L 323
GÉOMÉTRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE
2007 - 2008
Version abrégée
Table des matières
1 Géométrie ane 1
1.1 Espaces anes . . . 1
1.2 Applications anes . . . 4
1.3 Utilisation des applications anes : trois théorèmes de géométrie plane . . . 7
1.4 Rappels sur les barycentres . . . 8
1.5 Coordonnées cartésiennes en géométrie ane . . . 9
2 Géométrie euclidienne, généralités 11 2.1 Espaces vectoriels et anes euclidiens . . . 11
2.2 Structure des isométries . . . 13
2.3 Groupe des isométries vectorielles . . . 13
3 Géométrie euclidienne plane 16 3.1 Angles . . . 16
3.2 Isométries et déplacements du plan . . . 20
3.3 Similitudes planes . . . 21
3.4 Inversion et cercles orthogonaux . . . 22
4 Géométrie euclidienne dans l'espace 26 4.1 Isométries et déplacements dans l'espace . . . 26
4.2 Produit vectoriel, calcul d'aires . . . 27
5 Coniques et quadriques 29 5.1 Quadriques et coniques anes, généralités . . . 29
5.2 Classication et propriétés des coniques anes . . . 31
i
Chapitre 1
Géométrie ane
Un espace ane est un ensemble de points. Il contient des droites, éventuellement des plans et des sous-espaces de dimension quelconque. La géometrie ane traite des relations entre ces points, droites et autres. Par exemple deux points sont toujours alignés mais lorsque trois points sont alignés il peut y avoir matière à étonnement et à démonstration. De même lorsque deux droites sont parallèles, ou trois droites sont concourantes. La géométrie ane se pose donc des problèmes de parallélisme, d'alignement ou de droites concourantes mais ne se pose pas de questions d'angles et de distances. Cela viendra avec la géométrie euclidienne.
Le plus simple pour dénir un espace ane est de partir de l'espace vectoriel qui lui est associé.
1.1 Espaces anes
Dénition: Un ensemble E est muni d'une structure d'espace ane par la donnée d'un espace vectoriel E et d'une application : E E ! E qui associe un vecteur de E à tout couple de points de E. On note (A; B) =AB: L'application vérie!
8 A 2 E; l'application partielle A : B ! !
AB est une bijection de E sur E, 8 (A; B; C) 2 E3; AB +! BC =! AC (relation de Chasles).!
L'espace vectoriel E est la direction de l'espace ane E. Les éléments de E sont appelés des points et la dimension de E est par dénition celle de E.
Exemple: Tout espace vectoriel F a une structure naturelle d'espace ane. Il sut de poser pour (u; v) 2 E2; !uv = v u. L'application v ! v u est une bijection de E pour tout u 2 E et Chasles résulte de l'identité (v u) + (w v) = w u pour tout (u; v; w) 2 E3:
1
Remarques:
La relation de Chasles donne directement AA = 0 et! BA =! AB.! Règle du parallélograme : Soit A; A0; B; B0 2 E. Alors
AA!0 = !
BB0 ()AB =! ! A0B0: En eet, par la relation de Chasles,
AA!0 = !
BB0 () !
AA0+ !
A0B = !
A0B + !
BB0 () !
AB = !
A0B0: Dans ce cas on dit que AA0B0B est un parallélogramme.
Si A est un point de l'espace ane E et si u est un vecteur de l'espace vectoriel E qui le dirige, alors par dénition il existe un unique point B tel que AB = u. On note parfois B = A + u.! On remarquera que si v est un autre vecteur de E, B + v = (A + u) + v = A + (u + v). En eet si C = B + v, alors AC = u + v ce qui entraîne B + v = C = A + (u + v). La notation! est donc cohérente et on peut additionner plusieurs vecteurs à un point. Par contre cela n'a pas de sens d'additionner plusieurs points, sauf si l'espace ane a été muni d'une structure d'espace vectoriel, ce qui est possible comme on va le voir maintenant.
Vectorialisé d'un espace ane. En xant un point A d'un espace ane E, on peut dénir sur celui-ci une structure d'espace vectoriel, lequel est noté EA. L'application A : E ! E ; M ! AM étant une bijection, on transporte la structure d'espace vectoriel de E sur E : M + N = Q! signieAM +! AN =! AQ et M = Q signie! AQ = ! AM. La structure ainsi dénie dépend du! point A qui est le vecteur nul de l'espace EA.
Sous-espaces anes.
Dénition: Un sous-ensemble F est un sous-espace ane de E s'il est vide ou s'il contient un point A tel que A(F) est un sous-espace vectoriel de E, qui est alors la direction de F.
Exemple: Soit l'équation diérentielle y0 = y + 1. Toute solution est de la forme ym(x) = 1 + m ex où m est un réel quelconque. Dans l'espace vectoriel de dimension 2 engendré par les fonctions x ! 1 et x ! ex muni de sa structure ane naturelle, les solutions forment un sous-espace ane passant par le point x ! 1 et de direction la droite vectorielle engendrée par la fonction x ! ex.
Proposition 1.1. Soit F un sous-espace ane de E. Il existe un sous-espace vectoriel F de E tel que, pour tout point B de F, B(F) = F . Le sous-espace F est un sous-espace ane dirigé par F .
Inversement, on a, pratiquement par dénition :
Proposition 1.2. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit A un point de E. Il existe un et un seul sous-espace ane dirigé par F et contenant A.
Remarques:
Les sous-espaces anes de dimension 0 sont les points. On appelle droite un sous espace- ane de dimension 1 et plan un sous-espace ane de dimension 2.
Soit E et F deux espaces vectoriels et soit f : E ! F une application linéaire. Pour tout v dans l'image de F , l'image réciproque f 1(v) est un sous-espace ane de E, muni de sa structure ane naturelle, de direction Ker f. Par exemple, l'ensemble des solutions d'un système linéaire, s'il n'est pas vide, est un sous-espace dirigé par l'ensemble des solutions du système sans second membre associé. L'équation
Xn i=1
aixi = b dénit un sous-espace ane de l'espace vectoriel Rn.
Plus généralement, les sous-espaces anes d'un espace vectoriel E sont les sous-ensembles de la forme F + u0 =
x + u0; x 2 F , où F est un sous-espace vectoriel de E et u0 2 E.
Les sous-espaces vectoriels sont les sous-espaces anes contenant 0.
Intersections de sous-espaces anes, sous-espace engendré par une partie de E.
Proposition 1.3. Toute intersection de sous-espaces anes est un sous-espace ane.
On en déduit aussitôt :
Proposition 1.4. Soit S une partie de E. L'intersection de tous les sous-espaces anes conte- nant S est le plus petit sous-espace ane contenant S.
Dénition et notation: Ce sous-espace est le sous-espace engendré par S. Il est noté hSi.
Exemple: Si S =
Ai; 0 i n est un ensemble ni, hSi est le sous-espace ane contenant A0 et dirigé par l'espace vectoriel engendré par les vecteurs !A0Ai; 1 i n . En particulier sa dimension est au plus n.
Dénition: Des points A0; :::Ak sont anement indépendants si la dimension de l'espace qu'ils engendrent est k. Si de plus k = dim E, A0; :::; Ak) est un repère ane de E.
