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TD : Solide en rotation autour d un axe fixe Correction

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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TD : Solide en rotation autour d’un axe fixe

Correction

App1 : Oscillation d’une bille dans une cuvette

App2 : Pendule simple

App3 : Disque en liaison pivot

(2)

PTSI Chap 18 Mme Micard

1. La liaison ´etant parfaite, il n’y a a priori aucune perte. Ainsi, la vitesse angulaire restera constante au cours du temps.

2. Ici il apparaˆıt un couple de frottement, ´ecrivons le TMC appliqu´e `a un solide ind´eformable en rotation autour d’un axe fixe : Jω˙ =−αω, avec J le moment d’inertie du disque en rotation autour de son axe de r´evolution. L’´equation pr´ec´edente admet comme solutionω=ω0e−t/τ avec τ= Jα.

EX1 : Portage d’une poutre

On ´etudie le syst`eme poutre, dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e Galil´een.

Les forces qui s’appliquent sur le syst`eme sont :

— Le poids−→

P au pointG

— Les forces−→ FL,−→

FM.

La poutre n’est pas en rotation ni en mouvement Cas 1 : Le PDF projet´e sur−u→y nous donne :−P+−→

FL+−→

FM = 0 Le TMC appliqu´e au point Gdonne : −−→

GM∧−→

FM+−→

GL∧−→ FL=−→

0 soit en projection sur l’axe−→uz :

−`FM+dFL= 0 d’o`uFM = d

`FL

En injectant dans le PDF on a :P= (1 + d

`)FL soitFL= M g

1+d

`

. Donc L porte plus que M !

Cas 2 : Le PFD reste inchang´e par contre le TMC varie un peu :

−−→GM∧−→

FM +−→

GL∧−→ FL=−→

0

−`(cosα−u→x+ sinα−u→y)∧FM−u→y+d(cosα−u→x+ sinα−u→y)∧FL−u→y=−→ 0

−`cosαFM−→uz+dcosαFL−u→z=−→ 0 Par cons´equent cette foisFL=`

dFM

EX2 : ´Equilibre d’une ´echelle

EX3 : Oscillations d’un pendule

2

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EX4 : Pendule de torsion

EX5 : Effondrement du soleil

Pb1 : Allongement de la dur´ee du jour

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PTSI Chap 18 Mme Micard

Pb2 : Catamaran de sport

On remarque ici que le bateau est en TRU donc le r´ef´erentiel associ´e au bateau est Galil´een. Nous placerons donc notre ´etude dans ce r´ef´erentiel.

On nommeB le barreur etE l’´equipier.

Traduction de l’´enonc´e :

— Oy est l’axe de rotation du syst`eme et correspond `a la coque qui touche l’eau.

— Soitbla distance entre l’axe de rotation etB :b=`. Il est soumis `a son poids−→ PB.

— E est mod´elis´e par un point mat´eriel se situant `a une distance e = `+`e de l’axe Oy avec

`e= 1,80−0,5 = 1,30 m, il est soumis `a son poids−→ PE.

— La masse du bateau est ´equitablement r´epartie entre les deux coques : on consid`ere que le poids du bateau−→

P s’applique au centre d’inertie du bateauGdistant deOy dedG=`/2

— On noteLM la taille du mat.

— Le bateau est `a l’´equilibre donc le moment cin´etique est constant.

— Le syst`eme d’´etude ´etude est l’ensemble form´e par les deux marins et le bateau.

Bilan des forces On ´ecrit toutes les forces pr´esentes et on projette :

— La pouss´ee d’Archim`ede :−→ A =A−u→z

— Les trois poids `a consid´erer se mettent sous la forme : −→

Pi = −Pi(sinθ−→ur + cosθ−u→θ)

— La force V´elique :−→

F =−F−→ur

Calcul des moments par rapport `a l’axe de rotation

— La pouss´ee d’Archim`ede :My(−→ A) = 0

— My(−→

P) =−dGM gcosθ;My(−→

PE) =−emEgcosθet My(−→

PB) =−bmBgcosθ

— La force V´elique :My(−→

F) =FL3M Application du TMC

0 = 0−dGM gcosθ−emEgcosθ−bmBgcosθ+FLM

3

⇐⇒F = 3 LM

(M `/2 +emE+bmb)gcosθ

Cette force d´epend deθ et est li´ee `a la vitesse du vent par rapport au bateau et `a l’angle de la voile par rapport `a la direction du vent.

On notera que plus le bateau penche, moins le vent n’a d’incidence dessus ce qui diminueF. Pb3 : ´Etude d’un moteur

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