du faisceau ont en commun les deux lignes :

( x

i

+ ix^ =zx

3

= x

i

— ix

s

= 0,

(7) .

8

i l .

que nous appellerons des droites isotropes conformes Q (ou plus simplement des

droites isotropes); les formules (C) les transforment en effet en droites isotropes : x -f iy = z = o.

x — ty = z = o,

passant par l'origine.

Le faisceau (6) sera dit : faisceau de sphères tangentes.

Supposons maintenant que l'équation (2) soit une identité. On a :

a2 = ab = bz = o.

Deux sphères quelconques du faisceau sont orthogonales et de rayon nul. On peut réduire une des sphères de base à :

x± — ixt = o .

L'équation de l'autre est alors de la forme :

b^u + M2 4- b3xa + b%(xA — ixr) = o

avec :

On peut toujours supposer bA = o et réduire l'équation à la forme :

oct + ix% = o .

On obtient pour le faisceau la forme réduite :

(8) X (se, + ixa) + a(ae4 — ixr) = o .

Les sphères ont en commun la droite isotrope double :

(9) xt + «5S = œ3 = œ4 — iœ5 = o .

Le faisceau (8) sera dit : Jaisceau de rayon nut.

Le centre de la sphère (8) a pour coordonnées : (À, At, O a, — JJU). Son lieu est donc la droite isotrope (9).

(5) Cette notion n'est pas identique à celle de droite isotrope euclidienne. (Voir plus loin, I, note 7J.

RECHERCHES SUH LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. TABLEAU RÉCAPITULATIF^5). FAISCEAU DE SPHÈRES Sécantes (type I). Tangentes (type II). De rayon nul (type HT). FORME RÉbUlTH Xxz + p(x — ixj = o. X(xf + ix^ + JJ (X4 — /.T,) = O .

LIEU DES POINTS COMMUNS A TOUTES LES SPHÈRES

Cercle véiitable :

T, = aA = o.

Deux droites isotropes : x± + ixt = x3 = x>~- ixn = o,

xt — ix9 — se, = #4 — tac, — o.

Une droite isotrope double : a;4 -h ixt = a;, = x4 — tx., = o

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Sphères passant par un cercle véritable donnée

Sphères tangentes en un point donné à une sphère donnée de rayon non nul. Sphères de rayon nui passant par une droite isotrope donnée.

3 . Applications. — a) Représentation paramétrique d'une droite isotrope (con-forme). — Considérons les équations réduites (9). On peut poser :

(10) xt — 11, x2 = m, X = =

On o b t i e n t d o n c u n e représentation p a r a m é t r i q u e du p r e m i e r degré. Si on effectue e n s u i t e s u r les x, u n e t r a n s f o r m a t i o n conforme a r b i t r a i r e :

Xk 2^ k3 *

(°) Si on se place au point de vue euclidien, on constate que deux sphères (ou plans) donnés définissent un faisceau de sphères tangentes dans les cas suivants : sphères de rayon non nul tangentes; sphères orthogonates dont Tune est de rayon nul; sphère de rayon non nul et plan non isotrope tancent; sphère de rayon nul et plan non isotrope pas-sant par son centre; sphère de rayon non nul et plan isotrope asymptote; deux plans non isotropes parallèles, ou à intersection isotrope; deux plans dont l'un est isotrope, ainsi que leur intersection; plan non isotrope et plan de l'infini.

Us définissent un faisceau de rayon nul dans les cas suivants : deux sphères de rayon nul dont les centres sont à distance nulle; sphère de rayon nul et plan isotrope tangent; deux plans isotropes parallèles; plan isotrope et plan de l'infini. Dans tous les autres cas, deux sphères (ou plans) donnés définissent un faisceau de sphères sécantes.

ÎO H.

on obtient la représentation paramétrique d'une droite isotrope quelconque (12) x\ = Ou + lK) • « + (h, — lhJ • v

-On peut écrire plus simplement :

(13) xk = ak . a -f- bk . v,

et o» a :

Réciproquement, étudions le lieu des points dont les coordonnées sont données par des formules telles que (i3) [avec les conditions (i4)]» Si le tableau 11 a b 11 est de rang 1, les formules (i3) définissent un point unique; si ce tableau est de rang 2, les sphères de rayon nul a et 6 sont distinctes et orthogonales, et x'k sont les

coor-données du centre d'une sphère quelconque du faisceau (a, 6); les formules (r3) définissent donc une droite isotropeÇ).

b) Représentation paramétrique d'un cercle véritable. — Considérons les équations réduites de ce cercle :

x& = xk = o ;

il faut leur adjoindre :

xl + xl + œ* = o, ce qui donne :

( 15) xi — iï — v', x4

En faisant ensuite sur les x} une transformation conforme quelconque, définie

par les formules (11), on obtient la représentation paramétrique d'un cercle vérita-ble quelconque :

- s.,. i(ue 4- ir).

(7) Considérons la droite isotrope conforme définie par les formules (i3) et (i4), et passons en coordonnées cartésiennes par les formules (C) ; on obtient une droite isotrope lorsque a4 -f ias et &4 -h ibs ne sont pas nuls à la fois; mais si a4 + ia% = 64 -+- f6s = o.

on obtient un point du cercle de l'infini; ceci pouvait être prévu, à cause des résultats obte-nus ci-dessus (It note 1).

RECHERCHES SUH LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. I I

Cette représentation est du second degré; on peut écrire plus simplement :

(17) < = ^ ! + ^ « H / i / avec h =x*. + *\«. mk = ^H> nk = — K + lK< d'où : (18) /2 — o , lm=o, a//i + *na = o, mn = of /ia = o; on a de plus m2 = 4 (donc /n* =}= °)*

Réciproquement, étudions le lieu des points défiuis par une représentation para-métrique tetle que (17) [avec les conditions (18)].

i° Si m2 =|= o, on peut faire en sorte que m2 = 4, et on voit de suite qu'on peut mettre les formules (17) sous la forme (16); on obtient donc un cercle véritable.

Remarquons que, dans ce cas, le tableau : (T) II'* mk «tll

est de rang 3 : en effet, il a le même rang que le tableau 11 XA( \t XAfi 11, et celui-ci

est évidemment de rang 3.

20 Sf ma = o,.on ne peut plus réduire les formules (17) à la forme (16). Mais on voit de suite que dans ce cas, (T) est-de rang inférieur à 3 : en effet, un déter-minant quelconque d'ordre 3, tiré de (T), est nul, comme on le voit en calculant son carré.

Alors, ou bien (T) est de rang 1, et les formules (17) représentent un point; ou bien (T) est de rang 2 (s), et on peut ramener les formules (17) à la forme :

x'k = ak . w + bk . w';

on a donc une droite isotrope.

Nous obtenons donc l'important résultat suivant :

Pour que les formules (17) [et (18)] ne représentent pas un cercle véritable, il faut et il suffît que mr = o.