Par exemple deux points distincts A et B forment un repère ane de la droite hfA; Bgi qu'ils engendrent, droite également notée AB. Trois points sont indépendants s'ils ne sont pas alignés
et plus généralement k + 1 points sont indépendants si et seulement si aucun n'est dans le sous-espace ane engendré par les autres.
Remarque: On peut considérer un repère ane (A0; :::; Ak) d'un espace E comme la donnée d'une origine A0 et d'une base (A0A!1; :::;A0A!k) de sa direction. Ce qui permet d'associer à chaque point M de E les composantes du vecteur A0M dans la base en question.!
Position relative de deux sous-espaces anes, parallélisme.
Dénition: On dit que deux sous-espaces anes F et G de E sont parallèles s'ils sont dirigés par le même sous-espace vectoriel de E, et on note F k G.
Exemple: Si f : E ! F est une application linéaire, alors tous les sous-espaces f 1(v), pour v 2 Im f, sont parallèles puis qu'ils sont tous dirigés par Ker f.
Proposition 1.5. Si F k G, alors F et G sont égaux ou disjoints.
En eet, s'ils ne sont pas disjoints, ils sont chacun égaux à l'unique espace passant par un point quelconque de leur intersection et de même direction qu'eux.
Proposition 1.6. Par tout point A d'un espace ane, il passe une unique droite parallèle D0 à une droite D donnée.
Cette proposition est appelée le Postulat des parallèles.
Proposition 1.7. Soient F et G deux sous-espaces anes d'un espace ane E, dirigés respec- tivement par F et G. On suppose que F et G engendrent E. Alors tout sous-espace parallèle à G rencontre F.
1.2 Applications anes
Les applications anes sont le pendant en géométrie ane des applications linéaires en algèbre linéaire.
Dénition: Soient E et F deux espaces anes dirigés respectivement par E et F . Une ap- plication : E ! F est dite ane s'il existe un point O dans E et une application linéaire f : E ! F tels que
8 M 2 E; f(OM) =! ! (O)(M)
Remarque: L'application linéaire f ne dépend pas du point O.
Notation: Il est donc légitime de noter !
l'application linéaire associée à , puisqu'elle ne dépend pas du choix du point O. On a donc
8 A; B 2 E; !
(A)(B) =! ( !
AB):
Exemples:
Une application constante est ane. L'application linéaire associée est l'application nulle.
Les applications anes de R dans R sont de la forme x ! ax + b, l'application linéaire associée étant x ! ax.
Plus généralement, si E et F sont deux espaces vectoriels munis de leurs structures anes naturelles, une application : E ! F est ane si et seulement si il existe un vecteur v0 dans F et une application linéaire f : E ! F telle que l'on ait (u) = f(u) + v0 pour tout u 2 E. Les applications linéaires de E dans F sont donc les applications anes qui envoient 0 sur 0.
Supposons que E = F. Les applications anes dont l'application linéaire associée est IdE
sont les applications : E ! E telles que !
(A)(B) = !
AB pour tous A et B dans E. La règle du parallélogramme donne !
A(A) = !
B(B). Autrement dit, le vecteur !
M(M) est un vecteur constant u. On dit que est la translation de vecteur u et on la note tu.
Soient O un point, un scalaire et l'application dénie par !
O(M) = OM. C'est une! application ane. L'application linéaire associée est l'homothétie vectorielle de rapport : Le point O est xe. On appelle l'homothétie de centre O et de rapport et on la note h(O; ):
Eet sur les sous-espaces.
Proposition 1.8. L'image d'un sous-espace ane par une application ane est un sous-espace ane.
Corollaire 1.1. Toute application ane envoie trois points alignés sur trois points alignés.
Proposition 1.9. L'image réciproque d'un sous-espace ane par une application ane est un sous-espace ane.
Eet sur les barycentres.
Proposition 1.10. L'image du barycentre de (A1; 1); :::; (Ak; k)
par l'application ane est le barycentre de ((A1); 1); :::; ((Ak); k)
.
Corollaire 1.2. L'image d'un segment par une application ane est un segment.
Applications anes et repères. De même qu'une application linéaire est déterminée par l'image des vecteurs d'une base, une application ane est déterminée par l'image des points d'un repère ane. On utilise souvent la conséquence suivante de cette propriété.
Proposition 1.11. La seule transformation ane d'un espace ane de dimension n qui xe n + 1 points indépendants est l'identité.
Le groupe ane. Commençons par étudier la composition de deux applications anes.
Proposition 1.12. La composée de deux applications anes : E ! F et : F ! G est une application ane. L'application linéaire associée est la composée des applications linéaires associées
i.e. =! ! ! .
Une application ane est bijective si et seulement si l'application linéaire associée ! est bijective. Alors 1 est ane et l'application linéaire associée est l'application réciproque de celle associée à
i.e. ! 1 = !
1 .
Corollaire 1.3. Les bijections anes de E dans lui-même forment un groupe.
Ce groupe appelé le groupe ane est noté GA(E).
La proposition précédente indique que l'application !! est un homomorphisme du groupe GA(E) dans le groupe linéaire sur E, GL(E). Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble des applications anes associées à l'identité (qui est l'élément neutre de GL(E)), soit les trans- lations.
Proposition 1.13. Soit f : E ! F une application linéaire. Soit E et F deux espaces anes dirigés respectivement par E et F . Pour tous points O de E et O0 de F, il existe une unique application ane : E ! F telle que (O) = O0 et !
= f.
Corollaire 1.4. Etant donné un point O de E, toute application ane de E dans lui-même s'écrit d'une façon unique sous la forme = tu , où (O) = O.
Conjugaison des translations. On aurait pu, dans l'énoncé du précédent corollaire remplacer
" = tu " par = tv". L'application ane xant O et telle que ! =! est la même dans les deux écritures. Les vecteurs des translations sont en général diérents : on a
tu = tv 1: Les deux translations sont conjuguées.
Proposition 1.14. La conjuguée tv 1 d'une translation par un élément du groupe ane GA(E) est la translation de vecteur !
(v).
Points xes. Une application ane de E dans lui-même ayant un point xe A peut être considérée comme une application linéaire de l'espace vectorialisé EA dans lui-même. Il est donc intéressant de savoir quand une application a un point xe.
Proposition 1.15. Soit une transformation ane de E. Pour qu'elle ait un unique point xe, il faut et il sut que l'endomorphisme ! n'ait aucun vecteur xe autre que 0.
Cette condition signie que 1 n'est pas une valeur propre de !
, ou encore que !
- Id est bijectif.
Sous certaines hypothèses, on peut préciser ce qui se passe quand !
a la valeur propre 1.
Proposition 1.16. Soit une transformation ane de E. On suppose que 1 est valeur propre de ! et qu'on a une décomposition en somme directe E = Ker(! Id) Im(! Id):
Alors il existe un unique vecteur v et une unique application ane possédant un point xe tels que!
(v) = v et = tv . De plus, tv et commutent. L'application ane a un point xe si et seulement si v = 0, auquel cas l'ensemble des points xes de est un sous-espace ane dirigé par le sous-espace propre des vecteurs xes de ! .
1.3 Utilisation des applications anes : trois théorèmes de géométrie plane
On se place maintenant dans un plan ane.
