annéescolaire2018-2019 Mécanique Ondesmécaniques(suite)etélectriques

(1)

Introduction Réexion et transmission Dispersion et absorption Paquet d'ondes Exercice

Ondes mécaniques (suite) et électriques

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

(2)

Comment acheminer le signal d'une antenne à une télé ?

(3)

Problématique Plan

1) étudier la réexion et la transmission des OPPM

(4)

2) étudier la dispersion et l'absorption

(5)

Problématique Plan

3) étudier la propagation des paquets d'ondes

(6)

Structure du câble coaxial

un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de même axe Oz :

• l'âme, conducteur électrique, pour r < a ;

• la gaine , isolant de permittivité relative ε

r

, pour r ∈ [a; b] ;

• la masse, conducteur, pour r > b .

(7)

Propriétés d'une OPPM (cas d'un câble coaxial) Réexion en bout de ligne (cas d'un câble coaxial)

Réexion et transmission à une interface (cas d'un câble coaxial)

Modélisation électrique du câble coaxial sans pertes

Les éléments du circuit (dipôles) sont des constantes localisées : on

notera l'inductance propre par unité de longueur l et la capacité

propre par unité de longueur .

(8)

Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte (exercice)

Montrer que tension V et intensité I vérient

l'équation de D'Alembert et que la célérité des ondes dans le câble est c

₀

=

^√¹

`c

.

(9)

Réexion et transmission à une interface (cas d'un câble coaxial) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte (exercice)

Une loi des mailles donne :

`dx∂I(x,t)

∂t =−V(x+dx,t) +V(x,t) =−∂V

∂x dx La loi des n÷uds donne :

I(x,t)−I(x+dx,t) =c.dx∂V(x+dx,t)

∂t soit−∂I

∂xdx≈cdx∂V

∂t L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dxqui présente une inductance`dxet une capacitécdxnous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x =−`∂I(x,t)

∂t et ∂I

∂x =−c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au tempstet à l'espacexcommutant. Ainsi, en dérivant par rapport àxla première et par rapport àtla seconde, on trouve :^∂_∂x2²^V =`c^∂_∂t2²^V.

De même, en dérivant par rapport àxla seconde équation et par rapport àtla

2 2

(10)

Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dans un câble coaxial (exercice)

Montrer que

V ˜

+

= Z

c

I ˜

+

pour une propagation selon x %

V ˜

−

= −Z

_c

I ˜

−

pour une propagation selon x &

(11)

Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dans un câble coaxial (exercice)

On a vu que pour l'onde plane se propageant vers lesxcroissants

V

t− x c₀

=Z_cI

t− x c₀

et on a vu que pour l'onde plane se propageant vers lesxdécroissants

V

t+ x c₀

=−Z_cI

t+ x c₀

(12)

Impédance caractéristique d'un câble coaxial

L'impédance ne dépend que des caractéristiques du câble :

Z

c

= ` c

₀

= r `

c = 1 c c

₀

car c

₀

=

^√¹

`c

. Elle est réelle, positive et s'exprime en Ω .

Dans le cas du câble d'antenne Z

c

v 50Ω.

(13)

Attention !

Attention au signe !

Pour une onde plane quelconque, il y a superposition d'une onde se propageant vers les x croissants ( I

₊

) et d'une onde se propageant vers les x décroissants (I

−

) :

I (t, x) = I

₊

t − x c

₀

+ I

−

t + x

c

₀

⇒ V (t, x) = Z

c

I

+

t − x

c

₀

− Z

c

I

−

t + x

c

₀

(14)

l'énergie dans ` d x est d E

_L

=

¹₂

` d x I

²

, qui donne une densité linéique d'énergie inductive

e

_L

= 1 2 ` I

²

L'énergie dans c .dx est d E

_C

=

¹₂

c d x V

²

, qui donne une densité linéique d'énergie capacitive

e

_C

= 1 2 c V

²

L'énergie dans le petit élément de longueur d x est

d E = d E

L

+ d E

C

=

¹₂

` d x I

²

+

¹₂

c d x V

²

qui fait apparaître la densité linéique d'énergie

1 1

(15)

Puissance transférée d'un morceau à l'autre du câble

la partie du câble pour les abscisses x < x

₀

transfère une puissance à la partie x > x

₀

:

P (t) = V (x

₀

, t ) I(x

₀

, t)

On peut le retrouver en électricité : c'est la puissance qu'échange

un dipôle, celui qui correspond à la partie x > x

₀

du câble.

(16)

Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagation (exercice)

Déterminer le signe de la puissance transférée de la partie du câble coaxial pour les abscisses x < x

₀

à la partie x > x

₀

dans le cas d'une onde plane

progressive, suivant son sens de propagation.

(17)

Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagation (exercice) Pour une onde se propageant vers lesxcroissants, commeV(x₀,t) =ZcI(x₀,t), on trouveP(t) =Z_cI(x₀,t)²>0 : la partiex>x₀du câble gagne du travail électrique.

Pour une onde se propageant vers lesxdécroissants, comme

V(x₀,t) =−Z_cI(x₀,t), on trouveP(t) =−Z_cI(x₀,t)²<0 : la partiex>x₀du câble perd du travail électrique.

