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Chapitre 25

Géométrie affine et euclidienne

– Définir les notions de : espaces affines, sous-espaces affines, applications affines et leurs propriétés. – Rappeler la notion de barycentre et définir la notion de convexité.

– Calculer la distance d’un point à un sous-espace affine.

– Étudier les isométries. Faire la classification en dimension 1, 2 et 3.

Sommaire

I) Espace affine . . . . 1

1) Translations . . . 1

2) Sous - espaces affines . . . 2

3) Parallélisme, orthogonalité. . . 3

4) Repères cartésiens . . . 3

II) Applications affines . . . . 4

1) Définition, exemples. . . 4

2) Propriétés des applications affines . . . 4

3) Groupe affine . . . 5

4) Expression analytique d’une application affine. . . 7

III) Barycentres . . . . 7

1) Définition . . . 7

2) Propriétés . . . 7

3) Parties convexes . . . 8

IV) Isométries affines. . . . 9

1) Calculs de distances . . . 9 2) Isométries, généralités . . . 11 3) Isométries de la droite . . . 11 4) Isométries du plan . . . 11 5) Isométries de l’espace . . . 12 V) Exercices . . . . 13

Dans ce chapitre, E désigne un R - e.v. de dimension finie.

I)

Espace affine

1)

Translations

Soit −→u ∈ E, la translation de vecteur −→u est l’application1 t−_u→: E_{→ E définie par t}−→_u (−→v ) = −→u + −→v . L’ensemble de ces applications est noté_TE et il est facile de vérifier que(TE,_{◦) est un groupe abélien, c’est} un sous - groupe du groupe des permutations de E.

Espace affine Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

Si −→v , −w→sont deux vecteurs de E, alors il existe un unique vecteur −→u ∈ E tel que t−_u→(−→v ) = −w→. Cette propriété très simple, suggère un autre point de vue pour les éléments de E : la notion de points.

D

Un espace affine est un espace vectoriel dont les éléments sont vus tantôt comme des points (lettres majuscules), tantôt comme des vecteurs (minuscules). D’une façon imagée, on peut dire qu’un point est la pointe de la flèche d’un vecteur. Si de plus E est muni d’un produit scalaire, alors on dira que (E, (.|.)) est un espace affine euclidien, dans ce cas, la distance entre deux points A et B est

d(A, B) = kB − Ak.

La propriété précédente peut alors s’énoncer sous la forme suivante : si A et B sont deux points de E, alors il existe un unique vecteur −→u tel que B= t−→_u (A). Ce vecteur −→u est noté :−→AB, on remarquera que −→ AB = B − A, et que A +−→AB = B. −→ AB A B −→ 0

FIGURE25.1: Notion de points

2)

Sous - espaces affines

D

Un sous - espace affine de E est l’image d’un s.e.v. de E par une translation. SoitV une partie de E, V est un s.e.a. de E ssi il existe un s.e.v V et un vecteur −→u tel que_{V = t}−→_u < V >, si c’est le cas,

V est appelé direction du s.e.a. _{V (ce que l’on écrira : (V , V )), et on pose dim(V ) = dim(V ). On} remarquera qu’un s.e.v. est un s.e.a. de direction lui - même.

Propriétés :

– Si_{V est un s.e.a. de direction V , alors V est unique (mais pas le vecteur de la translation), de plus V} est un s.e.v. ssi_{V contient le vecteur nul.}

– Si (V ,V ) est un s.e.a. alors ∀ A ∈ V , V = {A + −→u / −→u ∈ V }, et V = {−→AB / B ∈ V }, on remarquera

que∀ B ∈ E, B ∈ V ⇐⇒−→AB ∈ V .

– Si (_{V ,V ) est un s.e.a. de E, alors V est un espace affine isomorphe à V . C’est à dire que V peut être} muni d’une structure d’espace vectoriel isomorphe à V .

– Si (V ,V ) et (V0,V0) sont deux s.e.a. de E, et siV ∩ V0n’est pas vide, alorsV ∩ V0est un s.e.a de direction V _{∩ V}0.

– Soient (_{V ,V ) et (V}0,V0) sont deux s.e.a. de E, soient A_{∈ V et A}0_{∈ V}0, alors_{V ∩ V}0_{6= ; ⇐⇒}−→AA0 _∈ V+ V0. On remarquera que la condition est nécessairement remplie lorsque E= V + V0.

Espace affine Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

3)

Parallélisme, orthogonalité

D

Soient(V , V ) et (V0, V0) deux s.e.a. de E, on dit que V est parallèle à V0lorsque V _{⊂ V}0. On dit que V et V0sont parallèles lorsque V = V0(même direction). Si E est euclidien, on dit queV et V0sont

orthogonauxlorsque V et V0sont deux s.e.v. orthogonaux de E (V _{⊂ V}0⊥), si A_{∈ E, l’orthogonal à V} passant par A est le s.e.a. de E contenant A et de direction V⊥.