Théorème de Thalès. Soit d; d0 et d00 trois droites parallèles distinctes, D1 et D2 deux droites dont aucune n'est parallèle à D. Soit Ai = Di\ d; A0i = Di\ d0; A00i = Di\ d00. Alors on a
A1A001
A1A01 = A2A002 A2A02: Réciproquement, si un point B de D1 vérie l'égalité
A1B
A1A01 = A2A002 A2A02; alors il est sur d00 et B = A001.
Ce théorème exprime qu'une projection sur un sous-espace ane (ici D2) parallèlement à une direction (ici celle de d) est une application ane.
Remarque: Rappelons la signication des rapports intervenant dans l'énoncé du théorème.
Soit A; B et C trois points alignés et soit u un vecteur directeur de la droite qui les contient.
On peut écrire AB = u, où = AB est la mesure algébrique de AB et dépend du choix! de u. Par contre le rapport AB
AC n'en dépend pas.
Corollaire 1.5. Soit D1 et D2 deux droites sécantes en A, d et d0 deux droites parallèles coupant Di en Ai; A0i distincts de A. Alors
AA1
AA01 = AA2
AA02 = A1A2
A01A02:
Le théorème suivant utilise, dans le cas où D et D0 sont sécantes, le fait que deux homothéties de même centre commutent. Dans le cas parallèle, il faut remplacer les homothéties par les translations.
Théorème de Pappus. Soit A; B; C trois points d'une droite D et A0; B0; C0 trois points d'une autre droite D0. Si AB0 est parallèle à BA0 et BC0 est parallèle à CB0, alors AC0 est parallèle à CA0.
Théorème de Desargues. Soit ABC et A0B0C0 deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles. Alors les droites AA0; BB0 et CC0 sont concourantes ou parallèles.
1.4 Rappels sur les barycentres
Proposition 1.17. Si ((A1; 1); :::; (An; n)) est un système de points pondérés tel que P i 6=
0, il existe un unique point G de E vériant l'égalité P
iGA!i = 0: Pour tout point O de E on a alors (P
i)OG =! P
iOA!i.
Le point G est appelé le barycentre du système. Il ne change pas si tous les coecients i sont multipliés par un scalaire non nul. Lorsque tous les i sont égaux, on parle d'isobarycentre.
L'isobarycentre de deux points est le milieu du segment AB, celui de 3 points A; B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Proposition 1.18. Soit ((A1; 1); :::; (An; n)) et ((B1; 1):::(Bk; k) deux systèmes de points pondérés et B le barycentre du second système. Alors le barycentre G du système
((A1; 1); :::; (An; n); (B1; 1):::(Bk; k)) est celui de ((A1; 1); :::; (An; n); ((B;P i)).
En d'autres termes on peut dans un système pondéré remplacer un sous-système par son bary- centre aecté de la somme des coecients du sous-système, à condition que celle-ci ne soit pas nulle. On peut opérer cette substitution sur plusieurs sous-systèmes à la fois, à condition qu'ils soient disjoints. Ceci est souvent appelé l'associativité du barycentre.
Corollaire 1.6. Soit G le barycentre de ((A; ); (B; ); (C; )). On suppose + + 6= 0 et + 6= 0. Alors AG et BC sont sécantes en un point A0 qui est le barycentre de ((B; ); (C; )).
1.5 Coordonnées cartésiennes en géométrie ane
Un repère ane (O; A1; :::; An) et une origine O de l'espace ane E étant xés, on peut repérer tout point M de E par les composantes du vecteur OM dans la base (! OA!1; :::;OA!n) de la direction E de E. Ces composantes sont les coordonnées cartésiennes de M dans le repère ane en question.
Sous-espaces anes. Un sous-espace ane peut être décrit par un point A et une direction, elle-même dénie par une base (u1; :::; uk) comme ceci :
F = n
M 2 Ej ! AM =P
iui
o.
Ce qui se traduit, pour les coordonnées (x1; :::; xn) de M, par 8>
>>
><
>>
>>
:
x1 = a1+ 1u11+ + ku1k :::
xn= an+ 1un1 + + kunk
;
où (a1; :::; an) sont les coordonnées cartésiennes du point A, (u1i; :::; uni) sont les composantes du vecteur ui dans la base (OA!1; :::;OA!n) de E. On appelle ces équations un système d'équations paramétriques de F.
Un sous-espace ane F dirigé par F peut aussi se décrire par des équations cartésiennes.
Une base de E étant donnée, F peut-être décrit par un système d'équations cartésiennes 8>
>>
><
>>
>>
:
1;1x1+ + 1;nxn = 0 :::
m;1x1+ + m;nxn = 0:
Soit A 2 F de coordonnées cartésiennes (a1; :::; an). Les points M de F sont caractérisés par AM 2 F ce qui se traduit par!
8>
>>
><
>>
>>
:
1;1(x1 a1) + + 1;n(xn an) = 0 :::
m;1(x1 a1) + + m;n(xn an) = 0;
ou encore par
8>
>>
><
>>
>>
:
1;1x1+ + 1;nxn = b1 :::
m;1x1 + + m;nxn = bm:
Ce sont les équations cartésiennes de F, ou plus exactement un1 système d'équations carté- siennes de F. Ce système décrit le sous-espace ane F comme l'image réciproque f 1 (b1; :::; bm)
, où f est une application linéaire de E dans Rm ou Cm.
Applications anes. Soit : E ! E0 une application ane. Supposons que E0 soit égale- ment muni d'un repère ane (O0; A01; :::; A0m). Alors les coordonnées (x01; :::; x0m) de (M), où M est le point de E de coordonnées (x1; :::; xm), s'expriment en fonction des coordonnées de M par une écriture de la forme
8>
>>
><
>>
>>
:
x01 = 1;1x1+ + 1;nxn+ b1
:::
x0m = m;1x1+ + m;nxn+ bm:
La matrice ((i;j)) dépend du choix des repères. Un bon exercice est de voir sur des exemples simples comment cette matrice change lorsque les repères changent. Cela vaut mieux que d'es- sayer d'apprendre par coeur des formules compliquées.
1En eet, on peut, en prenant des combinaisons linéaires transformer un tel système en un autre équivalent.
Chapitre 2
Géométrie euclidienne, généralités
Dans ce chapître, le corps de base est R. Les espaces considérés sont de dimension nie.
On se donne maintenant les moyens de mesurer les distances et les angles.
2.1 Espaces vectoriels et anes euclidiens
Rappelons qu'un produit scalaire sur un espace vectoriel euclidien E est une forme bilinéaire symétrique dénie positive, c'est à dire une application : E E ! R telle que
est linéaire par rapport à chacune de ses variables, est symétrique (i.e. 8 u; v 2 E ; (u; v) = (v; u))
8 u 2 E ; (u; u) 0 l'égalité ayant lieu seulement pour u = 0.
Notations: On écrira u v pour (u; v) et kuk pourp
u u. On écrit aussi u ? v pour u v = 0, ce qui dénit une relation entre sous-espaces : l'orthogonalité. On note F? l'orthogonal de F à savoir F? = fx 2 E j x y = 0 pour tout y 2 F g. On a la décomposition E = F F?. Plus généralement, si S est une partie de E, on note S? l'ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous ceux de S. C'est un espace vectoriel qui coïncide avec l'orthogonal du sous-espace engendré par S.
