I.Sous-espacesanes Index Plan Rédactionincomplète.Versionalpha Espacesanes

Espaces anes

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Sous-espaces anes . . . 1

1. Direction d'un sous-espace ane . . . 1

2. Barycentres . . . 2

3. Repères et bases anes. . . 2

II. Applications anes . . . 3

1. Dénition. . . 3

1.Partie linéaire . . . 3

2.Exemples. . . 3

3.Barycentres . . . 3

2. Opérations . . . 3

3. Expression en coordonnées. . . 3

4. Points xes . . . 3

III. Isométries anes d'un plan ou d'un espace. . . 3

1. Isométries anes. . . 3

2. Classication. . . 5

1.Dans un plan. . . 5

2.Dans un espace. . . 5

3. Similitudes directes d'un plan. . . 5

Index

antidéplacement,4

barycentre d'une famille de points pondérés,2 déplacement,4

isométrie,3

points xes d'une application ane,3 projection ane,2

question de cours

caractérisation d'une isométrie,3 classication des isométries

espace,5 plan,5 réexion glissée,5 rotation ane,4 rotation-miroir ane,5 symétrie ane,4 symétrie glissée,5 vissage, 5

I. Sous-espaces anes

1. Direction d'un sous-espace ane

Dénition. SoitE unK-espace vectoriel etAune partie deE. Pour tout élémentαdeA, on pose Aα={a−α, a∈ A}

Dénition. SoitE unK-espace vectoriel etAune partie deE. Pour tout élémentxdeE, on pose x+A={x+u, u∈ A}

Remarque. Par dénition :

A=a0+Aα={α+x, x∈Aa₀}

Proposition. SoitAune partie d'unK-espace vectorielE pour laquelle il existe una0∈ Atel que A_a0 ={a−a₀, a∈ A}

est un sous-espace vectoriel deE. Alors, pour touta1∈ A:

Aa₁={a−a1, a∈ A}=Aa₀

Preuve. On doit prouver deux inclusions.

Montrons queAa1⊂Aa0. Soitu1∈Aa1, il existe α∈ Atel que u1=α−a1. Alors u₁=α−a₀

| {z }

∈Aa0

−(a₁−a₀)

| {z }

∈Aa0

∈A_a0 (stable par addition)

Montrons queAa0⊂Aa1. Soitu0∈Aa0, il existe α∈ Atel que u0=α−a0. u₀=α−a₀+a₁−a₁=a₁+ (α−a₁

∈A1

)−(a₀−a₁

∈A1

)

| {z }

∈A1

| {z }

∈A1

−a₁∈A₁

Dénition. On dira qu'une partie A d'un K espace vectoriel E est un sous-espace ane si et seulement si il existe una₀∈ Atel que

A_a0 ={a−a₀, a∈ A}

est un sous-espace vectoriel deE. Ce sous-espace vectoriel, indépendant dua₀ d'après la pemière proposition est appelé la direction du sous-espace ane.

Remarque. Un singleton est un sous-espace ane de direction{0E}.

Dénition. On dira que deux sous-espaces anes sont parallèles lorsque la direction de l'un est incluse dans la direction de l'autre.

Proposition. Soit A un sous-espace ane de direction A et B un sous-espace ane de direction B. Lorsque A ∩ B est non vide, c'est un sous-espace ane de directionA∩B.

Preuve. à rédiger

Remarque. LorsqueA∩B={0E}, l'intersectionA ∩ B est soit vide soit réduite à un singleton.

Proposition. Soit A un sous-espace ane de direction A et B un sous-espace ane de direction B. Lorsque A+B=E, l'intersectionA ∩ B est non vide.

Preuve. à rédiger

Proposition. SoitA un sous-espace ane de direction A etB un sous-espace ane de direction B. LorsqueA etB sont supplémentaires, l'intersectionA ∩ B est un singleton.

Preuve. à rédiger

Dénition. Soit A un sous-espace ane de direction A, soitB un sous-espace vectoriel supplémentaire de A. La projection sur A parallélement à B est l'application qui à tout point m de E associe l'unique élément de A ∩(m+B).