Propriétés :

– Deux s.e.a. parallèles sont soit égaux, soit d’intersection vide (on dit qu’ils sont strictement parallèles). – Soient(V , V ) et (V0, V0) deux s.e.a. de E, si V est parallèle à V0, alors soit_{V ⊂ V}0, soit_{V ∩ V}0= ;.

Exercice: Étudier la position relative de deux s.e.a. en dimension 2 et 3.

4)

Repères cartésiens

D

Un repère cartésien _{R = (O, −}e→₁ , . . . , −e→_n) de E, est la donnée d’un point O de E (appelé origine

du repère), et d’une base_{B = (−}e→1, . . . , −e→n) de E. Si E est euclidien et que B est une b.o.n.d. de

E, on dira que le repèreR est un repère orthonormal direct. Pour tout point M de E, on appelle

coordonnéesde M dans le repère_{R, les coordonnées du vecteur}−−→OM dans la base_{B. On remarquera} qu’il s’agit des coordonnées de M_{− O dans la base B.}

Représentation(s) paramétrique(s) d’un s.e.a. : Soit(V , V ) un s.e.a. de E, soit R = (O, B) un repère

cartésien de E, soit_{U = (−}v→1 , . . . , −v→p) une base de V , et soit A ∈ V . Notons Ci la matrice colonne des coordonnées du vecteur −→v_i dans la baseB, et C0 la matrice colonne des coordonnées de A dans le repère R. Soit M ∈ E, notons X la matrice colonne des coordonnées de M dans le repère R, M ∈ V ⇐⇒−−→AM _{∈ V}

ce qui équivaut à :

∃ λ1, . . . ,λp∈ R, X = C0+ λ1C1+ · · · + λpCp Ce système est appelé un paramétrage deV .

Équation(s) cartésienne(s) d’un hyperplan affine : Soit _{R = (O, B) un repère de E, avec dim(E) =} n, soit (H , H) un hyperplan affine de E, soit U = (−→u 1, . . . , −→u n−1) une base de H, et soit A ∈ H . Un point M de coordonnées (x1, . . . , xn) appartient à H ssi −−→AM ∈ H, ce qui revient à dire que la famille_{U ∪ {}−−→AM _{} est une famille liée, ce qui est encore équivalent à : detB}(−→u ₁, . . . , −→u _n−1,−−→AM ) = 0, en

développant ce déterminant sur sa dernière colonne, on obtient une équation cartésienne de H de la forme :

a1x1+ · · · + anxn= b avec au moins un des coefficients ai non nul, et b une constante. On remarquera qu’une équation cartésienne de la direction (ie de H) est a₁x₁+ · · · + anx_n= 0. Si E est euclidien et la base

orthonormale, alors une telle équation peut s’écrire à l’aide d’un produit scalaire :(−→u _|−−→AM ) = 0 où −→u , de coordonnées(a₁, . . . , an), est un vecteur normal à H.

Exercice: Montrer que la réciproque est vraie, c’est à dire que les points de coordonnées(x₁, . . . , xn) vérifiant une

équation du type a₁x₁+ · · · + anxn= b avec au moins un des coefficients ai non nul, forment un hyperplan affine de

direction l’hyperplan vectoriel d’équation cartésienne a₁x₁+ · · · + anxn= 0.

Changement de repère : SoientR = (O, B) et R0 = (O0_,B0_{) deux repères cartésiens de E, notons P} la matrice de passage de_{B à B}0. Soit M _{∈ E, soit X la matrice colonne des coordonnées de M dans} le repère _{R, et X}0 dans le repère _R0. On a X = Coord_B(−−→OM ) = Coord_B(−−→OO0) + Coord_B(−−→O0M ) =

Coord_B(−−→OO0) + P × Coord_B0(

−−→

O0M ), c’est à dire :

X = Coord_R(O0) + P × X0 et donc X0= Coord_R0(O) + P−1× X .

Cas particuliers : Si on change seulement d’origine, alors P= In et donc X0= Coord_R0(O) + X . Si on

Applications affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

II)

Applications affines

1)

Définition, exemples

D

Soit E et F deux R e.v. et soit f : E → F une application, on dit que f est une application affine lorsqu’il existe −→u _{∈ F et g ∈ L (E, F) tels que : f = t}−→_{u ◦ g. C’est à dire : ∀ M ∈ E, f (M) = −}→u + g(M).

Lorsque F= R, on dit que f est une forme affine.

Exemples:

– Il découle de la définition qu’une application linéaire est une application affine. – De même, une translation est une application affine et sa partie linéaire est l’identité.