Dénition: Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est un espace vectoriel euclidien.
Un espace ane euclidien est un espace ane dirigé par un espace vectoriel euclidien. On dénit la distance de deux points A et B par d(A; B) = kABk, que l'on notera aussi AB.! Rappel : La dénition d'un produit scalaire et l'inégalité de Cauchy-Schwartz impliquent que k k est une norme et que d est bien une distance et vérie l'inégalité triangulaire d(A; B)
11
d(A; C) + d(C; B), avec égalité seulement si C est sur le segment AB.
Isométries. Une isométrie vectorielle entre deux espaces vectoriels euclidiens E et F est une application linéaire qui conserve la norme, i.e. kf(u)k = kuk pour tout u 2 E. Comme le produit scalaire s'exprime en fonction de la norme1, les isométries préservent le produit scalaire et en particulier l'orthogonalité.
Une application ane E ! F est une isométrie ane si elle préserve la distance entre les points, ce qui équivaut à dire que son application linéaire associée est une isométrie vectorielle.
On note O(E) l'ensemble des isométries vectorielles sur E et Isom(E) l'ensembles des isométries anes sur E.
Théorème 2.1. Les ensembles O(E) et Isom(E), munis de la composition des applications, sont des groupes.
En particulier les éléments de O(E) et Isom(E) sont des bijections. Ce n'est le cas pour les isométries d'un espace dans un autre que s'ils ont même dimension.
Exemples:
Les translations sont des isométries anes. L'application linéaire associée à une translation est l'identité.
En général une homothétie de rapport multiplie les longueurs par jj. Une homothétie n'est donc une isométrie que si = 1, auquel cas c'est l'identité, ou si = 1, auquel cas c'est une symétrie centrale.
Les symétries orthogonales sont des isométries. Si F E est un sous-espace vectoriel, la symétrie orthogonale sF est l'application linéaire qui vaut IdF sur F et -IdG sur G = F?, soit sF(y + z) = y z si y 2 F et z 2 G.
On dénit de même les symétries orthogonales anes : si F est un sous-espace ane dirigé par F et O est un point de F, M0 = F(M0) est déni par !
OM0 = sF(OM). Cette! dénition ne dépend pas du choix de O. On remarque que les symétries sont des involutions2. Un cas particulier important de symétrie orthogonale est celui où le sous-espace invariant est
un hyperplan3. Une telle symétrie est une réexion.
1Pour mémoire 4u v = ku + vk2 ku vk2.
2i.e. le carré d'une symétrie est l'identité.
3i.e. sa dimension est celle de l'espace - 1
2.2 Structure des isométries
Théorème 2.2. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Toute isométrie de E peut s'écrire comme composée de p réexions pour un entier p n.
Théorème 2.3. Soit E un espace ane euclidien de dimension n. Toute isométrie de E peut s'écrire comme composée de p réexions pour un entier p n + 1.
On verra comme conséquence de ces théorèmes que l'on peut faire la liste de tous les types d'isométries en petite dimension, 2 et 3 notamment4. Une autre conséquence est que le déter- minant d'une isométrie5 vaut toujours 1 ou 1, celui d'une réexion étant égal à -1.
Dénition: Une isométrie ane est un déplacement si son déterminant est égal à 1. Si son déterminant vaut -1, c'est un anti-déplacement.
Remarque: : Une isométrie est le produit d'un nombre pair de réexions si et seulement si c'est un déplacement.
2.3 Groupe des isométries vectorielles
Groupe orthogonal. Le groupe O(E) des isométries de l'espace vectoriel euclidien E est appelé groupe orthogonal de E. Une base orthonormée étant choisie ce groupe s'identie au groupe O(n), le groupe orthogonal sur Rn et on peut le considérer comme un groupe de matrices.
Proposition 2.1. Une matrice A est dans le groupe O(n) si et seulement si elle vérie la relation tAA = Id.
Isométries positives. Un déplacement vectoriel est aussi appelé une isométrie positive. Le sous-groupe des isométries positives est noté O+(E); O + (n) dans le cas de Rn.
Isométries planes. Le cas de la dimension 2 est spécialement important. La proposition suivante nous permettra plus tard de mesurer les angles.
Proposition 2.2. Le groupe O+(2) est isomorphe au groupe multiplicatif U des nombres com- plexes de module 1.
4En dimension 2, le résultat est un ingrédient de la démonstration plus qu'une conséquence des théorèmes.
5Dans le cas d'une isométrie ane, le déterminant est celui de l'application linéaire associée.
Plus précisément toute matrice carrée A de O+(2) est de la forme a bb a
où a2+ b2 = 1; ce qui entraîne que a + ib est un complexe de module 1. De plus l'application qui associe a + ib à la matrice a bb a
est un isomorphisme entre O+(2) et U.
Rotations, mesure des angles de rotation. Une isométrie positive d'un plan euclidien est appelé une rotation. Toute rotation de O(2) a une matrice de la forme cos sin
sin cos
!
où est un réel déni modulo 2. La rotation est appelée rotation d'angle . Un élément de O(2) qui n'est pas de la forme précédente est de la forme cos sin
sin cos
! . Il s'agit alors d'une symétrie orthogonale.
Changement de base, conjugaison. Soit E un plan vectoriel euclidien. En choisissant une base orthonormée, on obtient un isomorphisme de E dans R2 en associant à tout vecteur ses coordonnées dans la base en question. On obtient également un isomorphisme de groupes de O(E) dans O(2), et de O+(E) dans O+(2), en associant à chaque isométrie de E sa matrice dans la base.
Proposition 2.3. Soit E un plan vectoriel euclidien et soit f une isométrie positive de E. On a les égalités
pour g 2 O+(E) ; g f g 1 = f pour g 2 O (E) ; g f g 1 = f 1.
En d'autres termes la matrice d'une rotation ne change pas si on fait un changement de base direct6. Si on fait un changement de base indirect il faut changer l'angle en son opposé. On voit donc que l'angle d'une rotation dépend d'un choix d'orientation.
Cas de la dimension n. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Proposition 2.4. Soit f une isométrie vectorielle de E. Alors E est somme directe orthogonale
E = V W P1 Pr,
égalité dans laquelle les sous-espaces V et W et les plans Pi sont stables par f et où l'on a fjV = IdV, fjW = IdW et fjPi est une rotation pour chaque i; 1 i r.
6i.e. la matrice de changement de base a un déterminant positif.
En d'autres termes, on peut choisir une base orthonormée dans laquelle la matrice de f a la forme suivante
0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@
1 ...
1 1...
1
cos 1 sin 1 sin 1 cos 1
...
cos r sin r
sin r cos r
1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA :
On remarque que dét f = ( 1)dimW. Donc dimW est pair pour une isométrie positive et on peut alors écrire W comme somme directe de plans stables par f et sur lesquels f est une rotation d'angle . En d'autres termes on peut escamoter l'espace W . Il en découle que O+(n) est connexe par arcs. Il sut de remplacer tous les angles i intervenant dans la décomposition en rotations, par les angles ti; 0 t 1 pour avoir un chemin continu reliant l'identité à l'isométrie de départ. En ajoutant les translations on voit également que Isom+(E), le groupe des déplacements de E, est connexe par arcs. C'est cette propriété qui justie le choix du terme
"déplacement" pour désigner les éléments de Isom+(E). En eet elle signie qu'on peut réaliser
"physiquement" n'importe quelle isométrie ane positive en déplaçant de façon continue un repère ane orthonormé, de sa position initiale à la position occupée par son image.
