Chapitre 31 Géométrie ane

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Chapitre 31 Géométrie ane

Dans tout ce chapitre,Edésigne un espace vectoriel euclidien. Les éléments deEsont appelés des points. Pour tous points A, B de E, on note −−→

AB = B−A. On notera les points par des lettres majuscules et les vecteurs par des lettres minuscules surmontées d'une èche.

I - Espaces anes I.1 - Translations Définition 1 (Translation).

Soit −→u ∈ E. On appelle translation de vecteur −→u, notée t⁻^→_u l'application t⁻^→_u : E → E, M 7→M +−→u.

Propriété 1 (Propriétés des translations). Soient−→u , −→v deux vecteurs deE. (i). t⁻^→₀ = Id_E.

(ii). t⁻^→_u₊⁻^→_v =t⁻^→_u ◦t⁻^→_v =t⁻^→_v ◦t⁻^→_u.

(iii). L'application t⁻^→_u est bijective et sa bijection réciproque estt₋₋^→_u. (iv). Si −→u 6=−→

0E, l'applicationt⁻^→_u ne possède pas de points invariants.

I.2 - Sous-espaces anes

Définition 2 (Sous-espace affine, Direction).

SoientF un sous-espace vectoriel de E etA un point deE.

(i). On appelle sous-espace ane de E, passant par A et de direction F, l'ensemble noté A+F déni parA+F ={A+−→u , −→u ∈F}.

(ii). Si dimF =p, on dit queA+F est un sous-espace ane de dimension p. Si p= 1 on parle de droite ane, si p= 2de plan ane, si p= dimE−1d'hyperplan ane.

(iii). Si (u₁, . . . , u_p) est une base de F, on dit que (u₁, . . . , u_p) sont des vecteurs directeurs de A+F.

Propriété 2 (Choix d’une origine).

SoientF un sous-espace vectoriel deE,Aun point de E etF le sous-espace ane deE passant par Aet dirigé parF. Alors, pour tout point A⁰ de F,

F =A⁰+F et F ={−−→

A⁰M , M ∈F}.

I.3 - Intersections de sous-espaces anes Définition 3 (Parallélisme).

SoitF1 (resp. F2) un sous-espace ane de E de direction F1 (resp.F2).

(i). On dit que F1 est parallèle à F2 siF1⊂F2. (ii). On dit que F1 etF2 sont parallèles si F₁ =F₂. Propriété 3 (Intersection de sous-espaces affines).

Soit F1 (resp. F2) un sous-espace ane de directionF1 (resp.F2). Alors, F1∩F2 est, soit vide, soit un sous-espace ane de direction F₁∩F₂.

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Corollaire 1 (Intersection & Parallélisme).

SoientF etG deux sous-espaces anes de E.

(i). Si F est parallèle à G, alors F ∩G =∅ ouF ⊂G. (ii). Si F etG sont parallèles, alors F∩G =∅ ouF =G. Propriété 4 (Intersections & Sommes).

SoitF1 (resp. F2) un sous-espace ane de E de direction F₁ (resp.F₂).

(i). Si E =F₁+F₂, alors F1∩F26=∅.

(ii). Si E =F₁⊕F₂, alors F1∩F2 est réduit à un singleton.

I.4 - Formules de changement de repère

On suppose ici que E est un espace vectoriel de dimensionn. Définition 4 (Repère cartésien).

On appelle repère cartésien deE tout couple (O,B), où O est un point de E etB une base deE.

Définition 5 (Coordonnées cartésiennes).

SoitF un sous-espace ane de directionF, non réduit au singleton{0_E}, et p= dimF. Soit O ∈ F et B = (e1, . . . , ep) une base de de F. Pour tout point M de F, il existe un unique p-uplet(u₁, . . . , u_p)∈R^p tel que M =O+

p

P

i=1

x_ie_i. Lep-uplet(x₁, . . . , x_p)est appelé coordonnées cartésiennes de M dans le repèreR = (O,B).

Propriété 5 (Formules de changement de base).

SoientR = (O,B) et R⁰ = (O⁰,B⁰) deux repères cartésiens de E. On note Ω =−−→

OO⁰ et P =M_B(B⁰) la matrice de passage de B à B⁰. Pour tout pointM de E, on note X (resp.

X⁰) ses coordonnées dans le repèreR (resp.R⁰). Alors, X= Ω +P X⁰ etX⁰=P⁻¹(X−Ω).

II - Applications anes II.1 - Dénition et propriétés Définition 6 (Application affine).

Soient E, E⁰ deux espaces vectoriels et f : E → E⁰. On dit que f est une application ane deE dansE⁰ s'il existe un morphisme ϕ∈L(E, E⁰)tel que pour tous pointsM, P ∈ E,−−−−−−−→

f(M)f(P) =ϕ(−−→

M P). On note alors f(P) =f(M) +ϕ(−−→

M P).

ϕest appelée la partie linéaire deF. Nous noteronsA(E)l'ensemble des applications anes de E dansE.