THÉORÈME25.1 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Si f : E → F est affine, alors on sait qu’il existe −→u ∈ F et g ∈ L (E, F) tels que f = t−→_u ◦ g. Le vecteur −→u est unique (−→u = f (−→0 )), et l’application linéaire g est unique, on la notera : L_f (partie linéaire de f ), de plus, on a la relation suivante :_{∀ A, M ∈ E,} −−−−−−→f(A)f (M) = Lf(−−→AM ), ou encore : ∀ A, M ∈ E, f (M) = f (A) + Lf(−−→AM ), ou encore : ∀ A ∈ E, ∀ −→u ∈ E, f (A + −→u ) = f (A) + L_f(−→u ). De

plus, si A∈ E, f possède des points fixes ssi−−−→Af(A) ∈ Im(L_f − id), auquel cas l’ensemble des points fixes de f (noté Inv(f )) est un s.e.a. de direction ker(L_{f − id).}

Preuve: g étant linéaire, on a g(−→0 ) =−→0 , donc −→u = f (−→0 ) ce qui prouve l’unicité de −→u . Mais alors g= t_−−u→◦ f ce

qui prouve l’unicité de g. Soit A, M∈ E, f (M) − f (A) = −→u + g(M) − −→u − g(A) = g(M − A) = g(−−→AM).

f(M) = M ⇐⇒ f (A) + L_f(−−→AM) = M ⇐⇒ −−−→Af(A) = (id − L_f)(−−→AM). Si c’est le cas et si A désigne un point fixe,

alors M∈ Inv( f ) ⇐⇒ M − A = −→u + Lf(M) − [−→u + Lf(A)] = Lf(M − A). ƒ

Exemple: homothéties affines. Si Lf = hλ= λid une homothétie vectorielle (λ ∈ R\{0; 1}), soit −→u ∈ E et f = t−u→◦hλ.

id− h est une homothétie de rapport 1 − λ 6= 0, c’est un automorphisme de E, donc f possède un unique point fixe :

C. On a alors M0= f (M) ⇐⇒ M0− C = M0− C0= h(M − C) i.e.−−→C M0 = λ−−→C M, on dit que f est l’homothétie de centre C et de rapportλ.

2)

Propriétés des applications affines

– Une application affine f est entièrement déterminée par la donnée d’un point O et son image

O0= f (O), et la partie linéaire L_f.

– Soient f : E_{→ F et g : F → G deux applications affines, alors f ◦ g est une application affine de E} vers G, et L_f◦g= L_f ◦ Lg.

– Soit f : E_{→ F une application affine, soit (H , H) un s.e.a. de E, alors f < H > est un s.e.a. de F de} direction L_f < H >.

– Une application affine transforme trois points alignés en trois points alignés, et conserve le parallé-lisme.

– Soit f : E_{→ E une application affine et soit A ∈ E, il existe un unique vecteur −}→u ∈ E et une unique application affine g tels que : f = t−_u→◦ g avec g(A) = A.

Exemples:

– Projection affine : si p est affine de E vers E et si p◦ p = p, alors Lp◦ Lp= Lp donc Lp est une projection

vectorielle sur F = ker(Lp− id) parallèlement à G = ker(Lp), alors Im(p − id) = ker(p) = G. Soit A un point et

A0son image, alors p(A0) = A0, A0est donc invariant, on en déduit que−→AA0 ∈ Im(Lp− idE) = ker(Lp) et que

l’ensemble des invariants de p est le s.e.a.F passant par A et dirigé par F = ker(Lp− idE), A0appartient au

s.e.a. passant par A et de direction G, si on noteGAcelui-ci, alors{A0} = GA∩ F . On dit que :

Applications affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne −→ 0 G= ker(Lp) GA F= ker(L_{p− id)} F = Inv(p) A A0= p(A)

FIGURE25.2: Projection affine

– Symétrie affine : si s est affine de E vers E et si s◦ s = idE, alors Ls◦ Ls= idE donc Lsest une symétrie vectorielle

par rapport à F _{= ker(L}s− id) et parallèlement à G = ker(Ls+ id), et on a Im(Ls− id) = ker(Ls+ id) = G.

Soit A∈ E et A0_{son image, on a}−→_AA0 ₌−−−−−→_s(A0_{)s(A) = L}

s(

−→

A0A), donc−→AA0 ∈ G, on en déduit que s à des points invariants, si on pose I le milieu de[A, A0], alors−→AI _{∈ G donc}−−→A0I0 = −−→AI =−→A0I et donc I0= I : c’est un point invariant, on en déduit que l’ensemble des points invariants est le s.e.a.F passant par I et dirigé par F. On dit que :

sest la symétrie affine par rapport àF et parallèlement à G.

−→ 0 G= ker(Ls+ id) F= ker(Ls− id) F = Inv(s) A I= p(A) A0= s(A)

FIGURE25.3: Symétrie affine

3)

Groupe affine

D

On dit que f : E→ F est un isomorphisme affine de E vers F lorsque f est affine et bijective. Lorsque

F = E, on dit que f est un automorphisme affine de E, l’ensemble des automorphismes affines de E

est noté GA(E) et appelé groupe affine de E. On remarquera que GL(E) ⊂ GA(E).

Exemples:

– Une translation est un automorphisme affine.

– Une homothétie de centre C et de rapport non nulλ, est un automorphisme affine. – Une projection affine qui n’est pas idE n’est pas un automorphisme affine.

Applications affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne THÉORÈME25.2 Ð Ð Ð Ð Ð

Une application affine f : E _{→ F est un isomorphisme affine ssi Lf} est isomorphisme vectoriel de E vers F , si c’est le cas, alors f−1 est également une application affine et sa partie linéaire est

L_f−1= [L_f]−1. En particulier, lorsque F= E, f ∈ GA(E) ssi L_f ∈ G L(E).