Chapitre 3
Géométrie euclidienne plane
3.1 Angles
L'idée intuitive que l'on peut avoir de la notion d'angle, qui correspond plutôt à celle d'écart angulaire, est assez inadaptée à une utilisation rigoureuse. Il faut donc la remplacer par une notion un peu plus abstraite mais d'un emploi beaucoup plus souple, grâce à la fameuse "relation de Chasles".
Dans tout ce chapître on se place dans un plan euclidien P .
Proposition 3.1. Soit u et u0 deux vecteurs unitaires d'un plan vectoriel, il existe une rotation unique telle que (u) = u0.
Partant de cette proposition on réunit tous les couples de vecteurs (u; u0) correspondant à une rotation donnée. Une manière de le faire est de considérer une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples de vecteurs unitaires.
Angles orientés de vecteurs Sur l'ensemble des couples de vecteurs unitaires on dénit une relation d'équivalence en posant
(u; u0)R(v; v0) () il existe une rotation telle que (u) = u0 et (v) = v0:
Remarquons qu'il est équivalent de supposer l'existence d'une rotation 0 telle que 0(u) = v et 0(u0) = v0.
Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence de R. On notera une classe d'équivalence comme un de se représentants. Par exemple un angle nul sera représenté par (u; u) où u est un vecteur unitaire quelconque et (u; u) représentera un angle plat.
16
On peut dénir, sur l'ensemble des angles orientés de vecteurs, une addition, en utilisant la composition des rotations. En pratique cela signie qu'on a la "Relation de Chasles"
Pour tous vecteurs unitaires u; v; w; (u; v) + (v; w) = (u; w).
On dénit un angle droit comme une classe (u; v) telle que (u; v) + (u; v) = (u; u). On voit qu'il y deux angles droits correspondant aux deux rotations telles que 2 = Id et que (u; v) est un angle droit si et seulement si u et v sont orthogonaux.
Angles orientés de droites. Il ne peut être question de dénir l'angle orienté de deux droites comme l'angle orienté de leurs vecteurs unitaires car ceux-ci ne sont pas dénis de façon unique.
Par contre, si on identie un vecteur unitaire et son opposé, l'indétermination disparaît. On considère donc sur l'ensemble des angles orientés la relation d'équivalence telle que toutes les classes soient de la forme f(u; u0); (u; u0)g. Un angle orienté de droites est une telle classe d'équivalence. Même si cette dénition peut paraître abstraite, l'important est que la relation de Chasles reste valable. Si D; D0 et D00 sont trois droites, alors (D; D0) + (D0; D00) = (D; D00).
Proposition 3.2. Soit D; D0; et 0 des droites de vecteurs unitaires u; u0; v et v0. Alors 2(u; u0) = 2(v; v0) () (D; D0) = (; 0).
Tout ceci deviendra plus concret lorsqu'on mesurera les angles.
Orientation du plan et mesure des angles orientés. Supposons P orienté1. Dans ce cas la rotation associée à un angle de vecteurs (u; v) a la même matrice cos sin
sin cos
! dans toutes les bases orthonormées directes. Le nombre est déterminé modulo 2 par . C'est une mesure de l'angle (u; v).
Remarques:
Si on change l'orientation du plan, les mesures des angles sont transformées en leurs opposées.
Le nombre est, quelle que soit l'orientation choisie, une mesure de l'angle plat (u; u).
Les angles droits ont pour mesure =2 ou =2 modulo 2.
La base (u; u0) est orthonormée directe si et seulement si =2 est une mesure de (u; u0).
La relation de Chasles reste valable pour les mesures des angles orientés, sachant que c'est alors une égalité modulo 2. Pour les angles de droites, tout doit être compris modulo , puisque les angles orientés de droites ont été dénis en identiant un vecteur et son opposé.
1i.e. supposons qu'une certaine base orthonormée du plan dirigeant P est décrétée directe.
Bissectrices. La gure composée de deux droites (vectorielles ou anes sécantes) distinctes D et D0 possède deux axes de symétrie, les deux droites engendrées par les vecteurs u + u0 et u u02, où u et u0 sont des vecteurs unitaires de D et D0. Ces deux droites sont orthogonales et leur réunion constitue l'ensemble des points du plan équidistants de D et D0. De plus ce sont des bissectrices de l'angle orienté de droites (D; D0) au sens où, si est une de ces deux droites, (D; ) = (; D0). C'est une conséquence de la proposition suivante.
Proposition 3.3. Les réexions renversent les angles orientés (de vecteurs ou de droites).
Angles géométriques et bissectrice intérieure. Pour dénir un angle géométrique, on identie (u; v) et (v; u). On n'a donc plus de relation de Chasles.
Proposition 3.4. Les isométries conservent les angles géométriques.
On dénit la bissectrice intérieure d'un angle géométrique déni par deux demi-droites issues d'un point A et de vecteurs directeurs u et u0 comme la droite passant par A et de vecteur directeur u + u0. Une justication de cette terminologie est qu'on peut identier l'angle géométrique entre deux demi-droites issues d'un même point avec le secteur convexe délimité par ces deux demi-droites. En ce sens la bissectrice intérieure rencontre ce secteur convexe sur la demi-droite issue du sommet et dirigée par u + u0. L'autre bissectrice du couple de droites supportant les demi-droites ne rencontre ce même secteur qu'au sommet : c'est la bissectrice extérieure.
Dans un triangle, on appelle angles géométriques les angles géométriques des demi-droites qui dirigent les côtés du triangle.
Proposition 3.5. Une (et une seule) des deux bissectrices de l'angle en A du triangle ABC rencontre le segment BC. C'est la bissectrice intérieure de cet angle.
Mesure des angles géométriques. A un angle géométrique déni par deux vecteurs u et v, on peut associer un nombre : l'unique réel 2 [ 0; ] tel que soit une mesure de l'un des deux angles orientés (u; v) ou (v; u). De façon équivalente, c'est l'unique réel 2 [ 0; ] tel que u v = cos . On dira que est la mesure de l'angle géométrique de u et v, bien que la mesure des angles géométriques ne soit pas additive. En particulier l'addition des mesures de deux angles géométriques obtus3 ne donne pas la mesure d'un angle géométrique. C'est le
2et passant par l'intersection de D et D0 dans le cas ane sécant.
3i.e. tels que leur mesures soient éléments de ]=2; ].
genre d'inconvénient qui doit conduire à préférer l'usage des angles orientés, de vecteurs ou de droites.
Dans la suite de ce chapître, on supposera le plan orienté quand il sera question de mesurer des angles.
Rappel de quelques théorèmes sur les angles.
Proposition 3.6. Soit A; B et C trois points distincts d'un plan ane euclidien. La somme des angles orientés de vecteurs (AB;! AC) + (! BC;! BA) + (! CA;! CB) est un angle plat.!