Nous dirons dans ce cas que le cercle (17) est dégénéré.

(s) Ce qui peut se produire dans deux cas : soit que la représentation paramétrique (17) soit impropre, soit que dans les formules (17), les xt aient un facteur commun. On voit

1 2 H . ADAD.

D'après ce qui précède, un cercle dégénéré se réduit à une .droite isotrope ou à un point.

Remarquons que les représentations paramétriques (i3) et (17), supposées pro-pres, sont possibles d'une infinité de manières; on peut en effet faire subir k a ei v une transformatioQ homographique quelconque.

u

Géométriquement, — est le rapport anbarmonique d'un point variable et de trois points fixes de la ligne, ces derniers correspondant aux valeurs

Ï , o , 00 de — ;

— = [ ^ , 1, o , 00

c). Cercles-paraboles. — En géométrie euclidienne, nous appellerons cercle-parabole un cercle (véritable) dont le plan.est isotrope. Un tel cercle admet un seul point à l'infini : le point où son plan touche le cercle de l'infini.

Passons en coordonnées pentasphériques par les formules C (I, note 1), et

expri-mons les xi en fonctions du second degré d'un-paramètre u; 'œA -f- ix,. devra être

un carré parfait; on pourra même le réduire à une constante, en supposant que le point à l'infini du cercle corresponde à a 00.

Remarquons qu'étant donné, en géométrie conforme, un cercle sous forme paramétrique [formules (17),.(18)], on peut toujours passeren coordonnées cartér-siennes de telle façon que ce cercle devienne un cercle-parabole.

En effet, soit

1-équation d'une sphère de rayon nul telle'que :

soit un carré parfait en u. 11 suffira de prendre des axes cartésiens tels que la sphère (19) devienne le plan de l'infini.

Il est aisé de trouver des valeurs \ répondant à la question; on peut prendre par exemple :

comme on le vérifie immédiatement.

Enfin, iî y a lieu de remarquer que si tout cercle-parabole peut être assimilé à une parabole à direction asymptotique isotrope, la réciproque n'est pas vraie : une parabole à direction asymptotique isotrope ne peut être considérée comme un cercle que si elle est située dans un plan isotrope.

REGHEHGIIKS SUR LES SÜWFACKS PLUSIEURS KOiS CERCLEES. i 3

4. Réseaux linéaires. — Une sphère quelconque du réseau est de "la; forme + p-6 + vc, en désignant par a, 6, c les sphères de base.

On ne peut avoir, quels que soient X, JA, V :

car cela entraînerait : a" =

(la + [1.6-+

6" = c~ = bc

o,

= a6 = o,

et le tableau \\ai b{ c{\\ serait de rang < 3 (même raisonnement que plus haut :

I, 3, b, 2°); les sphères a, b, c ne pourraient être prises comme sphères de base. Un réseau linéaire contient donc toujours des sphères de rayon non nul. Prenons Tune d'elles comme sphère de base, on aura par exemple a2 =j= o. Comme on peut

toujours remplacer les autres sphères de base h et c par b j - K . a , c-\-Kf.a

<K^ét K' désignant des arbitraires), on peut choisir R et K' de façon à avoir : ;

(6 + Ka) ,a = o,

Autrement dit, on peut supposer : 0*4=0,

(c + K'a) ,a =

ab = ac = o.

La sphère a, étant orthogonale à 6 et c, est orthogonale à toute sphère du faisceau (6, c),; on peut donc, sans diminuer la généralité, réduire ce faisceau, et on est conduit aux types suivants, selon que le faisceau est du type 1, II ou III :

RÉSEAUX Type I. Type IL Type III. ÉQUATION RÉDUITE \xz + (J.x4 + vôïe = o. XXo + ax3 + v (a^ — ixs) = o. X(x4 + ô g + ^ 3 + vfa —1X^ = 0. POINTS COMMUNS A TOUTES LES SPHÈRES

Deux points distincts :

xi + ix^ — .T3 = rr4 = x^ = o,

xt — ix^ = x.A = xA = xs == o.

Deux points confondus :

xt = x2 = xs = .x4 — ixs = o.

Une droite isotrope : xt + ix* = x3 + ixk = x^ =: o.

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Sphères passant par deux points donnés (non orthogonaux).

Sphères tangentes en un point donné à un cer-cle véritable donné. Sphères passant par une

droite isotrope don-née.

1-4 I I . AVJAD.

5. Familles oo\— Soient a, b, c,d les quatre sphères de base, Xa+ ^6 +

une sphère quelconque de la famille.

11 est évident qu'il y a dans la famille des sphères de rayon non nul ; en prenant Tune d'elles comme sphère de base et raisonnant comme pour les réseaux, on voit qu'on peut supposer :

a* 4= ° i Qb = o.c = ad = o .

La sphère a est alors orthogonale à toutes les sphères du réseau (6, c, d) et on peut réduire ce réseau sans diminuer la généralité. On obtient seulement les deux types suivants (les réseaux du type III conduisant à une impossibilité) :

FAMILLES Type ï. Type H. ÉQUATION RÉDUITE \xt + [X:E3 + vxk + ?xtt = o. Xxt + [kx„_ + V.T3 + p(œ4 —fos) = o . POINTS COMMUNS A TOUTES LES SPHÈRES

Aucun point. Un point : Xé = Xé• = £C3'= X4 — * X = O . DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE Sphères orthogonales à une sphère donnée (de rayon non nui). Sphères passant par un

point donné.

REMARQUE. — On vient de voir que les sphères orthogonales à une sphère donnée forment une famille linéaire ooa, qui est du type I ou TI suivant que la sphère donnée a son rayon différent de zéro ou nul. Réciproquement étant donnée une famille linéaire oo3, il existe une sphère et une seule orthogonale à toutes les sphères de la famille; son rayon est différent de zéro si la famille est du type 1, nul si elle est dû type II.

Il existe de même une correspondance biunivoque entre les faisceaux et les réseaux. Les sphères orthogonales à un faisceau du type I (c'est-à-dire à un cercle véritable), forment un réseau du type I, dont toutes les sphères passent par les deux foyers du cercle, et réciproquement. De même les sphères orthogonales à un faisceau du type II (ou III) Torment un réseau du type II (ou III), et réciproque-ment.

CHAPITRE II

Propriétés des droites isotropes.

1. Propriétés générales. — Soit une droite isotrope (conforme)

xt = atu -f btv.

Une sphère

mx — o,

la rencontre en un point en général. Donc :

Toute droite isotrope qui a deux points sur une sphère y est contenue tout entière.

Par deux dioites isotropes données, on peut toujours faire passer au moins une sphère (*). Si on peut en faire passer deux S, S', ces deux sphères définissent un faisceau de sphères tangentes, et les deux droites ont un point commun (au sens conforme). Réciproquement si deux droites isotropes ont un point commun, il passe par ces droites °o* sphères ('). Pour que deux droites isotropes déterminent une sphère unique S, il faut donc (et il suffit) qu'elles soient sans point commun (*) (conforme); S est alors de rayon non nul (car les droites isotropes d'une sphèie de rayon nul passent par son centre)(3).