Preuve: On a f = t−→_u ◦ Lf, comme t−→u est une bijection, il en découle que f est bijective ssi Lf est bijective. Si c’est le

cas, alors f−1_{= [L}

f]−1◦ t−−→u = t−Lf−1(−u→)◦ [Lf]

−1_{, ce qui prouve que f}−1_{est affine de partie linéaire[L}

f]−1. ƒ

Conséquence : GA(E), l’ensemble des automorphismes affines de E, est un groupe pour la loi ◦, d’où le

nom de groupe affine de E (c’est un sous - groupe du groupe des permutations de E).

D

Soit(V , V ) un s.e.a. de E, soit G un supplémentaire de V , soit α un réel, et soit p la projection affine surV parallèlement à G. Pour tout point M de E, on note f (M) = M0 le point défini par −−−−−→

p(M)M0 = α−−−−−→p(M)M . L’application f ainsi définie est appelé affinité de rapport α, par rapport à V

et parallèlement à G. On remarquera que pourα = 0 on a f = p, pour α = 1, on a f = id_E, et pour

α = −1 on a f = s_V la symétrie affine par rapport àV et parallèlement à G.

−→ 0 V G M p(M) M0= f (M) V THÉORÈME25.3 Ð Ð Ð

L’affinité f définie ci - dessus et une application affine, de plus, siα 6= 0 alors f est un automorphisme affine, et la réciproque est l’affinité par rapport àV , parallèlement à G, et de rapport 1/α.

Preuve: On a f(M) = p(M) + αM − αp(M) = (1 − α)p(−→0 ) + [αidE+ (1 − α)Lp](M), ce qui prouve que f est affine

avec Lf = αidE+ (1 − α)Lp. D’autre part, on a par construction, p(M0) = p(M), d’où en reprenant la définition,

−−−−−−→

p(M0)M0 = 1 α

−−−−−−→

p(M0)M0, ce qui prouve que M0 _{est l’image de M par l’affinité de rapport 1/α, par rapport à V et}

parallèlement à G. ƒ

Groupe des homothéties - translations : L’application L : GA(E) → GL(E) définie par L(f ) = Lf est un morphisme de groupes. Son noyau est ker(L) = TE, on retrouve que l’ensemble des translations de E est un groupe pour la loi◦. Notons Hv(E) l’ensemble des homothéties vectorielles de E (de rapport non nul),

Hv(E) est un sous - groupe de GL(E), donc son image réciproque par L est un sous - groupe de GA(E), or

cette image réciproque est l’ensemble des automorphisme affines dont la partie linéaire est une homothétie vectorielle, donc L−1 < H_v(E) >= T_E∪ HE, ensemble des translations et des homothéties affines de E, appelé groupe des homothéties - translations.

Barycentres Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

4)

Expression analytique d’une application affine

Soit _{R = (O, B) un repère cartésien de E, R}0 = (I, B0) un repère cartésien de F, et f : E → F une application affine. Pour M ∈ E, on pose M0 = f (M), X = CoordR(M), Y = CoordR0(M0) et Y₀ =

Coord_R0(O0). On a : Y =Coord_B0(−−→I M0) =Coord_B0(−−→I O0) + Coord_B0(−−−→O0M0) =Coord_R0(O0) + Coord_B0(L_f(−−→OM )) =Y0+ mat B,B0(Lf)X

On obtient ainsi la relation :

Y = Y0+ AX où Y0= CoordR0(O0), X = Coord_R(M) et A = mat

B,B0(Lf).

Cette relation écrite sous la forme d’un système est appelée expression analytique de f dans les repères R et R0:    y1 = u1 + a11x1 + · · · + a1pxp .. . ... ... ... y_n = u_n + a_n1x1 + · · · + anpxp .

III)

Barycentres

1)

Définition

D

Soit A₁,_{· · · , An} des points de E, et α₁,_{· · · , αn} des réels, On appelle système de points pondérés la famille S= ((A₁,α₁), · · · , (A_n,α_n)), et on appelle poids du système S le nombre p(S) = α₁+ · · · + α_n. Lorsque le poids du système S est non nul, on appelle barycentre du système S le point G_S défini par

GS =

α1

p(S)A1+ · · · + αn

p(S)An, ce que l’on note : GS = Bar[(A1,α1), · · · , (An,αn)]. Lorsque tous les

coefficientsα_i sont égaux, G_S est appelé isobarycentre (ou centre de gravité) du système S.

2)

Propriétés

– Si G = Bar[(A₁,α₁), · · · , (An,αn)] alors ∀λ ∈ R∗, G = Bar[(A₁,λα₁), · · · , (An,λαn)]. En prenant

λ = 1/p(S), on peut imposer que le poids du système vaut 1.

– Soit S= ((A₁,α₁), · · · , (A_n,α_n)) un système de poids non nul, et soit G ∈ E, alors :

G= Bar(S) ⇐⇒

n X

i=1

αi−−→GAi =−→0 .