Notons qu'il serait plus correct de remplacer les vecteurs par des vecteurs unitaires car nous avons déni les angles de vecteurs dans ce cadre. Cet abus de notation est sans conséquence.
Corollaire 3.1. Soit A; B et C trois points distincts d'un plan ane euclidien orienté. Si
; et sont des mesures des angles de vecteurs (AB;! AC); (! BC;! BA) et (! CA;! CB), alors! + + (2) et la somme des mesures des angles géométriques est exactement . Proposition 3.7. (Angles inscrits) Si A; B et C sont trois points distincts d'un cercle de centre O, on a l'égalité (OA;! OB) = 2(! CA;! CB).!
En faisant tendre le point C vers B on obtient la proposition suivante.
Proposition 3.8. Si D est la tangente en B au cercle C de centre O et si A est un point de C distinct de B, on a l'égalité d'angles (OA;! OB) = 2(AB; D):!
Notons qu'à gauche nous avons un angle orienté de vecteurs, qui se mesure modulo 2, et à droite un angle orienté de droites qui se mesure modulo . La présence du facteur 2 rend cette identité cohérente.
Corollaire 3.2. (Cocyclicite) Soit A; B et C trois points non alignés. Un point D est sur le cercle qui les contient si et seulement si les angles de droites (CA; CB) et (DA; DB) sont égaux.
On utilise souvent ce corollaire sous la forme suivante.
Corollaire 3.3. Les angles de droites (CA; CB) et (DA; DB) sont égaux si et seulement si les points A; B; C et D sont cocycliques ou alignés.
3.2 Isométries et déplacements du plan
Isométries vectorielles. Nous savons déjà qu'une isométrie vectorielle est la composée d'une ou deux réexions. La composée de deux réexions sD et s0D est une isométrie positive, donc une rotation . De plus l'angle de la rotation est le double de l'angle de droites (D; D0).
Isométries anes. Une isométrie ane est la composée d'une, de deux ou de trois réexions.
Soit une isométrie ane du plan et soit !
l'isométrie vectorielle associée. D'après ce qui précède!
est soit l'identité, soit une réexion, soit une rotation. Examinons ces trois cas.
Si !
est l'identité, est une translation.
Si !
est une réexion de droite D, alors :
soit a un point xe A et est la réexion par rapport à la droite dirigée par D et passant par A ;
soit n'a pas de point xe. Il existe alors un unique vecteur v de D et une unique réexion de droite dirigée par D telle que = tv = tv. L'isométrie est une symétrie glissée orthogonale.
Si !
est une rotation vectorielle (autre que l'identité), elle n'a aucun vecteur xe non nul.
Donc a un point xe unique A : c'est une rotation ane de centre A. Si !
est une rotation d'angle , on dit que est la rotation de centre A et d'angle , notée A;.
Pour résumer
translations rotations réexions symétries glissées ensemble pas de point un unique une droite pas de point
invariant invariant point xe de points xes xe
droites une direction pas de droite une direction une unique invariantes de droites invariante de droites droite invariante décomposition 2 droites 2 droites 1 droite 3 droites en réexions parallèles sécantes
Remarques complémentaires.
La composée de deux rotations anes 1 et 2 a pour isométrie linéaire associée !1!2. C'est donc soit une translation (ou l'identité) si !1 !2 est l'identité, soit une rotation, dans le cas contraire. Les rotations anes forment un groupe avec les translations.
Il peut être commode d'utiliser les nombres complexes en géométrie plane. Un repère ortho-
normé et une origine étant choisis, on peut identier le plan ane euclidien P à C. Au point de coordonnées (x; y), on associe le nombre complexe x + iy, son axe. Si A; M et A;(M) ont pour axes respectifs a; z et z0, alors
z0 = a + ei(z a).
3.3 Similitudes planes
Dénition: Un endomorphisme f d'un espace vectoriel euclidien est une similitude vectorielle s'il existe un réel strictement positif k, appelé rapport de la similitude, tel que, pour tout vecteur x de E, kf(x)k = kkxk.
Les isométries et les homothéties4 sont des similitudes. Par composition on les obtient toutes.
Proposition 3.9. Soit f une symétrie vectorielle de rapport k. Il existe une isométrie vecto- rielle u telle que f = hk u.
Remarque: Les similitudes vectorielles sont bijectives et forment un groupe.
Une similitude est dite directe si son déterminant est positif et indirecte dans le cas contraire.
A partir de maintenant nous nous plaçons dans le cas du plan.
Proposition 3.10. Toute similitude vectorielle directe est composée d'une homothétie de rap- port positif et d'une rotation vectorielle. Toute similitude vectorielle indirecte est composée d'une homothétie de rapport positif et d'une réexion.
Dénition: Une similitude ane est une application ane telle que l'application linéaire associée est une similitude vectorielle.
De façon équivalente, une similitude ane est une application ane telle que, pour un réel k positif et tous points M et N d'images M0 et N0, M0N0 = kMN.
Les similitudes anes forment un groupe. Comme dans le cas vectoriel, il y a des similitudes diectes ou indirectes.
Proposition 3.11. Une similitude de E qui n'est pas une isométrie a un unique point invariant.
Ce point invariant est appelé centre de la similitude.
Soit O le centre d'une similitude ane directe . Alors est composée d'une homothétie de
4Noter que le rapport de similitude d'une homothétie de rapport est jj.
centre O et de rapport k et d'une rotation de centre O et d'angle . On la note O;k;. Si deux similitudes O;k; et O;k0;0 sont telles que kk0 6= 1, alors il existe un point O00 tel que
O;k; O0;k0;0 = O00;kk0;+0.
La similitude réciproque d'une similitude directe s'exprime par la relation (O;k;) 1 = O;k 1; . L'ensemble
O;k;; O 2 E ; k 2 R+; 2 R , qui contient les rotations et les homothéties5, constitue, avec les translations, un groupe appelé le groupe des similitudes directes.
Propriétés des similitudes directes.
Les similitudes directes conservent les angles orientés.
Elles envoient une droite D sur une droite telle que (la mesure de) l'angle (D; D0) soit l'angle de la similitude modulo .
Une similitude directe de rapport k envoie un cercle de rayon R sur un cercle de rayon kR dont le centre est l'image du centre.
Etant donnés deux couples de points (A; B) et (A0; B0) tels que A 6= B et A0 6= B0, il existe une unique similitude directe telle que (A) = A0 et (B) = B0.
Utilisation des nombres complexes. En identiant à nouveau le plan ane euclidien à C, on voit que les similitudes vectorielles directes transforment un axe z en z0 = az où a 2 C et les similitudes anes transforment z en z0 = az + b, où b 2 C. Le rapport de ces similitudes est jaj et leur angle est un argument de a. De cette écriture on déduit la proposition suivante.
Proposition 3.12. Il existe une similitude directe de centre A telle que (B) = B0 et (C) = C0 si et seulement si il existe une similitude directe 0 de centre A telle que 0(B) = C et 0(B0) = C0.
Caractérisation des similitudes.
Proposition 3.13. Soit P un plan vectoriel euclidien et soit f : P ! P une application linéaire qui conserve les angles (resp. qui les renverse). Alors f est une similitude directe (resp indirecte).