Exercice 1.Soientf une application ane,M, N deux points deE et−→u tel queM =N+−→u. Montrer quef(M) =f(N) +ϕ(−→u).

Propriété 6.

Soitf (resp. g) une application ane de E dansE de partie linéaireϕ(resp. ψ).

(i). f est bijective si et seulement siϕest bijective. Alors,f⁻¹est une application ane de partie linéaireϕ⁻¹.

(ii). g◦f est une application ane de partie linéaireψ◦ϕ.

Exercice 2.Déterminer l'ensemble des applications anes qui ont pour partie linéaire IdE.

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Théorème 2 (Stabilité).

Les applications anes conservent. . . (i). . . . le parallélisme.

(ii). . . . l'alignement.

Lemme 1.

Soit f ∈ A(E) de partie linéaire ϕ et F = A+F un sous-espace ane de E. Alors, f(F) est un sous-espace ane deE etf(F) =f(A) +ϕ(F).

Définition 7 (Barycentre).

Soientpun entier naturel non nul,A₁, . . . , A_p des points deE etλ₁, . . . , λ_p des réels tels que P^p

k=1

λk 6= 0. Il existe un unique point G ∈ E tel que P^p

i=1

λi

−−→GAi = 0E. On l'appelle le barycentre du système pondéré{(A₁, λ₁), . . . ,(A_p, λ_p)}.

Théorème 3 (Propriétés des barycentres).

SoitGle barycentre des points poindérés {(A₁, λ1), . . . ,(Ap, λp)}. (i). Pour tout pointO de E,−−→

OG= p¹

P

i=1

λi

p

P

i=1

λi

−−→OAi.

(ii). Pour tout réel non nul α, G est le barycentre des points pondérés {(A₁, αλ₁), . . . ,(A_p, αλ_p)}.

(iii). Pour tout k < p, si P^k

i=1

λi 6= 0, alors G est le barycentre des points pondérés {(G₁,

k

P

i=1

λi),(A_k+1, λ_k+1), . . . ,(Ap, λp)}, où G1 est le barycentre des points pondérés {(A₁, λ₁), . . . ,(A_k, λ_k)}.

Les applications anes conservent les relations barycentriques.

II.2 - Premiers exemples Définition 8 (Homothétie).

Soitλ6= 0. Une homothétie de rapportλest une application ane deE de partie linéaire λId_E.

Exercice 3.Montrer que toute homothétie possède un unique point xe.

Propriété 7 (Propriétés des homothéties).

(i). L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

(ii). Soit h (resp.h⁰) une homothétie de rapport λ (resp. λ⁰), où λλ⁰ 6= 1. Alors, h◦h⁰ est une homothétie.

Exercice 4.Déterminer l'ensemble des applications anes qui transforment toute droite en une droite qui lui est parallèle.

Définition 9 (Projection, Symétrie).

SoientF etG deux sous-espaces anes deEde directionsF etGsatisfaisantF⊕G=E. (i). Soit π la projection sur F parallèlement à G. Pour tout point M de E,F ∩(M+G) est un singleton. On note p(M) ce point. L'application p : E → E, M 7→ p(M) est appelée projection sur F parallèlement à G.

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(ii). Pour tout pointM deE, on appelle symétrique deM par rapport àF et parallèlement à G l'unique points(M) satisfaisants(M) =M+ 2−−−−−→

M p(M).

III - Isométries

On suppose dans la suite que E est un espace vectoriel de dimension 2ou 3. III.1 - Généralités

Définition 10 (Isométrie).

Soitfune application ane deE. On dit quef est une isométrie sif conserve la distance, i.e.

∀M, P ∈E, f(M)f(P) =M P.

Théorème 5 (Isométries & Automorphismes orthogonaux).

Soitf ∈A(E). L'applicationf est une isométrie si et seulement si sa partie linéaire est un automorphisme orthogonal de E.

Corollaire 6 (Structure).

L'ensemble des isométries anes deE, notéI(E), muni de la loi de composition, est un groupe.

Théorème 7.

Toute application préservant la distance est une isométrie ane.

Définition 11 (Déplacement / Antidéplacement). Soitf ∈I(E)de partie linéaire ϕ.

(i). Si detϕ= 1, alors f est appelée déplacement.

(ii). Si detϕ=−1, alors f est appelée antidéplacement.

L'ensemble des déplacements est noté I⁺(E). Théorème 8 (Réflexion).

Soient A, B ∈ E deux points distincts de E. Il existe une unique réexion f telle que f(A) =B etf(B) =A. C'est la réexion par rapport à l'hyperplan passant par I milieu de [AB]et de direction Vect{−−→

AB}^⊥. III.2 - Isométries du plan

On suppose que E est de dimension2. Théorème 9 (Classification des déplacements).

Soitf ∈I⁺(E) de partie linéaire ϕ. Alors,

∗ soit f est une translation,

∗ soitf admet un unique point xeA. Alors, pour tout pointM deE,−−−−→

Af(M)est l'image du vecteur −−→

AM par la rotation vectorielle ϕ. On dit que f est une rotation ane de centreA.