Considérons maintenant trois droites isotropes Di9 D2, D3.

a) Si elles se coupent deux à deux, elles passent nécessairement par un même point, et sont sur la sphère de rayon nul qui a ce point pour centre.

b) Si D4 et Ds par exemple n'ont aucun point commun mais rencontrent D3, on voit que D3 est sur la sphère (de rayon non nul) définie par D4 et D2; sur cette

(') Ceci est évident si les droites sont données sous forme paramétrique du premier degré. ,

(5) Si deux droites isotropes D, A sont parallèles (au sens euclidien), les droites isotropes conformes qui leur correspondent : D', A' n'ont aucun point commun lorsque le plan (D, A) n'est pas isotrope, et sont sécantes dans le cas contraire.

A un point du cercle de l'infini et une droite isotrope correspondent deux droites iso-tropes conformes qui sont sécantes ou non suivant que le point est ou n'est pas sur la droite. A deux points du cercle de l'infini correspondent deux droites isotropes sécantes.

(3) Les sphères de rayon nul qui passent par une droite isotrope donnée, ont en effet leurs centres sur cette droite

ï 6 TI.

sphère, D, et Ds sont génératrices de Tua des systèmes, D3 fait partie de Fautre

système.

c) Si deux des droites se rencontrent, mais ne coupent pas la troisième, les trois droites ne peuvent être sur une même sphère.

d) Si deux quelconques des trois droites ne se coupent pas,' ou bien ce sont trois

génératrices du même système d'une sphère de rayon non nul, ou bien elles ne sont pas sur une même sphère. Dans ce dernier cas, il existe une droite isotrope A et une

seule qui les rencontre toutes trois : car la sphère (D4, Ds) coupe D3 en un point

unique A, et A, devant passer par À, est la génératrice du second système de la

sphère (D4, DJ, menée par À (en appelant premier système celui 'auquel

appar-tiennent D4 et Dff).

2. Changements de coordonnées qui conservent une droite isotrope. — Soient xs, ,.xz les coordonnées pentasphériques d'un point. Dans la suite, nous poserons

pour abréger :

Les XA sont des combinaisons linéaires indépendantes des xk, et on a :

X.X. + X.X. + X ^ o . Une transformation conforme est de la forme :

(0 x;

les mik étant tels que :

00 x;x'

2

+ x;x; + x;

2

= \ \ + x

3

x

4

+ x*

Cela étant, remarquons que les équations de toute droite isotrope pement être réduites à la forme ;

Les changements de coordonnées qui la conservent sont donnés par les for-mules (1) dans lesquelles on suppose :

(3) mit = mié = m(, = /«„ = m3A = m^ = m.9 = m,4 = o.

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. 17

On montre facilement, en tenant compte de (2), que mn , m13, m^, m^, mait m^

demeurent arbitraires, avec la restriction évidente : (4) A =,mtim31 — m2ï/nn 41 ° •

Si Ton pose :

les autres coefficients sont données par les formules :

(6) A'. j \ A .m "m A A + h A s* m.. = r1-, mo. = -A ' 2 s A" A '

h désignant un septième paramètre arbitraire.

3 . Réduction des équations de deux droites isotropes D,, D3. — a) D, et D5

sont sécantes. — Elles déterminent un faisceau de sphères tangentes dont on peut

réduire l'équation à :

on a alors :

D" X — X — X = o

Les changements de coordonnées qui conservent D, et Da(s) s'obtiennent en

supposant, dans les formules (6) :

mi3 = /wH = o (005 transformations).

(s) II s'agit de ceux qui conservent individuellement D4* et Do; on en déduit facilement ceux qui échangent les deux droites.

i 8 H . ADAD.

b) Dt et O. riont aucun point commun. — On peut supposer que la sphère

f, D.) a pour équation :

et que Dt est une génératrice quelconque de cette sphère :

D, X , = X , = Xs = o.

D^, génératrice du même système que D4, a pour équations :

XX, -h fi.X4 — [xX9 — À \ , = X5 = o

avec [A =|= o. En changeant X. en Xs -f- -X3, et X4 en X4 Xt, on ramène ces équations à la forme :

D, Xt = X1 = X1 = O4

Les changements de coordonnées qui conservent la forme réduite obtenue h donnés par les formules (6) où Ton suppose :

mM = m53 = h = o (oo4 transformations).

4 . Réduction des équations d'une droite isotrope D et d'un point P. — a) Le

point est hors de la droite. — II passe alors par P une droite isotrope unique D'

rencontrant D, puisque la sphère de rayon nul de centre P coupe D en un seul point. En réduisant D, D', on obtient pour D et P les équations :

D X1 = Xi = XB = o.

P X4 = X4 = X, = X, -h \L\% = o.

On voit facilement qu'on peut annuler jx, et la forme obtenue se conserve par les changements de coordonnées obtenus en supposant dans les formules (6) :

mi9 = /nM = h = o (oo4 transformations).

b) Le point est sur la droite. — On obtient immédiatement les équations réduites :

D \i =X , = \ . = o.

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 19

et on voit facilement qu'on peut annuler JJL. Les changements de coordonnées qui conservent cette forme s'obtiennent en supposant dans les formules (6) :

mu = o (oo* transformations).

5 . Réduction des équations de trois droites isotropes D,, Dg, D3. — a) D,, Dff

D3 se coupent deux à deux. — Elles sont sur une sphère de rayon nul :

Xt = o.

Les équations d'une génératrice de cette sphère étant :

(k pouvant être nul ou infini), on voit qu'on peut réduire les équations de D4, D2, D3 à la forme :

D, Xt = X, = X . - = o ,

Les changements de coordonnées qui conservent cette forme sont donnés par les formules (6) où Ton suppose :

(oo4 transformations). b) D, et D2 ne se coupent pas, mais coupent D3. —Si D1 et Ds ont pour équa-tions :

D / X, = X4 = XB = o,

D3 fait partie de la sphère Xs = o; ses équations sont donc de la forme : vX3 = vXa—aX4 = o;

2O H. ABÀD.

La forme obtenue se conserve par les changements de coordonnées que Ton obtient en supposant, dans les formules (6) :

mSi = m^. = h = mi3 = o (oo3 transformations).

c) Seules D4 et Ds se rencontrent. — Réduisons D4 et Da :

^ Xl= X , = Xa = o>

Ds X, = X4 = X5 = o,

D3 fait partie de l'intersection de deux sphères de rayon non nul contenant respecti-vement D,, D2 :

X5 + X Xt + IL Xa = o,

On a fjup.' ^= o, sinon D4, Dt, D3 seraient sur une même sphère. Par un changement de coordonnées permis (c'est-à-dire conservant D,, D£), on peut annuler X, X'. Comme il faut que les sphères-qui déterminent D3 soient tangentes, on doit avoir :

On peut supposer jjt, = i , et les équations de D3 s'écrivent : X3 = X3 + Xs = X4 - Xb = o .