3.4 Inversion et cercles orthogonaux
On se place dans un plan ane euclidien E.
Dénition: Soit O un point du plan et k un nombre réel non nul. On appelle inversion de
5A noter qu'une homothétie de rapport négatif peut s'écrire O;;jj:
pôle O et de puissance k la transformation I(O; k) : E n fOg ! E n fOg qui à tout point M, associe le point M0 de la droite OM vériant l'égalité OM ! !
OM0 = k.
Remarques:
On peut exprimer la condition OM ! !
OM0 = k sous la forme OM OM0 = k à condition d'exprimer les mesures algébriques par rapport à un vecteur unitaire de la droite OM. On peut également écrire !
OM0 = k OM2
OM:!
Une inversion est une involution, i.e. I(O; k) I(O; k) = Id, cette identité étant celle de E n fOg.
L'involution I(O; k) n'a de point xe que si k > 0, auquel cas ses points xes sont le cercle de centre O et de rayonp
k. Ce cercle est appelé le cercle d'inversion. L'inversion échange intérieur et extérieur de ce cercle.
Cette dénition, et les résultats à venir, restent valables en dimension supérieure à condition de remplacer "cercle" par "sphère" et "droite" par "hyperplan".
Eet sur les longueurs et les angles
Proposition 3.14. (Distance des images) Soit A0 et B0 les images de A et B par I(O; k).
Leur distance s'exprime par la formule
A0B0 = jkjAB OA OB.
Proposition 3.15. Une inversion de pôle O est un diéomorphisme6 de E nfOg dans lui même.
La diérentielle de I = I(O; k) au point M est l'application linéaire dIM : E ! E dénie par dIM(u) = k
OM2 u 2
OM u! OM2
OM!
! .
La diférentielle dIM est donc la composée de la réexion par rapport à la droite vectorielle orthogonale à OM et d'une homothétie. En particulier, dIM transforme un angle orienté en son opposé. Si deux courbes se coupent en A et ont pour vecteur directeurs de leurs tangentes u et v, leurs images par une inversion I de pôle distinct de A se coupent en A0 = I(A). Des vecteurs directeurs de leurs tangentes seront les images par dIA de u et u0 et auront donc un angle opposé à (u; u0).
Corollaire 3.4. Les inversions transforment tout angle orienté en son opposé.
6i.e. une application bijective et diérentiable dont l'application réciproque est diérentiable.
On peut aussi dire qu'une inversion conserve les écarts angulaires. En particulier les images de deux courbes tangentes en un point sont tangentes en l'image de ce point. Idem pour l'ortho- gonalité.
Inversions et homothéties
Proposition 3.16. La composée I(O; k) I(O; k0) de deux inversions de même pôle est la restriction à E n fOg de h(O; k=k0). La composée h(O; ) I(O; k) est I(O; k).
On peut utiliser cette proposition pour remplacer une inversion de puissance négative par la composée d'une inversion de puissance positive et d'une symétrie par rapport au pôle :
I(O; k) = h(O; 1) I(O; k)
Rappels : puissance d'un point par rapport à un cercle, orthogonalité.
Proposition 3.17. Soit C un cercle de centre O et de rayon R, A un point du plan. Alors pour toute droite D passant par A et coupant C en deux points7 M et M0 la quantité AM ! !
AM0 vaut AO2 R2.
En particulier !
AM !
AM0 ne dépend pas du choix de la sécante D. C'est la puissance de A par rapport à C et on la note PA(C).
Remarque: Lorsque A est à l'intérieur du cercle, PA(C) est strictement négatif. Lorsque A est à l'extérieur du cercle, PA(C) est strictement positif et PA(C) est nul lorsque A est sur le cercle.
Dénition: Deux cercles sont orthogonaux s'ils sont sécants et si leurs tangentes respectives aux points d'intersection sont perpendiculaires.
Proposition 3.18. Soit C et C0 deux cercles de centres et rayons respectifs O; O0 et R; R0. Ils sont orthogonaux si et seulement si OO02= R2+ R02.
On remarque que cette condition équivaut à PC0(O) = R2 ou à PC(O0) = R02.
Proposition 3.19. Soit I une inversion de cercle C8. Soit M un point du plan et M0 = I(M).
Alors tous les cercles passant par M et M0 sont orthogonaux à C.
Images des droites et des cercles. Il est clair que l'image d'un cercle centré sur le pôle est un cercle centré sur le pôle et que l'image d'une droite passant par le pôle9 est une droite passant par le pôle. Le cas général fait l'objet du théorème suivant.
7éventuellement confondus si D est tangent à C.
8i.e. C est le cercle d'inversion de I.
9et à laquelle on a pris soin d'enlever le pôle.
Théorème 3.1. Soit I une inversion de pôle O. L'image par I d'une droite ne passant pas par O est un cercle passant par O, d'un cercle passant par O est une droite ne passant pas par O
d'un cercle ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O.
Remarques:
L'image du centre d'un cercle ne passant pas par O n'est jamais le centre du cercle image.
Si l'on admet
l'existence d'un "point à l'inni" noté 1, que I(O) = 1 et I(1) = O,
que les droites sont les cercles passant par 1,
alors le théorème précédent peut se contracter en "l'image d'un cercle est un cercle".
Axe radical de deux cercles.
Dénition: Soit C et C0 deux cercles non concentriques. Leur axe radical est l'ensemble des points du plan qui ont même puissance par rapport à C et C0.
Proposition 3.20. L'axe radical de deux cercles est une droite perpendiculaire à la droite passant par leurs centres.
Remarque: Cette proposition fournit une construction immédiate de l'axe radical de deux cercles sécants. Les points d'intersection ont une puissance nulle par rapport à chacun des cercles et l'axe radical est la droite passant par ces deux points d'intersection. Si les deux cercles ne sont pas sécants on introduit un troisième cercle C00 coupant les deux précédents. Les axes radicaux (C; C00) et (C0; C00) sont sécants si le centre de C00 n'est pas aligné avec ceux de C et C0. Le point d'intersection de (C; C00) et (C0; C00) a même puissance par rapport aux trois cercles et se trouve donc sur (C; C0). On peut construire un autre point de (C; C0) en faisant varier C00 et on trace la droite passant par les deux points construits.
Chapitre 4
Géométrie euclidienne dans l'espace
4.1 Isométries et déplacements dans l'espace
Les isométries vectorielles. Une isométrie vectorielle est composée d'une, de deux ou de trois réexions. Dans une base orthonormée bien choisie, l'isométrie f a une matrice A de la forme suivante :
Soit A = 0 BB BB
@
1 0 0 0 1 0
0 0 1
1 CC CC
A, cas où f est une réexion de plan engendré par les deux premiers vecteurs de base,
soit A = 0 BB BB
@
1 0 0
0 cos sin 0 sin cos
1 CC CC
A, cas où f est une rotation d'axe la droite engendré par le premier vecteur de base,
soit A = 0 BB BB
@
1 0 0
0 cos sin 0 sin cos
1 CC CC
A, auquel cas f est une anti-rotation.
Remarque: Il est tentant, dans le cas d'une rotation, de dire que est l'angle de la rotation.