2. Barycentres

Proposition (barycentre d'une famille de points pondérés). Soit (a1,· · ·, ap) une famille de p points de E et α1,· · · , αp)une famille depéléments deK tels que

α1+· · ·+αp6= 0

Il existe alors un uniqueb tel que

α1(b−a1) +· · ·+αp(b−ap) = 0E ⇔b= α₁ Pp

i=1αi

ai+· · ·+ α_p Pp

i=1αi

ap

Il est applelé barycentre de la famille de points pondéré((ai, αi))_i∈

J1,pK et noté B((ai, αi))_i∈

J1,pK

Dénition. On dira qu'une partie A de E est stable par barycentration lorsque, le barycentre d'une famille pondérée (de somme non nulle) quelconque de points deAest dansA.

Proposition. Une partieA deE est ane si et seulement si elle est stable par barycentration.

Preuve. Montrons d'abord que suAest ane alors elle est stable par barycentration.

à rédiger

Montrons maintenant que siAest stable par barycentration, alors c'est une sous-espace ane.

Soita∈ Axé. On doit montrer que Aa est un sous-espace vectoriel.

Soitx∈Aetλ∈K. Soitax=a+x∈ A. Considérons le barycentrebde((ax, λ),(a,1−λ)). Par hypothèse b∈ Adoncb−a∈Aa et

λ(ax−b) + (1−λ)(a−b) = 0E⇒λ(ax−a) =b−a⇒λx∈Aa

SoitxetydansAa, notonsax=a+xet ay=a+y les deux points deAassociés. Considérons le milieum de ces deux points. C'est l'isobarycentre donc il est dansA. On en tire

x+y= 2(m−a)∈Aa

carm−a∈A_a et en utilisant la stabilité par multiplication déjà montrée.

Parties convexes. Une partie est convexe si set seulement si elle est stable par barycentration positive (corps = R).

3. Repères et bases anes

Repère ane. Fonction coordonnées dans un repère ane. Base ane. Coordonnées barycentriques. Sous-espace ane engendré par une partie. C'est l'intersection de tous les sea contenant cette partie. C'est aussi l'ensemble des barycentres des familles de points de la partie.

II. Applications anes

TRÈS INCOMPLET : de simples notes ...

1. Dénition

1. Partie linéaire Dénition deϕa par

∀u∈A:ϕa(u) =f(a+u)−f(a)

Proposition-dénition : siϕ_a est linéaire alors tous lesϕ_b sont égaux àϕ_a. On dit alors quef est ane de partie linéaireϕ(on enlève l'indice dans la notation). Exemples homothéties, translations.

Dans la suitef est ane de partie linéaireϕ. 2. Exemples

Translations et homothéties, fonctions coordonnées dans un repère, projections anes.

Siu∈E et f ∈ L(E), l'applicationm7→u+f(m)est ane. Réciproque.

3. Barycentres

Proposition (conservation des barycentres). Soit F une appliaction ane de E dansE. Pour toute famille de points pondérés((a1, m1),· · · ,(ap, mp))avec m=m1+· · ·+mp6= 0, le pointsF(b)est le barycentre de la famille ((F(a1), m1),· · ·,(F(ap), mp)).

Preuve. à rédiger

Réciproquement toute application qui conserve la barycentration au sens précédent est ane.

L'image d'une partie convexes par une application ane est une partie convexe.

2. Opérations

Espace vectoriel. Composition. Propriété de la fonction partie linéaire. Groupe ane. Une application ane deE dansE est bijective si et seulement si sa partie linéaire est bijective. Groupe des homothéties-translations.

3. Expression en coordonnées 4. Points xes

Proposition. Soit F une application ane de E dans lui même de partie linéaire f. Lorqu'il est non vide, l'ensemble des points xes pourF est un sous-espace ane de directionker(f−IdE).

Preuve. à rédiger

Proposition. SoitF une application ane de E dans lui même de partie linéairef. Il existe un point xe pour F si et seulement si il existea∈E tel queF(a)−a∈Im(f−Id_E).

Preuve. à rédiger

Proposition. Soit F une application ane de E dans lui même de partie linéaire f. L'ensemble des points invariants est un singleton si et seulement siϕ−IdE est bijective.

Preuve. à rédiger

III. Isométries anes d'un plan ou d'un espace

1. Isométries anes.

Dans un espace euclidienE, la distance entre deux pointsaetbest la norme de la diérenced(a, b) =kb−ak. Dénition. Une isométrie est une application d'un espace euclidien dans lui même qui conserve la distance.

Proposition (caractérisation d'une isométrie). Une application d'un espace euclidien dans lui même est une isométrie si et seulement si elle est ane et de partie linéaire orthogonale.