On obtient les changements de coordonnées qui conservent cette forme en faisant, dans les formules (6) :

m» ' = m M = ™33— l = ™3. + h = moi + s m3 . = °

(oo2 transformations). d) Deux quelconques des trois droites ne se coupent pas. — Réduisons DH et D^ :

D, Xi= X3 = X> = o,

Dt X0 = X4 = X3^ o ,

D3 fait encore partie de l'intersection de.deux sphères de rayon non nul contenant respectivement D4 et Ds.

Ces deux sphères, nécessairement tangentes, ont en commun une deuxième droite isotrope A qui rencontre forcément Dt et D.; on peut donc réduire les équations de A à la forme :

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. 21

Nous nous bornerons au cas où D,, D,,, D3 ne sont pas cosphériques. Alors Di}

se trouvant sur une sphèie (D,, A) et sur une sphèie (De, A), a pour équations :

\ + A\ = \ + p\ = o

avec Xfjt. =|= o. On peut d'ailleurs réduire X et jx. à l'unité. On a donc : D( \ -h X. — \ 4- X, = Xs - X, — X4 = o .

Les changements de coordonnées qui conservent cette forme s'obtiennent en fai-sant, dans les formules (6) :

m« = m» = à = mu = mit - i = m»— i = o

(oo1 transformations).

6. Réduction de la figure formée par deux droites isotropes D4, Dt et un point A. — Nous nous bornerons au cas où ces tiois éléments ne sont pas

cosphéri-ques : pour cela il est nécessaire que Di ? D^ ne se coupent pas. Leurs équations sont donc :

Df \ = \ = Xs = o, Da X3 = \ = \ = o.

On peut mener par A une droite isotrope A ne rencontrant ni Di7 ni DJt

D'après les résultats du paragraphe précédent, A aura pour équations :

\ "r X2 = X, + X3 = X8 - X, — \ = \ — X4 -h ( I A . = o,

et ön peut, par un changement de coordonnées permis, les ramener à la forme :

qui se conserve si, laissant fixes X3, X4, \ , on change X, en mjlX1 et X2 en — X3. (ooi transformations).

7. Réduction d'un quadrilatère isotrope. — Si (D4, Ds) et (D3, DJ sont les

couples de côtés opposés, on peut réduire D4, D3) D3 à la,forme :

n. x, = x, = ^ = o,

D, X. = \ = \ = o, D, x, = X4 = \ . = o,

2 2 II. AD AD.

et D4 a pour équations :

X, = ,iX, + vX3 = vX, - p:X, = O .

Comme elle ne coupe pas D3, v =t= o . On voit facilement qu'on peut annuler [x,

et on a :

Dâ X , = X , = X . = o .

La forme réduite obtenue se conserve par les changements de coordonnées :

X^ = mii\i, X^ = —— Xa, X3 = /w3 3Xa, X'A = —— X4, X', = Xr

" S i 'fiS3

(oo2 transformations).

Remarquons que les figures étudiées dans ce chapitre n'ont aucun invariant con-forme : deux figures de même espèce sont donc équivalentes, et le sont même d'une infinité de manières.

CHAPITRE III

Étude des cercles cosphériques à trois cercles donnés.

Soient C, C , G" les trois cercles donnés, supposés véritables. Appelons F tout cercle (véritable) cosphérique à G, C , Cf'.

1. Cas général : deux quelconques des cercles G, Gr, C" ne sont pas

cosphéri-ques. — Écrivons les équations des trois cercles :

( ax = o, { a'x = o, i a"x — o,

C ) C l C"

( bx — o, ( brx — o, ( b"x = o.

Soit F l'un des cercles cherchés; les sphères (C, F), (Cr, F) et (C", F) doivent appartenir à un même faisceau linéaire. Les équations de ces sphères sont respecti-vement :

Çka + \kb)x = o, (va' + çb')x = o, ((ja" + xb")x = o,

et X et jjt. ne sont pas nuls à la fois, v et p non plus, c et T non plus. Pour que les sphères considérées [fassent partie d'un même faisceau, il faut que Ton puisse trou-A^er trois nombres h, k, l non tous nuls, tels que Ton ait :|

h(Xat + [4.6,) + /c(vaj -f P6') + /(ff< + ^6?) = o (l = I , 2 , . . . , 5 ) .

Il faut même ici hkl ^ o, sinon deux des cercles C, Cr, C" seraient cosphéri-ques, contrairement à l'hypothèse.

Or, les premiers membres des équations de six sphères n'étant jamais indépen-dants, il existe au moins un système de relations de la forme :

( aa, + p6, + a'a; + p'ÔJ + / < + fb'! = o

(2) )

( ( i = Ï , 2 , . . . , 5 ) .

H. ADAD.

plus on n'a pas a = j3 = o, ni a' = 6' = o, ni x" = p" = o. On peut alors pren-dre :

hl = a, = tÖ\

et on voit qu'il existe un cercle V unique répondant à la question('). Ce cercle a pour équations :

(aa -h $b)x = o, (a'a' + ti'b')x = o. (awa'7 + $'bu)x = o .

Si maintenant le tableau \\a b a' b' a" 6"|| est de rang 4, il existe deux systèmes indépendants de relations telles que (2) :

(3)

6, + a'a; + Öf6; -h *"< + p"6,ff = 0,

bt + Y ' < + O'Ó; 4- T" < + S'6; = o ( 1 = J, 2, . . , 5 ) .

D'ailleurs on a :

GCB — pY 4= o, af0' — S'Y' #= o, a';5" — pffY" =4= °*

sinon deux des cercles G, C', C" seraient cosphériques. De là résulte que les sphères : Â ^ ^ a a + 66,, B = ya + 36,

sont distinctes et peuvent servir à définir le cercle C. De même G' peut être défini par :

A' = a'a' + p'6', B' = Y'a' + 3f6', et Cf/ par :

A' = araf+ ^ / / , Les équations (3) s'écrivent :

A,

+

A;

+

A;

= o,

et*les équations de C, C', C" deviennent :

B" = Yf'af f+ 5ff6f'.

Ace = o ,

Bec = o , C'

Af /; = o ,

B'x = o, (B

(*) L'existence de ce ceicle a déjà été signalée pai G. D\UBOLX, C /? Ac Se . Paris, tome 9? ( I 8 8 I \ p

M7-RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 2 0

Remarquons que les sphères A, B, A', B' sont linéairement distinctes (sinon G et C' seraient cosphérîques).