Toutefois si on échange l'ordre des deux derniers vecteurs de base, est changé en son opposé.
Il faut donc choisir une orientation de l'espace. Même dans ce cas, si on remplace le premier vecteur de base par son opposé, il faut échanger les deux derniers vecteurs de base pour avoir une base directe, ce qui équivaut à nouveau à changer en . Pour parler de l'angle d'une
26
rotation il faut donc une orientation de l'espace et de l'axe.
Les isométries anes. D'après ce qui précède, toutes les isométries vectorielles à part les anti-rotations ont la valeur propre 1. Soit une isométrie ane de l'espace et soit! l'isométrie linéaire associée.
Si !
est l'identité, est une translation.
Si ! est une réexion de plan P , alors
soit a un point xe A et est la réexion par rapport au plan dirigé par P et passant par A ;
soit n'a pas de point xe : alors il existe un unique vecteur v de P et une unique réexion de plan dirigé par P telle que
= tv = tv. L'isométrie est dite symétrie glissée orthogonale.
Si ! est une rotation d'axe D, alors
soit a un point xe A et est une rotation d'axe passant par A et dirigé par D,
soit n'a aucun point xe et il existe un unique vecteur v de D et une unique rotation d'axe D dirigé par D telle que
= tv = tv. L'isométrie est dite vissage d'axe D.
Si !
est une anti-rotation, elle n'a pas de vecteur xe non-nul et donc a un unique point xe. On dit que est une anti-rotation. C'est la composée d'une rotation d'axe passant par A et d'une réexion par rapport au plan perpendiculaire à cet axe et passant par A.
4.2 Produit vectoriel, calcul d'aires
Dans cette partie, l'espace E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Dénition: On dénit le produit vectoriel, une opération sur les vecteurs, par si u et v sont colinéaires, u ^ v = 0,
si u et v ne sont pas colinéaires, u ^ v = w, l'unique vecteur orthogonal à u et v,
de longueur kukkvk sin où est une mesure de l'angle (u; v), et tel que (u; v; w) soit une base directe.
Remarques:
Si u et v sont deux vecteurs orthogonaux de longueur 1, (u; v; u^v) est une base orthonormée directe.
Si on change l'orientation de l'espace, le résultat du produit vectoriel est changé en son opposé.
Proposition 4.1. Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée de E E dans E.
Le produit u ^ v est nul si et seulement si u et v sont colinéaires.
Proposition 4.2. Dans une base orthonormée directe, les coordonnées du produit vectoriel s'expriment par les formules
0 BB BB
@ a b c
1 CC CC A^
0 BB BB
@ x y z
1 CC CC A=
0 BB BB
@
bz cy cx az ay bx
1 CC CC A.
Calcul d'aires planes. On se place dans un plan ane euclidien P orienté et on le considère comme un sous-espace d'un espace ane de dimension 3 également orienté. Il existe un unique vecteur unitaire u, orthogonal à P tel que toute base directe de P complété par u soit une base directe de E.
Soit A; B et C trois points de P. Le produit vectoriel AB ^! AC est orthogonal à P donc est! colinéaire à u :
AB ^! AC = u.!
La valeur de jj est AB AC sin où est l'angle (AB;! AC). On reconnaît l'aire du parallélo-! gramme ACDB, D étant déterminé de manière unique.
Dénition: On appelle aire orientée d'un triangle ABC l'unique nombre réel A(ABC) véri- ant l'égalité
1 2
AB ^! !
AC = A(ABC)u:
Notons que l'aire orientée du triangle ABC est la moitié du déterminant ( ! AB; !
AC) dans une base orthonormée directe.
Proposition 4.3. Soit ABC un triangle. Les coordonnées barycentriques d'un point M sont proportionnelles aux aires orientées des triangles MBC; MCA; MAB.
En d'autres termes A(MBC) !
MA + A(MCA) !
MB + A(MAB) ! MC = 0.
Chapitre 5
Coniques et quadriques
5.1 Quadriques et coniques anes, généralités
Dénition des quadriques anes.
Dénition: Un polynôme de degré 2 sur un espace ane E est une application de la forme
M !P
ai;jxixj+P
bixi+ c où les xi sont les coordonnées cartésiennes du point M dans un repère ane et les coecients ai;j; bi et c sont des constantes réelles ou complexes telles que Pai;jxixj ne soit pas identiquement nul.
Remarques:
Cette écriture dépend du choix du repère ane.
On peut donner une dénition plus intrinsèque d'un polynôme de degré 2 sans faire appel aux coordonnées. Il faut alors supposer l'existence d'un point O, d'une forme quadratique non nulle q, d'une forme linéaire LO et d'une constante cO telles que
f(M) = q(OM) + L! O(OM) + c! O.
Si on change le point O dans l'écriture précédente la forme quadratique q ne change pas tandis que LO et cO changent.
Notation: On note la relation d'équivalence dénie sur les polynômes du second degré par f g si et seulement si g est un multiple scalaire de f.
Dénition: On appelle quadrique ane la classe d'équivalence d'un polynôme du second degré f : E ! R (ou C) sous la relation . Une quadrique plane est appelée conique.
L'ensemble des points M de E vériant f(M) = 0 est l'image de la quadrique.
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Remarque: Si on suit strictement cette dénition, on est amené à appeler un cercle la classe d'équivalence du polynôme x2 + y2 = 1 sous la relation et à parler de l'image du cercle pour désigner les points dont les coordonnées, dans un repère orthonormé, vérient l'équation x2+ y2 = 1. Dans la pratique on confondra souvent une quadrique et son image.
Dénition: La quadrique de l'espace ane dénie par le polynôme f(M) = q(OM) + L(! OM) + c!
est dite propre si la forme quadratique dénie sur E R (ou C) par Q(u; z) = q(u) + L(u)z + cz2
est non dégénérée. Cette forme quadratique est dite homogénéisée de q.
Remarque: Cette propriété est indépendante du choix de O, bien que Q le soit, et la dénition est bien cohérente.
Exemples:
Pour f(M) = xy, on a Q(x; y; z) = xy qui est dégénérée. L'image de la conique est une paire de droites sécantes et correspond à l'image qu'on peut avoir d'une conique dégénérée.
Pour f(M) = x2+ y2 1, on obtient Q(x; y; z) = x2+ y2 z2. La forme Q est non dégénérée et le cercle est une conique propre.
Intersection d'une quadrique et d'une droite. Comme l'équation d'une quadrique est de degré 2, chercher les points d'intersection de l'image d'une quadrique et d'une droite revient à résoudre une équation du second degré. Soit D une droite de vecteur directeur u et passant par un point A. On peut écrire l'équation de la quadrique C sous la forme
q(AM) + L! A(AM) + c! A= 0.
Le point M est sur D si et seulement si AM = u pour un scalaire . Il est donc dans D \ C! si et seulement si
2q(u) + LA(u) + cA = 0 z:
Si q(u) = LA(u) = cA= 0, la droite D est contenue dans (l'image de) C.
Si q(u) = LA(u) = 0 et cA6= 0, la droite D ne rencontre pas C.
Si q(u) = 0 et LA(u) 6= 0, D rencontre C en un unique point simple.
Si q(u) 6= 0; la droite D rencontre C