– Soit S= ((A₁,α₁), · · · , (An,α_n)) un système de poids non nul, et soit G ∈ E, alors :

G= Bar(S) ⇐⇒ ∃ M ∈ E,

n X

i=1

αi−−→M Ai = p(S)−−→M G.

Si c’est le cas, alors l’égalité de droite a lieu pour tout point M _{∈ E. En particulier, si R = (O, B) est} un repère de E, en prenant M = O, on obtient que Coord_R(G) =

n P i=1

αi

Barycentres Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

– Si(H , H) est un s.e.a. de E, alors H est stable par barycentration, c’est à dire que pour tout système pondéré de points de_{H et de poids non nul, le barycentre correspondant est dans H .}

Preuve: Si G= Bar[(A1,α1), · · · , (An,αn)], alors

−−→ A₁G = n P i=2 αi p(S) −−→ A₁A_i ∈ H. ƒ – Une application affine conserve le barycentre, c’est à dire si G = Bar[(A1,α1), · · · , (An,αn)], alors

f(G) = Bar[(f (A₁), α₁), · · · , (f (An), αn)]. Preuve: On a n P i=1αi −−→_GA i =−→0 , donc n P i=1αi Lf(−−→GAi) =−→0 , c’est à dire : n X i=1 αi −−−−−−−→ f(G)f (Ai) = −→ 0

ce qui prouve le résultat. ƒ

– Associativité du barycentre : Soit G = Bar[(A1,α1), · · · , (An,αn)], on considère le sous - système

S0= [(A1,α1), · · · , (Ak,αk)], avec 1 ¶ k < n, on suppose p(S0) 6= 0 et on pose :

G0= Bar[(A₁,α₁), · · · , (Ak,αk)] alors on a :

G= Bar[(G0, p(S0)), (Ak₊₁,α_k+1), · · · , (An,α_n)]

Preuve: On a p(S)G = α1A1+ · · · + αkAk+ αk+1Ak+1+ · · · + αnAn= p(S0)G0+ αk+1Ak+1+ · · · + αnAn, ce qui

prouve la formule. ƒ

Exercice: Intersection des trois médianes du triangle.

3)

Parties convexes

D

Soit A et B deux points distincts de E, le segment[A, B] est l’ensemble des barycentres des points A et

Baffectés de coefficients de même signe (et de somme non nulle). D’après les propriétés précédentes, on peut écrire :

[A, B] = {tA + (1 − t)B / t ∈ [0; 1] }.

D

SoitV une partie non vide de E, on dit que V est convexe lorsque pour tous points A et B de V , le segment[A, B] est inclus dans V .

Non convexe Convexe

Exemples:

– Un s.e.a. de E est convexe. – Un segment[A, B] est convexe.

Preuve: Soit C, D∈ [A, B], on a C = tA + (1 − t)B et D = uA + (1 − u)B avec t, u ∈ [0; 1]. Soit s ∈ [0; 1], alors

sC+ (1 − s)D = [ts + u(1 − s)]A+ [s(1 − t) + (1 − s)(1 − u)]B, il est facile de vérifier que ces deux coefficients

Isométries affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

– Si E est euclidien, alors une boule (ouverte ou fermée) est convexe, par contre une sphère n’est pas convexe.

Preuve: Soit O∈ E et S = { M ∈ E / k−−→OM _{k = r } la sphère de centre O et de rayon r > 0. Soit A et B}

deux points distincts deS et C = 1/2A + 1/2B le milieu de [A, B], supposons C ∈ S alors r = k−→OCk = 1_/2k−→OA +−→OBk ¶ 1/2k−→OAk + 1/2k−→OBk ¶ r/2 + r/2 = r, par conséquent k−→OA +−→OBk = k−→OAk + k−→OBk donc il existeλ > 0 tel que−→OA = λ−→OB, mais l’égalité des normes entraîneλ = 1 et donc A = B ce qui est absurde,

S n’est donc pas convexe. ƒ

Propriétés :

– L’image d’un segment par une application affine, est un segment.

Preuve: Soit[A, B] un segment, f : E → E une application affine, et M0∈ E, M0 ∈ f < [A, B] >⇐⇒ ∃ t ∈ [0; 1], M0_{= f (tA + (1 − t)B) = t f (A) + (1 − t)f (B) ⇐⇒ M}0_{∈ [ f (A), f (B)], donc f < [A, B] >= [ f (A), f (B)].}

ƒ

– Une intersection non vide entre deux convexes, est un convexe. – L’image d’un convexe par une application affine est un convexe.

Exercice: Soit A, B, C trois points non alignés d’un plan affine E, on appelle intérieur du triangle bords inclus, l’ensemble

des barycentres de A, B, C affectés de réels positifs (justifier la définition), on appelleT cet ensemble, montrer que T est un convexe. Soit f : E→ R une forme affine, montrer que f possède un maximum et un minimum sur T , et que ceux - ci sont atteints en un sommet.

IV)

Isométries affines

1)

Calculs de distances

Eest un espace affine euclidien.