Propriété 8 (Décomposition).

Tout déplacement du plan est la composée de deux réexions.

Définition 12 (Réflexion glissée).

On appelle réexion glissée la composée d'une réexion et d'une translation parallèle à l'axe de la réexion.

Propriété 9 (Classification des antidéplacements).

Tout antidéplacement est une réexion glissée.

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III.3 - Isométries de l'espace

On suppose que E est de dimension3. Propriété 10 (Classification des déplacements).

Soitf un déplacement deEdiérent de l'identité admettant au moins un point invariant.

Notons ϕsa partie linéaire.

(i). ϕest une rotation vectorielle diérente de l'identité.

(ii). L'ensemble des points invariants par f est une droite dont la direction est l'axe deϕ. Définition 13 (Rotation affine, Demi-tour).

(i). Une rotation de E est un déplacement qui possède au moins un point invariant.

(ii). Si r est une rotation diérente de l'identité, l'axe de r est l'ensemble des points D invariants par r. Si −→u est un vecteur directeur unitaire de la direction D de D, on appelle mesure de l'angle der autour deD, orienté par −→u, toute mesure de la rotation vectorielle ρ associée autour de−→u.

(iii). On appelle demi-tour ou retournement autour d'une droite D, la rotation d'axe D et d'angleπ.

Définition 14 (Vissage).

SoientD une droite orientée,θun réel et−→u un vecteur directeur de la direction deD. On appelle vissage d'angle θ autour de D et de vecteur directeur−→u la composée de la rotation d'angleθautour deD et de la translation de vecteur−→u. Cette composition est commutative.

Théorème 10 (Classification des déplacements).

Soitf un déplacement deE qui n'est pas une translation. Il existe une unique rotationr et une unique translationtdont le vecteur est dans la direction de l'axe der tel quef =t◦r. Lemme 2.

SoitD une droite de direction Det−→u ∈D. Sif est un vissage composé det⁻^→_u et d'une rotation d'angle non nul autour de D, alors la droite D est invariante par f et aucune autre droite parallèle à D n'est invariante parf.

Lemme 3.

Soit r une rotation diérente de l'identité, d'axe D et t une tranlsation de vecteur −→u orthogonal àD. L'application t◦r est une rotation d'axe parallèle àD.

Propriété 11 (Composée de réflexions et de translations). SoientP1 etP2 deux plans distincts.

(i). SiP1etP2 sont parallèles, alorss_P₂◦s_P₁ est une translation de vecteur−→u orthogonal à P1 etP2.

(ii). Si −→u est une vecteur non nul orthogonal à P1, alors il existe deux plans P2 et P₂⁰ parallèles àP1 tels que t⁻^→_u =s_P₂ ◦s_P₁ =s_P₁ ◦s_P⁰

2. Propriété 12 (Décompositions).

(i). Soient P1 et P2 deux plans distincts d'intersection non videD. Alors, s_P₂ ◦s_P₁ est une rotation d'axeD.

(ii). Soient r une rotation d'axe D etP1 un plan contenantD. Alors, il existe deux plans P2 etP2⁰ contenantD tels quer =s_P₂◦s_P₁ =s_P₁ ◦s_P⁰

2.

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IV - Similitudes du plan

Soit E un espace vectoriel orienté de dimension 2. IV.1 - Généralités

Définition 15 (Similitude).

Soit f une application ane deE. On dit que f est une similitude s'il existe un réel α strictement positif tel que

∀M, P ∈E, f(M)f(P) =αM P.

Le réel α est appelé rapport de la similitude.

Théorème 11 (Décomposition des similitudes).

Soitgune similitude de rapportλ. Il existe une homothétiehde rapportλet une isométrie f du plan telle que g=f◦h.

Théorème 12 (Structure).

L'ensemble des similitudes muni de la loi de composition est un sous-groupe de l'ensemble des applications anes bijectives.

IV.2 - Similitudes directes du plan Définition 16 (Similitude directe).

Soitsune similitude de rapportλet de partie linéaireϕ. On dit quesest une similitude directe si ¹_λϕest une rotation vectorielle.

Théorème 13 (Structure).

L'ensemble des similitudes directes est un sous-groupe de l'ensemble des similitudes.

Soitsune similitude directe de rapportλ. (i). sconserve les angles orientés.

(ii). Si A est une partie de R² d'airea, alors s(A) est d'aire λ²·a. Propriété 13 (Interprétation complexe).

SoitR= (O,−→ i ,−→

j) un repère orthonormé direct. On identie le plan orienté euclidien à Cet donc tout pointM à son axez. Soitsune similitude directe. Il existe un unique couple (a, b)∈C^?×Ctel que pour tout nombre complexe z, on a s(z) =az+b. Réciproquement, toute application dénie de cette manière est une similitude directe.

IV.3 - Détermination pratique des éléments d'une similitude directe