Le système (i) auquel il faut satisfaire s'écrit alors :

+ EXBZ) -h k(y\[ + oBO + l[c(\* + AO + T(B, + B[)} == o,

et on a nécessairement :

h\ + la = h y. + /T = /cv4- /<r = Arp + /T — o, ou

Ua cercle F a donc pour équations :

(<rÀ -\-TB)X = O,

Il y a donc oo1 cercles F, dont le lieu est la cyclide :

Ax . B'x — Bx . Mx = o O .

11 nous reste à étudier les cas particuliers où deux au moins des cercles C, C\ C" sont cosphénques. On peut employer pour traiter cette question la même méthode analytique que dans le cas général, mais pour abréger, j'exposerai la solution sous forme géométrique.

2. G et G' sont sur une même sphère S qui ne contient pas C". — Si les

trois cercles ont deux points communs A et B (ou sont tangents en un point A), les cercles F sont les oo" cercles qui passent par A et B (ou qui sont tangents en A aux trois cercles.)

Dans le cas contraire, soient A et B les points communs (distincts ou confondus) à C et G'. Un cercle F; ou bien passe par A et B, mais alors il ne coupe C" en deux points que si A, B, C" sont sur une même sphère, et il se trouve alors sur

cette sphère S' [on obtient alors oo1 cercles F formant sur la sphère S' un faisceau

linéaire]; ou bien ne passe pas par A et B, et alors il est sur S et passe par les

(2) On trouvera au Bulletin des Se. Math . i88o, p. 348-384, une démonstration

géomé-trique de ce théoicme due à Darboux.

Voir aussi : DEUARmns, Bail Se. Math.. r888, p. 176-177.

2 6 H. ADAD.

points de rencontre (distincts ou confondus) de C" avec S [ici encore on a oo' cer-cles F formant sur S un faisceau linéaire] (3).

3, C, C', C" sont sur une même sphère S. — Les oo3 cercles F de la sphère S

répondent à la question ; ce sont en général les seuls cercles qui conviennent. Il y a exception si C, C\ C" ont deux points communs A et B (distincts ou confondus) :

dans ce cas, il existe une autre famille de cercles F : les oo5 cercles passant par A

et B(«).

(3) Si les trois cercles ont pour équations :

(C) ax = bx — o, (C) ax = ex = o, (Cf/) dx — ex = o,

le cas général est celui où le tableau \\a b c d e\\ est de rang 5; si ce tableau est de rang 4, les points A et B et le cercle G" sont sur une même sphère; s'il est de rang 3, les cercles C, G', C" ont deux points communs.

(*) Si les trois cercles ont pour équations :

(C) ax z=z bx = o. (Cf) ax = ex = o, (Cr/) ax = dx rz= o , le cas g é n é r a l est celui o ù le t a b l e a u \\a b c d\\ est d e r a n g à; si ce t a b l e a u est d e r a n g 3, C , G'» G" o n t d e u x p o i n t s c o m m u n s .

CHAPITRE IV

Classification des cyclidesQ.

Soit la cyclide d'équation :

On peut aussi éctire cette équation

(2)

s désignant un paramètre ai^bitraire.

Le premier membre de (2) est decomposable en une somme de carrés indépen-dants en nombre au plus égal à 5. Mais on peut choisir s de façon que ce nombre ne dépasse pas 4 ; il suffît de prendre pour s une racine de l'équation obtenue en annulant le discriminant du premier membre de (2). Cette équation sera appelée dans la suite Yêqaation en s de la cyclide considérée.

Si Ton obtient par ce procédé quatre carrés indépendants, l'équation (2) prend la forme :

(3) S£'— 2S' = o.

S, S', S, 2' désignant les premiers membres d'équations de sphères. Dans le cas de trois carrés, on est conduit à la forme :

(3') S£'— S2 = o;

c'est la forme (3) où S' = E.

S'il y a moins de trois carrés, la cyclide se décompose.

(4) Nous ne faisons que reprendre, en nous plaçant à un point de vue un peu différent, une question traitée depuis longtemps par G. LoniA (Mem. délia Reale Ace. délie Se. di

2 8 H. ADAD.

Une décomposition telle que (3) met en évidence sur la cyclide deux familles de cercles :

( S = X 2 , S, = |iS',

et tout cercle V est cosphérique à tout cercle G, la sphère (C, F) ayant pour équation :

S —X£ —i*S' + X(xSf = o.

Nous obtenons,ainsi une réciproque du théorème du chapitre précédent (s).

On sait(3) que si l'équation en s n'a que des racines simples, on peut ramener

l'équation de la cyclide à \*

^ %xl = o,

ou ;

Les racines de l'équation en s sont donc égales à — an\ comme elles sont

dis-(2) U est facile de montrer que réeipioquement, tout cercle (véritable) de la cyclide

provient d'une décomposition telle que (3), d'une manière plus précise, si le cercle S = Sf — o est situé sur la cyclide, l'équation de celle-ci est de la forme (3). En effet, on

peut toujours ramener les équations d u cercle considéré à la forme : X1 = X2 = o .

Écri-vons que la cyclide SalfcX4Xfc = o contient ce cercle; on obtient la relation :

a«*î + a « * î + a,,*!! + ^ 4 ^3^4 + «abX.3X3 + a«2C*Xfi = o,

qui doit être vérifiée pour tous les systèmes de valeurs de X3, X4, X5 satisfaisant à

X3 X4 + \l = o. Cela donne les relations :

«33 = «44 = « n — a43 = «M ™ «34 = » . L'équation de la cyclide est alors :

«i.XÏ + a«Xï + a33X^ + a1 £X1X , - h a1 3XiX3^ fl„X,X4 + fl„X4X, + « „ N . X ,

+ a.4XaX4 + flrMX.X5 + fl,3X,X4 + s f X ^ . + X3\4 + \ j ) = o ,

et en pienant s = — a3S, on la ramène bien à la forme :

Xt£ ' — X . S = o . C. Q. K D.

.La considératioa de Téquation en s conduit donc à la détermination de tous les cercles non dégénérés de la cyclide.

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. 2 9

tinctes, on obtient ciuq décompositions telles que (3), ce qui fournit les dix familles de cercles de la surface. Nous dirons dans ce cas qu'on a une cyclide générale.

Il reste à étudier les cas où l'équation en s a des racines multiples. Darboux a montré que la cyclide est alors l'inverse d'une quadrique. On est donc ramené à chercher une classification conforme des quadriques (autres que les sphères).

1 . Cônes. — Prenons des axes de coordonnées cartésiennes passant par le

som-met O du cône. Si on passe en coordonnées pentasphériques par les formules : , = - (x* + f + 22), xw = 1, x , = x +1>,

l'équation conforme de la surface ne contient que XJt X4, X5.

Discutons l'intersection du cône donné avec le cône isotrope de sommet 0. iie CATÉGORIE. — Cône contenant quatre génératrices isotropes distinctes. — Ces, quatre droites étant concourantes, on peut réduire leurs équations à la forme :

D, X| = XJ = X. = o,

D3

et ramener l'équation du cône à la forme :

(5) HK + X.XJ + X.(X, + \ ) - (k - 1 ) X3X, = o.