D

Soit(H , H) un s.e.a. de E, la projection affine orthogonale sur H est la projection affine sur H et parallèlement à H⊥, on la notera p_H.

Soit (H , H) un s.e.a. de E, soit M ∈ E, pour A ∈ H , on pose f (A) = k−−→AM k2_{, notons M}0 _{le projeté} orthogonal de M sur_{H , alors f (A) = k}−−→AM0 +−−−→M0M k2 = k−−→AM0k2+ k−−−→M0M k2 ¾ k−−−→M0M k2, on voit donc que f est minorée surH par la quantité k−−−→M0M k2, et que cette quantité est atteinte par f ssi A= M0, on peut donc énoncer :

THÉORÈME25.4 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Si (H , H) est un s.e.a. de E et M un point de E, alors l’ensemble {k−−→AM k / A ∈ H } possède un minimum, atteint uniquement pour A= M0 le projeté orthogonal de M sur_{H , ce minimum est} k−−−→M0M k est appelé distance de M à H , noté d(M, H ). De plus−−→AM0 =−−−−−−−−−→p_H(A)p_H(M) = p_H(−−→AM ) et

−−−→

Isométries affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne −−→ AM A M M0 H FIGURE 25.4: Distance de M àH Exemples:

– Distance d’un point M à une droite affine(D, D) dans le plan :

Soit A un point de D, alors d(M, D) = d(−−→AM, D), soit −→v un vecteur non nul orthogonal à D, le projeté orthogonal du vecteur−−→AM sur D⊥est(−−→AM_|−→v )

−→_v k−→v k2, d’où la formule : d(M, D) =|( −−→ AM|−→v )| k−→v k .

SiR = (O, −→ı , −→ ) est un repère orthonormé de E, et si ax + b y − c = 0 est une équation cartésienne de D, alors on peut prendre −→v = a−→i + b−→j , ce qui donne :

d(M, D) =|ax + b y − c|_p a2_{+ b}2

. – En dimension 3, distance d’un point M à un plan affine(P , P) :

Soit A un point deP et (−→u , −→v ) une base de P, un vecteur orthogonal à P est −w→= −→u ∧ −→v , on a donc :

d(M, P ) = |( −−→ AM|−w→)| k−w→_k = |[−−→AM, −→u , −→v ]| k−→u _{∧ −}→v _k .

SiR = (O,−→i ,−→j ,−→k ) est un repère orthonormé de E, et si ax + b y + cz − d = 0 est une équation cartésienne

deP , alors on peut prendre −w→= a−→i + b−→j + c−→k , ce qui donne :

d(M, P ) =|ax + b y + cz − d|_p a2_{+ b}2_{+ c}2

. – En dimension 3, distance d’un point M à une droite affine(D, D) :

Soit A un point deD et soit −→u un vecteur directeur de D, alors :

d(M, D) = k−−→AM − pD(−−→AM)k = k−−→AM ₋( −−→ AM |−→u ) k−→u k2 −→_{u k} = s k−−→AMk2₋( −−→ AM_|−→u )2 k−→u k2 = k −−→ AM _{∧ −}→u _k k−→u _k .

Exercice: Soient A et B deux points distincts de E, et soit k∈ R∗+. Étudier le lieu des points M tels que M A= kMB, on séparera les cas k= 1 et k 6= 1.

Isométries affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

2)

Isométries, généralités

D

Une isométrie est une application f de E vers F qui conserve les distances c’est à dire telle que : ∀ A, B ∈ E, k−−−−−−→f(A)f (B) k = k−→AB k. L’ensemble des isométries de E dans F est noté Is(E, F) et Is(E, E) = Is(E).

THÉORÈME25.5

Ð Ð Ð

Une application f : E_{→ E est une isométrie si et seulement si f est affine et sa partie linéaire, Lf}, est un endomorphisme orthogonal de E, c’est à dire : f _{∈ Is(E) ⇐⇒ Lf ∈ O(E).}

Preuve: Si −→u ∈ E et A ∈ E, soit B = A + −→u , alorsk−→u k = k−−−−−−→f(A)f (B) k = kLf(

−→

AB)k = kLf(−→u )k. ƒ

Exemples:

– Une translation est une isométrie affine.

– Une symétrie affine orthogonale est une isométrie affine.

– Une projection affine orthogonale autre que l’identité n’est pas une isométrie affine.

THÉORÈME25.6 Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

(Is(E), ◦) est un sous - groupe de (GA(E), ◦). L’application D : Is(E) → {±1} définie par D(f ) = det(L_f) est un morphisme de groupes, son noyau est donc un sous - groupe de Is(E) que l’on note Is+(E) : ensemble des isométries positives ou déplacements de E, le complémentaire de cet ensemble dans Is(E) est noté Is−(E) : ensemble des isométries négatives ou antidéplacements de E.

Remarque: f ∈ Is+(E) ⇐⇒ Lf ∈ SO(E), ce qui signifie que Lf est une rotation. On rappelle que si g∈ O(E), alors

ker(g − idE)⊥= Im(g − idE).

