TD : Solide en rotation autour d’un axe fixe
Correction
App1 : Oscillation d’une bille dans une cuvette
App2 : Pendule simple
App3 : Disque en liaison pivot
PTSI Chap 18 Mme Micard
1. La liaison ´etant parfaite, il n’y a a priori aucune perte. Ainsi, la vitesse angulaire restera constante au cours du temps.
2. Ici il apparaˆıt un couple de frottement, ´ecrivons le TMC appliqu´e `a un solide ind´eformable en rotation autour d’un axe fixe : Jω˙ =−αω, avec J le moment d’inertie du disque en rotation autour de son axe de r´evolution. L’´equation pr´ec´edente admet comme solutionω=ω0e−t/τ avec τ= Jα.
EX1 : Portage d’une poutre
On ´etudie le syst`eme poutre, dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e Galil´een.
Les forces qui s’appliquent sur le syst`eme sont :
— Le poids−→
P au pointG
— Les forces−→ FL,−→
FM.
La poutre n’est pas en rotation ni en mouvement Cas 1 : Le PDF projet´e sur−u→y nous donne :−P+−→
FL+−→
FM = 0 Le TMC appliqu´e au point Gdonne : −−→
GM∧−→
FM+−→
GL∧−→ FL=−→
0 soit en projection sur l’axe−→uz :
−`FM+dFL= 0 d’o`uFM = d
`FL
En injectant dans le PDF on a :P= (1 + d
`)FL soitFL= M g
1+d
`
. Donc L porte plus que M !
Cas 2 : Le PFD reste inchang´e par contre le TMC varie un peu :
−−→GM∧−→
FM +−→
GL∧−→ FL=−→
0
−`(cosα−u→x+ sinα−u→y)∧FM−u→y+d(cosα−u→x+ sinα−u→y)∧FL−u→y=−→ 0
−`cosαFM−→uz+dcosαFL−u→z=−→ 0 Par cons´equent cette foisFL=`
dFM
EX2 : ´Equilibre d’une ´echelle
EX3 : Oscillations d’un pendule
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EX4 : Pendule de torsion
EX5 : Effondrement du soleil
Pb1 : Allongement de la dur´ee du jour
PTSI Chap 18 Mme Micard
Pb2 : Catamaran de sport
On remarque ici que le bateau est en TRU donc le r´ef´erentiel associ´e au bateau est Galil´een. Nous placerons donc notre ´etude dans ce r´ef´erentiel.
On nommeB le barreur etE l’´equipier.
Traduction de l’´enonc´e :
— Oy est l’axe de rotation du syst`eme et correspond `a la coque qui touche l’eau.
— Soitbla distance entre l’axe de rotation etB :b=`. Il est soumis `a son poids−→ PB.
— E est mod´elis´e par un point mat´eriel se situant `a une distance e = `+`e de l’axe Oy avec
`e= 1,80−0,5 = 1,30 m, il est soumis `a son poids−→ PE.
— La masse du bateau est ´equitablement r´epartie entre les deux coques : on consid`ere que le poids du bateau−→
P s’applique au centre d’inertie du bateauGdistant deOy dedG=`/2
— On noteLM la taille du mat.
— Le bateau est `a l’´equilibre donc le moment cin´etique est constant.
— Le syst`eme d’´etude ´etude est l’ensemble form´e par les deux marins et le bateau.
Bilan des forces On ´ecrit toutes les forces pr´esentes et on projette :
— La pouss´ee d’Archim`ede :−→ A =A−u→z
— Les trois poids `a consid´erer se mettent sous la forme : −→
Pi = −Pi(sinθ−→ur + cosθ−u→θ)
— La force V´elique :−→
F =−F−→ur
Calcul des moments par rapport `a l’axe de rotation
— La pouss´ee d’Archim`ede :My(−→ A) = 0
— My(−→
P) =−dGM gcosθ;My(−→
PE) =−emEgcosθet My(−→
PB) =−bmBgcosθ
— La force V´elique :My(−→
F) =FL3M Application du TMC
0 = 0−dGM gcosθ−emEgcosθ−bmBgcosθ+FLM
3
⇐⇒F = 3 LM
(M `/2 +emE+bmb)gcosθ
Cette force d´epend deθ et est li´ee `a la vitesse du vent par rapport au bateau et `a l’angle de la voile par rapport `a la direction du vent.
On notera que plus le bateau penche, moins le vent n’a d’incidence dessus ce qui diminueF. Pb3 : ´Etude d’un moteur
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