Racines de l'équation en s :

o (double); k — - — [x; fe — (x; ~ ~ j £ ~ ^'

A la racine nulle correspondent les génératrices rectilignes. A chacune des autres racines correspondent deux familles de cercles. Il y a donc sept familles de cercles (4),

(4) Nous considérons les génératrices rectilignes comme des cercles; on peut obtenir géométriquement les six autres familles en coupant le cône par des plans parallèles à deux des droites D,.

3O H. AD AD.

2* CATÉGORIE. — Cône tangent au cône isotrope O. — Soient : D, X, = X , = , X . = o,

Dt X.^X.-X^o,

D3 X, = X , - Xs = X1 + XB = o>

les équations réduites des trois génératrices isotropes d u cône, D3 é t a n t la g é n é r a

-trice de contact. On voit facilement (théorie des faisceaux linéaires de q u a d r i q u e s ) que l'équation du cône est de la forme :

ou en coordonnées pentasphériques :

Racines de l'équation en s :

o (double) ; — i (double) ; — i — JJL .

A s = o correspondent les génératrices rectilignes ; à s = — i , deux familles de cercles passant par le point :

En prenant ce point pour pôle d'inversion, c'est-à-dire en posant :

( X, = x' + iy\ X = x' - iy', X3 + X4 = a*\ ( X3 X4 2\ — 2J 2XB= i x " j J z ,

on obtient :

ce qui m o n t r e q u ' u n cône de deuxième catégorie é q u i v a u t , en g é o m é t r i e conforme, à une q u a d r i q u e de révolution \ centre u n i q u e . La surface a cinq familles de cercles.

3^ CATÉGORIE. — Cône bitangent au cône isotrope- O. — Soient :

D, X, = X4 = X. =

les génératrices de contact. Le cône a p o u r équation :

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 3 l

II est de révolution et a pour équation conforme :

(ö) XitX4 + ( r -H (x) AJ = o .

Racines de l'équation en s :

o (double); — i (double), — i —^ ,

s z= o donne les génératrices rectilignes; s = — i fournit des cercles passant par

les points :

Si on passe en coordonnées cartésiennes par les formules :

i Xi = x' + ly', \ = xr — iy\ X, = i,

on obtient l'équation :

ce qui donne un deuxième cône de révolution, transformé confoime du premier. Il y a quatre familles de cercles.

4e CATÉGORIE. — Cône oscillateur au cône isotrope 0 . — Soient :

D3 X4 = X4 = X5 = o ,

les génératrices isotropes d u cône, Dt étant la génératrice de contact. L'équation du

cône est :

x' + y- + z' 4- z(x -h iy) = o,

ou :

Racines de l'équation en s :

3 a H. ADAD.

A 5 = o correspondent les génératrices rectilignes. Pour s = — i , on obtient deux familles de cercles passant par le point :

En passant en coordonnées cartésiennes par les formules (9), on obtient :

c'est-à-dire l'équation d'un paraboloide de révolution, transformé conforme du cône donné.

Il y a trois familles de cercles.

5e CATÉGORIE. — Cône surosculateur au cône isotrope O. — Soit

la génératrice de contact. Le cône a pour équation :

ou :

Racines de l'équation en 5 :

o (double); —1 (triple).

Pour 5 = 0, on a les génératrices rectilignes. Pour s = — 1, on obtient une famille de cercles tangents entre eux au point :

, = A2 = A3 = A5 = O ,

Si on passe en coordonnées cartésiennes par les formules (9), on obtient :

x'* + y'>— r = 0 ,

équation d'un cylindre de révolution, transformé conforme du cône donné.

2. Quadriques à centre unique. — Prenons comme origine des coordonnées le

sommet du cône asymptote. Soit f(xy y, z) = o l'équation de ce cône. Celle de la

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 33 h désignant une constante, qu'on peut supposer égale à T par une homothétie de

centre O.

En coordonnées pentaspheriques, on obtient pour le cône :

(12)

et pour la quadrique :

Donc aux cinq sortes de cônes correspondent autant de sortes de quadriques à centre unique Dans chaque cas les surfaces (12), (iaf) ont la même équation en s.

iie CATÉGORIE. — Equation :

(i3) |*(X8X4 + XI) -h X,(X, + XJ - ( * - £ ) X,X, + X: = o.

huit familles de cercles.

2e CATÉGORIE. — Équation :

0 4 ) X;(i - (*) + X3X4(T + (*) + tiX.CX, - XJ + X22 = o .

C'est la tiansformée conforme? par les formules (7), de : H(z'a—i)—aio?'/ —ay" = o,

qui est aussi une quadrique à centre de deuxième catégorie. Il y a six familles de cercles.

3e CATÉGORIE. — Équation :

Quadrique de révolution ; transformée conforme, par les formules (9), du cône de deuxième catégorie :

— iy') = 0 .

34 H. ADAD. 4e CATÉGORIE. — Équation :

06)

x; +

\,(X.

+

X,)

+ X; = o.

Transformée par (g) de la surface :

2Îy'(x'—i/) — zf = o,

laquelle e-t un paraboloide dont un plan directeur est isotrope, Tintersection des plans directeurs ne Tétant pas. 11 y a quatre familles de cercles.

5e CATÉGORIE. — Équation :

(17) \i

+ \^

i

+

\i

+

xi

=

o.

Transformée par (9) de la surface :

21/(0,' — i/) — 1 = 0 ,

laquelle est un cylindre dont un plan directeur est isotrope, l'intersection des plans directeurs ne Tétant pas.

3. Systèmes de deux plans (non parallèles). — a) Les plans sont distincts, — Si leur intersection n'est pas isotroüe7 il y a trois cas possibles.

Supposons que Tintersection soit Taxe des z :

Les deux plans peuvent être isotropes :

(•8) X,.X4 = o,

ou non isotropes :

('9) (\, + />A

ou encore, l'un d'entre eux peut être isotrope :

(20) X,(X, + X4) = o.

Si leur intersection est isotrope, il n'y a plus que deux cas, car il est impossible

que les deux plans soient isotropes. Si Tintersection a pour équations :

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 3 5

ou :

X1-X3 = \ - o ,

et si un des plans est isotrope, on a :

( a i ) \ - \ = o; si aucun des plans n'est isotrope, on a •

b) Les deux plans sont confondus. — Les formes réduites possibles sont évidem-ment :

(23) x; = o,

4. Cylindres à centres. — Un tel cylindre a pour équation :

PQ + a = o,

P, Q étant les premiers membres des équations des plans asymptotes, a une cons-tante qu'on peut réduire à — i par une homothétie ayant son centre O sur l'inter-section de P et Q. (0 est l'origine des coordonnées.) On obtient la classification suivante :

re CATÉGORIE. — Equation *

(a5) X , \4- X ; = o

Cylindre de révolution. Racines de l'équation en s : o (triple); —i (double).