3)

Isométries de la droite

Eest une droite euclidienne orientée, f _{∈ Is(E). On sait que la partie linéaire est un endomorphisme} orthogonale : L_{f ∈ O(E) =±idE} , on a donc deux cas :

– Si L_f = id_E : alors f est une translation, c’est un déplacement.

– Si L_f = −idE = h₋₁ : alors f est une homothétie affine de rapport −1, c’est à dire une symétrie

centrale, c’est un antidéplacement.

4)

Isométries du plan

Eest un plan euclidien orienté, f _{∈ Is(E) et Inv( f ) désigne l’ensemble des points fixes de f .} – Inv(f ) = E : alors f = id_{E∈ Is}+(E).

– Inv(f ) = D, droite affine, alors f = s_{D∈ Is}−(E), réflexion d’axe D.

Preuve: Soit D la direction deD, alors ker(Lf− idE) = D, donc Lf est la réflexion d’axe D, d’où L2f = idE, f2

est donc une translation qui possède des points fixes, d’où f2_{= id}

E, ce qui prouve que f est la symétrie par

rapport àD et parallèlement à ker(Lf + idE) = D⊥: c’est donc une symétrie orthogonale. ƒ

– Inv(f ) = {O} : alors f = R_(O,θ)∈ Is+(E), rotation de centre O et d’angle θ 6= 0(2π).

Preuve: On a ker(Lf− idE) = {

−→

0 }, donc Lf est une rotation d’angleθ 6= 0(2π). Soit M ∈ E, on a f (O) = O,

en posant M0= f (M) on a−−→OM0 = L_f(−−→OM ), par conséquent OM = OM0et(−−→OM,−−→OM0) = θ(2π), on dit que

Isométries affines Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

– Inv(f ) = ; : soit f est une translation de vecteur non nul (et alors f ∈ Is+(E)), soit f est la composée commutative entre une réflexion d’axe _{D et une translation de vecteur non nul appartenant à la} direction de_{D : f = t}−→_u ◦ s_D= s_D◦ t−→_u (et alors f ∈ Is−(E)).

Preuve: Si ker(Lf − idE) = {

−→

0 } alors Im(Lf − idE) = E donc f possède des points fixes ce qui est exclu. Il

reste donc deux cas :

1) ker(Lf− idE) = E : alors Lf = idE donc f est une translation.

2) ker(Lf − idE) = D droite vectorielle, alors Lf est une réflexion vectorielle et donc L2f = idE, dans ce

cas f est la composée (commutative) entre la réflexion s d’axe _{(D, D) passant par I = Mil[A, f (A)], et la} translation de vecteur non nul −→u =−−−−−→s(A)f (A) ∈ D, où A désigne un point quelconque de E, on remarquera que

−→_{u = p} D( −−−→ Af(A) ). ƒ I A A1= A + −→u

A00= s(A) f(A) = s(A₁) = A00+ −→u

−→_u

−→_u

D

f = t−→_u ◦ s = s ◦ t−→_u

FIGURE25.5: Symétrie glissée En résumé :

Inv(f ) = E f = idE

Inv(f ) = D f = s_D

Inv(f ) = {O} f = R_(O,θ)

Inv(f ) = ; f = t−→_u ou f = s_D◦ t−_u→= t−→_u ◦ s_D avec −→u ∈ D

5)

Isométries de l’espace

Eest un espace euclidien orienté de dimension 3, f _{∈ Is(E) et Inv( f ) l’ensemble des points fixes de f .} – Inv(f ) = E : alors f = idE_{∈ Is}+(E).

– Inv(f ) = P , plan affine : alors f = s_{P ∈ Is}−(E), réflexion de plan P .

Preuve: Lf est une réflexion vectorielle, donc L2f = idE, par conséquent f2est une translation avec points fixes

(ceux deP ), donc f est la symétrie affine par rapport à P est parallèlement à ker(Lf + idE) = P⊥, c’est donc

une symétrie orthogonale. ƒ

– Inv(f ) = D, droite affine : alors f est une rotation d’axe D et d’angle θ 6= 0(2π).

Preuve: Lf est une rotation d’axe D= Vect[−→u ] et d’angle θ dans le plan D⊥orienté par −→u . Soit M un point

de E et H son projeté orthogonal surD, alors f (H) = H, donc−−−−→H f(M) = Lf(

−−→

H M ), ce qui signifie que−−−−→H f(M)

est l’image du vecteur−−→H M par la rotation Lf. ƒ

– Inv(f ) = {O}, alors f est la composée d’une rotation d’axe D passant par O et d’une réflexion par rapport à un plan_{P passant par O et orthogonal à D.}

Preuve: On a ker(Lf − idE) = {

−→

0 }, donc Lf est la composée commutative entre une rotation d’axe D=

ker(Lf + idE), d’angle θ et la réflexion de plan P = D⊥. SoitD la droite affine passant par O et de direction

D, etP le plan affine passant par O et de direction P, notons s = sP et r= R(D,θ), alors les parties linéaires

de s◦ r et de r ◦ s coïncident avec Lf, de plus O est un point fixe pour l’une et l’autre ainsi que pour f , par

Exercices Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

– Inv(f ) = ;, alors soit f est une translation de vecteur non nul (et alors f ∈ Is+(E)), soit f est la composée commutative entre une réflexion de plan _{P et une translation de vecteur non nul} appartenant à P (et alors f _{∈ Is}−(E)), soit f est la composée commutative entre une rotation d’axe D et une translation de vecteur non nul appartenant à D (et alors f ∈ Is+(E), on dit que f est un

vissage).

