Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe
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Texte intégral
(2) Sommaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. Introduction. Introduction. 1. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 2. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 3. Relation fondamentale de la dynamique de rotation. 4. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 2 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(3) Sommaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. Introduction. Introduction. 1. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 2. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 3. Relation fondamentale de la dynamique de rotation. 4. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 2 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(4) Sommaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. Introduction. Introduction. 1. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 2. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 3. Relation fondamentale de la dynamique de rotation. 4. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 2 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(5) Sommaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. Introduction. Introduction. 1. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 2. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. 3. Relation fondamentale de la dynamique de rotation. 4. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 2 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(6) Introduction Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Sous l’action d’un ensemble de forces , la grande roue est animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe . Un tel mouvement est caractérisé , à chaque instant , par son accélération angulaire Qu’est ce que l’accélération angulaire ? Quelle relation la relie aux moments des forces appliquées à la grande roue ? .. 3 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(7) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. 1. rappel : définition Un solide indéformable a un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (∆) si tous les point dé rivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe (∆) sauf les points qui appartiennent à cet axe . (exemple la grande roue ). .. 4 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(8) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. 2. L’abscisse angulaire La position d’un point M d’un solide en rotation autour d’un axe (∆) fixe , est repérée à chaque instant t par l’abscisse angulaire . − → On considère un axe Ox comme axe (+) de référence (axe des phases ) et on oriente la trajectoire du point M positivement dans le sens du mouvement .. M1 θ1. ⃗j. M0 θ0. x. O ⃗i. On définit l’abscisse angulaire du point M par l’angle θ tel que − → −−→ θ =(Ox, OM). Son unité dans SI est le radian (rad) . Au cour du mouvement l’angle angulaire varie avec le temps θ(t). .. 5 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(9) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. 3. La vitesse angulaire θ̇. Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation. Soit le point M du solide occupe la position Mi à l’instant ti . et que les date ti+1 et ti−1 sont très proches et encadrent ti . On peut calculer la vitesse angulaire de M à l’instant ti par un encadrement de cette date par ti+1 et ti−1 où le point M prend les abscisse angulaires θi+1 et θi−1 en l’assimilant à la vitesse angulaire moyenne :. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. θ̇m =. θi+1 − θi−1 ti+1 − ti−1. θ̇m =. ∆θ ∆t. .. 6 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(10) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. On définit la vitesse angulaire instantanée par (. Relation fondamentale de la dynamique de rotation. θ̇(t) = lim. ∆t→∞. ∆θ ∆t. ). dθ dt. =. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 7 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(11) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. La vitesse angulaire d’un point d’un solide en mouvement de rotation autour d’axe fixe est , à chaque instant, la dérivé par rapport au temps de dθ l’abscisse angulaire de ce point : θ̇ = . dt Son unité dans le système international est rad/s. .. 8 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(12) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade. Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire. Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. s(t) est l’abscisse curviligne lié à l’abscisse angulaire par la relation s = r.θ où r est le rayon de la trajectoire circulaire . On définit la vitesse linéaire ds v = , d’où la relation : dt ds dθ =r dt dt v = r.θ̇. .. 9 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(13) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation. Remarque : −v est de direction tangentielle à la trajectoire Le vecteur vitesse linéaire → circulaire au point M , dans la base de Frenet on a : → −v = v.→ − u. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 10 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(14) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. 4. L’accélération angulaire θ̈ a. définition : Soit θ̇i la vitesse angulaire du point M à la date ti et soient θ̇i+1 et θ̇i−1 les vitesses angulaires respectivement aux dates ti+1 et ti−1 qui sont très proches et qui encadrent la date ti . ∆θ̇ θ̇i+1 − θ̇i−1 Lorsque ∆t = ti+1 − ti−1 tend vers 0 , le rapport : = tend ∆t ti+1 − ti−1 vers une limite qu’est la dérivée par rapport au temps de la vitesse angulaire : ( ) ∆θ̇ dθ̇ d2 θ θ̈(t) = lim = = 2 ∆t→∞ ∆t dt dt. .. 11 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(15) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire. L’accélération angulaire d’un point d’un solide en mouvement de rotation autour d’axe fixe est , à chaque instant, la dérivé par rapport au temps de la vitesse angulaire de ce point :. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. θ̈ =. dθ̇ dt. Son unité dans le système international est rad/s2. .. 12 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(16) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation. Exercice d’application 1 : 1. La vitesse angulaire du point M d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe est θ̇ = 10rad/s ; 1 2 3. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Calculer l’accélération angulaire du point M ; Quelle est la nature du mouvement du point M ? Écrire l’expression de l’abscisse angulaire du point M en fonction du temps , sachant que son abscisse angulaire à l’origine des dates est θ0 = 2rad. .. 13 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(17) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade 1 Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. L’expression de l’abscisse angulaire du point N d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est : θ(t) = 10t2 + 40t + 6 t est en (s) et θ en rad . 1. 2. 3. Déterminer l’expression de la vitesse angulaire du point N en fonction du temps Déterminer l’expression de l’accélération angulaire du point N en fonction du temps Quelle est la nature du mouvement du point N .. .. 14 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(18) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. b. les composantes aT et aN du vecteur accélération . − − Dans la base de Frenet M(→ u ,→ n) , le vecteur accélération peut s’écrire sous la forme vectorielle suivante :. y. − a→ T ⃗u. ⃗a M. → − − → a =− a→ N + aT. ⃗n a⃗n. se décompose en deux composantes (+) , composante normale à la trajectoire et une composante tangentielle à la trajectoire ;. x O. dv − v2 → → − u+ − n a = → dt ρ v est la vitesse du point M à la date t et ρ le rayon de courbure de la trajectoire à l’instant t . .. 15 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(19) I. Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Si le solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe alors la trajectoire est un cercle de rayon r et de centre O situé sur l’axe (∆) alors − le vecteur → n est orienté vers O et le rayon de courbure ρ = r . Dans ce cas on a : dv d2 θ = r. 2 aT = dt dt → − a 2 v (r. θ̇)2 aN = = = r.θ̇2 r r. .. 16 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(20) II. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation. Cette relation s’applique à un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe .. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 17 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(21) II. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. 1. Énonce : Dans un repère lié au référentiel terrestre . Pour un corps solide en rotation autour d’un axe fixe (∆), la somme algébrique des moments par rapport à l’axe fixe (∆) de toutes les forces appliquées au solide est égale , à chaque instant , au produit du moment d’inertie J∆ de ce solide par son accélération angulaire θ̈ soit : → − ΣM∆ ( F ext ) = J∆ .θ̈ → − ΣM∆ ( F ext ) : exprimer en (N.m) J∆ en kg.m2 θ̈ en rad/s2 .. 18 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(22) II. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Cas particulier : * Si θ̈ = 0, le solide a un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe (∆) * Si θ̈ = Cte ̸= 0, le solide est animé d’un mouvement de rotation uniformément varié autour de l’axe (∆). .. 19 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(23) II. Relation fondamentale de la dynamique de rotation Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe. 2. Moments d’inertie de quelques solides particuliers. allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. Le moment d’inertie d’un solide dépend de la masse du solide et de ses dimensions . .. 20 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
(24) III. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe allal Mahdade Introduction Abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire Relation fondamentale de la dynamique de rotation. Voir la série d’exercices. Application : mouvement d’un système mécanique en translation et en rotation autour d’un axe fixe. .. 21 (2016-2017) 2ème Bac SM. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. allal Mahdade. ..
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