Preuve. SoitF une application d'un espace euclidien Edans lui même. Fixons unadansE et dénissonsf (E→E

x7→F(a+x)−F(a) Supposons queF soit une isométrie. On a donc

∀(u, v)∈E², kF(u)−F(v)k=ku−vk Montrons que cela entraine quef conserve le produit scalaire.

Considérons des vecteurs quelconques x et y, notons m = a+x, n = a+y et écrivons des conservations de distances.

kF(n)−F(m)k²=kF(n)−F(a) +F(a)−F(m)k²

=kF(n)−F(a)k²+kF(m)−F(a)k²−2(F(n)−F(a)/F(m)−F(a))

=kn−ak²+km−ak²−2(f(x)/f(y)) D'autre part

kF(n)−F(m)k²=kn−mk²=kn−ak²+km−ak²−2(x/y)⇒(f(x)/f(y)) = (x/y) Montrons maintenant quef est linéaire.

Pour desxet yquelconques dans Eet λquelconque dansR:

kf(x+λy)−f(x)−λf(y)k²= (f(x+λy)−f(x)−λf(y)/f(x+λy)−f(x)−λf(y))

= (f(x+λy)/f(x+λy)) + (f(x)/f(x)) + (f(λx)/f(λx))−2(f(x+λy)/f(x))−2· · ·

= (x+λy/x+λy) + (x/x) + (λx/λx)−2(x+λy/x)−2· · · (conservation du produit scalaire)

=kx+λy−x−λyk²= 0(bilinéarité du produit scalaire) La partie linéairef est alors orthogonale puisqu'elle conserve le produit scalaire.

Réciproquement, sif est linéaire et orthogonale, il est immédiat queF est une isométrie.

Remarque. Toute isométrie est une bijection ane. On parle d'isométrie directe (déplacement) ou indirecte (anti- déplacement) suivant que la partie linéaire est directe ou indirecte. On noteIsom(E),Isom⁺(E)et Isom⁻(E)les ensembles correspondants. Il est immédiat que les isométries forment un sous-groupe du groupe des bijections de Eet que les déplacements forment un sous-groupe du groupe des isométries.

Dénition (rotation ane). SoitE euclidien de dimension 2ou3. Une rotation ane est une application de la

forme (

E→E

m7→a+f(m−a) oùa∈E et f ∈ O⁺(E).

Remarques. 1. L'ensemble des points xes d'une rotation ainsi dénie est

la droite anea+ Vect(w)oùwest un vecteur directeur de l'axe deddans le cas de la dimension3. le singleton{a} dans le cas de la dimension2.

2. Une rotation est un déplacement

Dénition (symétrie ane). SoitEeuclidien de dimension 2ou3. Une symétrie ane est une application de la

forme (

E→E

m7→a+f(m−a) oùa∈E et f est une symétrie orthogonale.

Remarques. 1. On parle de réexion ane ou de retournement ane suivant le type de la partie linéaire. Une réexion ane est un antidéplacement. En dimension3, un retournement est un déplacement.

2. Lorsque la partie linéaire est une symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel V, l'ensemble des points xes de la symétrie ane est le sous-espace ane passant paraet de directionV. On parle alors de symétrie par rapport à un sous-espace ane.

Dénition (symétrie glissée). Une symétrie glissée est la composée d'une symétrie ane et d'une translation dont le vecteur est dans la direction du sous-espace par rapport auquel se fait la symétrie.

Fig. 1: symétrie glissée en dimension2

Dénition (vissage). Pour un espace de dimension3. Un vissage est la composée d'une rotation ane et d'une translation dont le vecteur est dans la direction de l'axe de la rotation.

Dénition (rotation-miroir ane). Pour un espace de dimension3. Une rotation-miroir est la composée d'une rotation ane et d'une réexion ane par rapport à un plan orthogonal à l'axe de la rotation.

Exemple symétries anes.

2. Classication.

Dénition d'une symétrie par rapport à une droite ane. Dénition d'une rotation ane. ( avec point xe + partie linéaire). Dénition d'une symétrie glissée. Classication Toute isométrie ane est soit une translation, soit une rotation, soit une réexion-glissée.

Fig. 2: vissage en dimension3

1. Dans un plan.

2. Dans un espace.

Dénition d'une rotation autour d'un axe (avec pt xe + partie linéaire) d'un vissage, d'une réexion glissée, d'une rotation-miroir ane.

Classication. Toute isométrie ane est soit un vissage (déplacement) soit une réexion-glissée soit une rotation- miroir (antidéplacements).

3. Similitudes directes d'un plan