Preuve: On ne peut pas avoir ker(Lf − idE) = {

−→

0 } sinon on aurait Im(Lf − idE) = E et f aurait alors des

points fixes. Il y a donc trois cas :

1) ker(Lf− idE) = E : alors Lf = idE donc f est une translation de vecteur non nul, et f ∈ Is+(E).

2) ker(Lf − idE) = P plan vectoriel : alors Lf est la réflexion de plan P, soit A∈ E et A0= f (A), dans ce cas,

f est la composée commutative entre la réflexion s de planP passant par Mil[A, A0] et de direction P, et la translation de vecteur −→u =−−−→s(A)A0. On remarquera que −→u = pP(

−→

AA0).

3) ker(Lf− idE) = D droite vectorielle : alors Lf est une rotation vectorielle d’axe D et d’angleθ. On fixe un

point A de E et on pose A0= f (A), soit P le plan passant par A et de direction D⊥, notons H le projeté orthogonal de f(A) sur P et −→v =−−→HA0 ∈ D, soit g = t−−→v ◦ f , alors Lg= Lf, on a

−−−→

Ag(A) =−→AH ∈ P = Im(Lg− idE), donc

gpossède des points fixes, plus précisément, Inv(g) est une droite affine de direction ker(Lg− idE) = D, g est

donc une rotation vectorielle, et on a f = t−→_v ◦ g. De plus g(A + −→v ) = g(A) + L_f(−→v ) = g(A) + −→v = A0, donc on a également f = g ◦ t−→_v . On remarquera que −→v = p_D(−→AA0) et que M ∈ P ⇐⇒ f (M) = M + −→v . ƒ

A H= g(A) f(A) = A0 A+ −→v D −→_v −→_v θ θ FIGURE25.6: Vissage En résumé : Inv(f ) = E f = id_E Inv(f ) = P f = s_P Inv(f ) = D f = R_(D,θ)

Inv(f ) = {O} f = R_(D,θ)◦ sP = sP ◦ R(D,θ)avec O∈ D, O ∈ P et D = P⊥ Inv(f ) = ; f = t−→_u ou f = s_{P ◦ t}−_u→= t−→_{u ◦ sP} avec −→u ∈ P, ou vissage

V)

Exercices

ÆExercice 25.1

Soit f : E→ E une application affine. Montrer que f transforme toute droite en une droite parallèle si et seulement si f appartient au groupe des homothéties-translations.

ÆExercice 25.2

Soit h une homothétie de centre A et de rapportλ ∈ R∗, et soit f _{∈ GA(E), montrer que f ◦ h ◦ f}−1 est une homothétie.

Exercices Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne

ÆExercice 25.3

Soit E un espace affine de dimension 3, on définit l’application affine f_αpar son expression analytique dans un repère, déterminer la nature de f_α:

a)    x0 = −x − 2y − 2z + 2 y0 = x + 2y + z − 1 z0 = −x − y + α b)          x0 = 1₇(2x + 3y + z) + 1 y0 = 1₇(2x + 3y + z) + 1 z0 = 1₇(2x + 3y + z) + α . ÆExercice 25.4

Soit E un espace affine de dimension 3, on se donne un plan_P0 et n droites D₁, . . . , D_n. Un plan variable_{P se déplace parallèlement à P0}et coupe les droites D_i en un point M_i (i_{∈ [[1..n]]), soit}

G l’isobarycentre des points M_i. Étudier le lieu des points G. ÆExercice 25.5

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct, étudier la nature de l’application f définie par son expression analytique : a)    x0 = 1₅(−3x + 4y + 12) y0 = 1₅(4x + 3y − 6) b)    x0 = 1₅(3x + 4y + 2) y0 = 1₅(−4x + 3y + 14) . ÆExercice 25.6

Soit E un espace affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormal direct, étudier la nature de l’application f dont l’expression analytique est :

a)    x0 = z + 1 y0 = x − 3 z0 = y + 2 b)          x0 = 1₃(−x + 2y + 2z) + 1 y0 = 1₃(2x − y + 2z) − 1 z0 = 1₃(2x + 2y − z) − 1 c)          x0 = 1₂(x + y −p2z) + 1 y0 = 1₂(x + y +p2z) + 1 z0 = 1₂(−p2x+p2 y) + 1 . ÆExercice 25.7

Eest un espace euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct. SoitP le plan d’équation 2x+ 2y + z = 3 et la droite D :

¨

−3x + 2 y + 2z = 4

−7x + 2 y + 6z = 4 , déterminer l’expression analytique de