Les formules (9) transforment ce cylindre en un cône de cinquième catégorie : 2fO + 2x'(x' — ty') = o .

11 y a deux familles de cercles. — Equation

3 6 H. ADAD.

Racines de l'équation en s :

o (triple); —i (double).

Les formules (9) transforment la surface en une quadrique à centre unique de cinquième catégorie :

zn + 2x'(x' — iy') — i = o .

11 y a tiois familles de cercles. 3e CATÉGORIE. — Équation :

(

27

) ex, + ftxj (x, + j

t

x;) - x: = o.

Cylindre général. Racines de l'équation en 5 :

(* — 0* (*+ 0

9

o (triple) ; ^ Il y a cinq familles de cercles»

4e CATÉGORIE. — Équation :

(28) X,X5 — X2 = o*

Racine de l'équation en s :

o (quintuple).

Une seule famille de cercles : les génératrices rectilignes (isotropes). Par les for-mules (9), on obtient un cylindre parabolique à plan directeur et à génératrices iso-tropes : (x'-iyT-2' = o. 5e CATÉGORIE. — Equation : (29) X * - \ * - X * = o. Racines de l'équation en s : o (quadruple); — 1 .

Deux familles de cercles, en comptant les génératrices rectilignes, lesquelles sont isotropes.

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES.

5. Paraboloïdes. — Leur équation est de la forme :

P, Q, R désignant les premiers membres des équations de trois plans formant un vrai trièdre.

On obtient facilement la classification suivante :

iie CATÉGORIE. — Équation :

(3o) X3X, + X,Xs = o.

Paraboloïde de révolution ; on peut le transformer en cône de quatrième caté-gorie. Il possède trois familles de cercles.

Racines de l'équation en s :

o (triple); — i (double).. 2e CATÉGORIE. — Équation :

Racines de l'équation en s :

o (triple); — i (double).

On peut transformer la surface en quadrique à centre unique de quatrième caté-gorie; elle a quatre familles de cercles.

3e CATÉGORIE. — Équation.

(3a) (X, + kXt) (x3 4- ^ X.) + XSXS = o.

Paraboloïde général. Racines de l'équation en * :

o (triple); j-L;

38 H, ADAD.

4e CATÉGORIE. — Équation.

(33) X3X, + X2X4 = o.

Racine de l'équation en 5 :

o (quintuple). Deux familles de cercles (les génératrices rectilignes). 5* CATÉGORIE. — Équation :

(34) x;-x; + \x. = o

Racines de l'équation en s :

o (quadruple); — i . Quatre familles de cercles.

6. Cylindres paraboliques. — La forme générale de l'équation est

P, R étant les premiers membres d'équations de plans sécants. ire CATÉGORIE. — Équation :

(35) X! + X , ( X , + \ . ) = o. Racines de l'équation en s :

o (quadruple); — i . Génératrices non isotropes ; trois familles-de cercles. 2e CATÉGORIE. — Équation :

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. 3 g

on obtient :

V2 Y'2 \~'2 n

A5 A3 — A2 O,

c'est-à-dire un cylindre à centres de cinquième catégorie. Racines de l'équation en s :

o (quadruple); — \ . Deux familles de cercles.

3a CATÉGORIE. — Équation :

(37) Xd" + \ Xê = o.

Génératrices non isotropes. Racine de l'équation en 5 : o (quintuple).

Une seule famille de cercles : les génératrices rectilignes.

4e CATÉGORIE. — Équation :

(38) X* + X,Xs = o.

Génératrices isotropes. Racine de l'équation en s : o (quintuple).

Une seule famille de cercles : les génératrices rectilignes.

Tableau récapitulatif. — Dans ce tableau, la signification des abréviations

em-ployées est la suivante :

K = cône ; Q = quadrique à centre unique ;

F = cylindre à centres; P = paraboloïde; F' = cylindre parabolique.

L'indice indique la catégorie; par exemple K3 signifie : cône de troisième

H . ADAD. "TiPE G,

c

5 G,

c.

c,

c.

c,

c,

c

0

c..

c,,

c,,

c.,

c

u

c,.

, c,,

c,.

Ordres de multiplicité des racines de l'équation en s. i , i , i , i , i 2 , 1 , 1 , 1 2 , i, i , r 2 , 2 , I 2 , 2 , I 2 , 2 , I * 8, I , I 3 , 2 3 , a 3 , 2 3 , 2 4, * 4, i 5 3 5 Nombre de familles de cercles 1 0 8 7 6 5 4 6 5 4 6 3 2 4 3 2 2 I I Nombre de points singuliers 0 i 2 2 3 4 j i 2 3 2 3 i i o o î oo I Nombre d'inva-riants conformes 3 2 2 I I I 1 I O 0 O 0 o o o 0 o o DÉFIMTION GÉOMÉTRIQUE Gyclide générale. Q. Q. K3, cyclide de Dupin. p , K., P, Q,> r . P» p4

r;

RECHERCHES SUK LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. &I

REMARQUES. — i° Les quadriques de révolution équivalent respectivement aux

cônes Ka, K3, K4, Ks. On peut montrer que la surface engendrée par un cercle

tournant autour d'une droite quelconque non située dans son plan, équivaut an

cône Kt. On a donc le théorème suivant :

Toute surface de révolution engendrée par un cercle (ou une droite) tournant autour d'un axe, est la transformée conforme d'un cône à base circulaire.

2° Lea points singuliers (conformes) d'une surface :

(/ étant homogène en x%, . . ., xa) sont ceux qui vérifient les équations :

±L=o.x, ( i = i , . . . . 5),

p désignant un coefficient de propoi tîonnalité.

Ces équations expriment qu'an point M(xt) le faisceau des sphères tangentes à

la surface :

CHAPITRE V

Généralités sur les surfaces plusieurs fois cerclées.

Dans ce chapitre et dans les suivants, nous déterminerons et nous étudierons les surfaces sur lesquelles on peut tracer au moins deux familles de cercles.- Ces familles seront supposées simples, c'est-à-dire que par chaque point de la surface (sauf peut-être certains points exceptionnels), il passera un cercle et un seul'de chaque famille. Nous connaissons déjà des surfaces répondant à la question : ce sont celles dont J'équation conforme est du premier degré (sphères) ou du second degré (cyclides., à l'exclusion toutefois des types Ci7 et C,8). Nous allons donc

chercher les surfaces de degré conforme supérieur à 2, qui sont doublement cer-clées (au moins).

1. Représentation paramétrique. — Soit doue S une surface plusieurs fois

cer-clée. Nous supposerons pour l'instant les deux familles composées de cercles non dégénérés (*) (sauf peut-être certains cercles exceptionnels), et nous nous bornerons au cas où tout cercle de la première famille n'a qu'un point commun avec chaque cercle de la seconde (•).

Soient C4, C3, deux cercles u = cte, F un cercle t = cte, coupant C4 en M4 et C5 en Ms. Lorsque C4 et C£ restant fixes, T varie sur la surface, M, et MB sont en correspondance biunivoque.

Nous allons montrer que M4 et M£ se correspondent aussi algébriquement. Pour cela, remarquons d'abord que S est algébrique. En effet, soient : (r) ax = bx = o.,

les équations d'un cercle F assujetti à rencontrer les cercles C4, C , ... de la famille C (pratiquement ii suffît de prendre cinq cercles Ck arbitraires). Les ax et

(*) Le cas où. tous les cercles d'une famille seraient dégénérés sera étudié plus loin (chapitre -VI).

($) Si tout cercle d'une famille est bisécant à tout cercle de l'autre, S est une cyclide (chapitre III).

RECHERCHES SUR LES SURFACES PLUSIEURS FOIS CERCLÉES. 4 3

les bt sont liés entre eux par des conditions algébriques (la condition pour que deux

cercles se rencontrent est algébrique par rapport aux coefficients de ces cercles); soit (S) le système formé par ces conditions, au nombre de cinq; on peut leur adjoindre (puisqu'on suppose le cercle Y véritable) les conditions supplémentaires ;

(2) a* = Ï f b% = 1 , ab = o ,

qui expriment que a., b% sont des coordonnées normales des sphères a et 6, et que

ces sphères sont orthogonales; mais comme par Y on peut faire passer une infinité de couples de sphères orthogonales, on peut ajouter une condition supplémentaire : par exemple supposer que la sphère a soit orthogonale à une sphère donnée. On

obtient donc pour les ai et les bx un système (Ur) de neuf équations à dix

incon-nues.

Puisque par hypothèse le cercle (ï), où les ax, b% vérifient les conditions (2'),

engendre la surface S, on obtient l'équation de S en éliminant les a% et les bx entre

les équations (i) et les'conditions (S'). On a bien ainsi une équation algébrique.

-Sur S, les cercles rencontrant C4, C2, ... ne peuvent former qu'une ou plusieurs

familles à un paramètre (3). On peut donc résoudre le système (2') en exprimant

neuf des inconnues en fonction de la dixième et d'un paramètre lié à celle-ci par une relation algébrique^); en modifiant un peu le langage, on peut dire que les équa-tions (ï) peuvent être mises sous la forme :

(3)

avec : (4)

Xt, 1UL1 et H étant des polynômes, t et v des paramètres. Cherchons les points de

rencontre du cercle F défini par (3) avec C1 et C3. Faisons pour cela une

repré-sentation paramétrique du second degré de chacun de ces cercles :

(3) On sait en effet (DARBOUX, Bull. Se. Math., 1880, p . 348) qu'il ne peut y avoir sur une

surface (la sphère exceptée), plus de dix familles de cercles.

ADAD.

La valeur de w qui correspond au point M^ de rencontre de C( et F est la

racine (unique) commune aux deux équations :

(6)

On la tiouve en annulant le P. G. G. D. (qui par hypothèse est de premier degré) des polynômes (6); ce qui donne une équation de la forme :

(7) <z(É, v). w + $(t, v) — o (a, p polynômes).

De même la valeur de w' qui correspond au point M„ de rencontre de Cs et F

est donnée par une équation de la forme :

( 8 ) QL'(JL9 v).wf + p ' ( J , u) = o ,

où a' et pf sont des polynômes.

Le nombre w défini par (7) dépend du cercle F choisi; s'il n'en dépendait pas,

Cl couperait tous les cercles F au même point; on pourrait toujours remplacer C4

par un autre cercle C\ ne possédant plus cette propriété; on voit donc qu'on peut

toujours supposer que les valeurs w, wr définies par (7) et (8) ne sont pas des

cons-tantes.

La relation cherchée entre w, w! s'obtient en éliminant f el u entre (4), (7) et

(8); cette relation est donc algébrique et même, d'après ce qui précède, homographi-que. Le'rapport anharmonique de quatre valeurs quelconques de w est donc égal à

celui des valeurs correspondantes de wr; autrement dit, quatre cercles fixes de Tune

des familles coupent un cercle variable de l'autre en quatre points dont le rappoit anhatmonique est constant.

Considérons alors trois cercles C,, C., G3 de la première famille et trois cercles

F,, F5, F3 de la seconde. Appelons AtA le point de rencontre de Ct avec Tk.

Un cercle G quelconque de la première famille est alors défini par trois points

a*> as> as situés respectivement sur F4, ï\, P3 et tels que :

Un cercle F de la seconde famille est défini de même par trois points p(, S., Ss

situés respectivement sur C,, C2, C3 et tels que :

HEGHEHGHES SUR LES SUHFACES PLUSIEURS FOIS CERCLEES. 4 5

Le point M de rencontre de C et F (qui est un point quelconque de la surface), est tel que :

Les coordonnées de M sont donc des polynômes du second degré en p. (voir I, 3, b), dont les coefficients sont linéaires par rapport aux coordonnées des points a,, a3, x3 (qui correspondent respectivement à [x = i , jx = o, jx°o). Mais ces dernières sont elles-mêmes des polynômes du second degré en X. Les coordonnées de M sont donc de la forme :

(9) x% = atry" -h ^ A > + #X[i.3 + cX H- c[^ + clXv. + dt\ + di|JL + etC).

2 . Quelques conséquences des formules (9). — Changeons de notations en

rem-plaçant X par u, [x par t; on a :

xt = atift~ -h 6tiis/ + . .. + et.

Si on écrit que Sxf ^ o, on obtient a5 relations que doivent vérifier les coeffi-cients :

a* — o, ab — o, ab' = o, 2ac 4- b~ = o, 2ac' -f 6'L = o,

ac" + 66' = o, ad + 6cr/ -h b1 c = o, ad' -h 6 V + 6cM= o, 6c = o, 6'c' = o, 2Cte + ibd' + 26'c/-f- ace' + <f/2 = 0, 6t/ + ccf/ = o; 6Vf + c'e" == o, " 6B = o, c " ^ = o , 6e -h cdf + c"d = o, 6'e + c'(/ -h c"rf' = o, crf — o, 6'J' = o, ice + d2 = o, ac'e + rf's = o, c'fe -f dc/; = ^ 0 , de = o, dfe - O ) e3 = o.

(A)

Nous utiliserons surtout dans la suite les coordonnées définies plus haut : -II, 2.,Nous poserons donc :

at + iaK = A4, at — la2 = A ^ ...eb = Eb,

et nous aurons :

Les relations (A) seront remplacées par des relations équivalentes en A, ... Es. Par exemple les deux premières deviendront :

A4Aa + A , A4- h A^ = o,

A,B9 + A,B4 -h A%B4 + A4Bd + 2A3B^ = o, etc. (*) Le principe de cette démonstration m'a été indiqué par M, E. Vessiot. Voir aussi : G. KOEMGS, Annales de VEc. Norm. Sap., 1888.