(18)

Bilan énergétique local (exercice) Montrer que

∂e

∂t = − ∂P

∂x

(19)

Bilan énergétique local (exercice)

pour la partie du câble comprise entrex₀etx₀+dx, la variation d'énergie électrique est

dE

dt = +P(x₀,t)−P(x₀+dx,t) =−∂P

∂x dx D'autre part, commeE=edx,

dE dt =∂e

∂tdx

On trouve donc le bilan local. On retrouve le fait qu'une onde correspond à un transfert d'énergie sans transfert de matière

(20)

Câble coaxial terminé par une impédance

un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

_c

relié en x = x

₀

à

une impédance Z ˜ .

(21)

Coecients de réexion en amplitude On dénit le coecient de réexion

en intensité : r

_I

= I ˜

_r

(x = x

₀

, t )

I ˜

i

(x = x

₀

, t) et en tension : r

_V

= V ˜

_r

(x = x

₀

, t)

V ˜

i

(x = x

₀

, t)

(22)

Coecient de réexion en énergie

on dénit le coecient de réexion énergétique par R =

hP

_r

i hP

_i

i

∈ [ 0 , 1 ] où la puissance moyenne est hP i =

¹₂

Re

V ˜ I ˜

^∗

.

(23)

Adaptation d'impédance

On dit qu'il y a "adaptation d'impédance" si toute l'énergie est

absorbée dans l'impédance terminale. C'est le cas si Z ˜ = Z

_c

.

(24)

Deux câbles coaxiaux

un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

₁

relié en x = x

₀

à

un autre câble coaxial d'impédance caractéristique Z

₂

.

(25)

Coecient de transmission en amplitude on dénit le coecient de transmission par

en intensité : t

_I

= I

_t

(x = x

₀

, t )

I

_i

(x = x

₀

, t) et en tension : t

_V

= V

_t

(x = x

₀

, t)

V

_i

(x = x

₀

, t)

(26)

Coecient de transmission en énergie

on dénit le coecient de transmission énergétique par T =

hP

_t

i hP

_i

i

⇒ R + T = 1

(27)

Equations d'onde et relation de dispersion Milieu absorbant / Onde amortie Milieu dispersif

Modélisation d'un câble coaxial résistif

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une

inductance propre par unité de longueur ` , une capacité propre par

unité de longueur c , une résistance par unité de longueur r

₁

et une

(28)

Equation de propagation dans un câble coaxial résistif (exercice)

Déterminer l'équation d'onde (dite "des

télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité

dans le câble et vérier que l'on retrouve l'équation de

D'Alembert dans le cas où r

₁

= 0 et g

₂

= 0.

(29)

Equation de propagation dans un câble coaxial résistif (exercice) Une loi des mailles donne :

`dx∂I(x,t)

∂t +r₁dx I(x,t) =−V(x+dx,t) +V(x,t) =−∂V

∂x dx La loi des n÷uds donne :

I(x,t)−I(x+dx,t) =cdx∂V(x+dx,t)

∂t +g₂dx V(x+dx,t) soit−_∂x^∂I dx≈cdx^∂V_∂t +g₂dx V(x,t).

On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t +g₂V(x,t) =−∂I

∂x etl∂I(x,t)

∂t +r₁I(x,t) =−∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au tempstet à l'espacexcommutant. En dérivant la seconde par rapport àx, on trouve :^∂_∂x2²^V =−`^∂

∂t _∂I_(x,t)

∂x

−r₁^∂I_∂x^(x,t)et en utilisant la première,

∂2V

∂x2 =l_∂t^∂

c^∂V_∂t +g₂V(x,t) +r₁

c^∂V_∂t +g₂V(x,t) .

Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que suit aussi :

(30)

Recherche des solutions d'une équation d'onde On va chercher des solutions sous la forme :

ψ(~ r, t) = Re

ψ(~ ˜ r, t) où

ψ ˜ = ψ

₀

.e

^j

(

^{k x−ω}^˜ ^t+ϕ0

)

où ψ

₀

et ϕ sont des constantes. Cette fois, k ˜ est a priori complexe.

(31)

Relation de dispersion (dénition)

La relation de dispersion est l'équation entre le vecteur

d'onde complexe k ˜ et la pulsation ω des OPPM qui

composent l'onde qui se propage dans ce milieu.

(32)

Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif (exercice)

Déterminer la relation de dispersion qui correspond à

l'équation d'onde des télégraphistes.

(33)

Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif (exercice) Cela donne l'équation de dispersion

k˜²=`cω²+j(r₁c+`g₂)ω−r₁g₂

(34)

Solution d'une équation de dispersion

En général, on cherche un vecteur d'onde complexe k ˜ = k

_r

+ j k

_i

avec k

_r

= Re

k ˜

et k

_i

= Im k ˜ La forme de l'onde sera :

ψ ˜ = ψ

₀

e

^−kⁱ^x

e

^−j^(ω^t−k^r^x−ϕ⁰⁾

(35)

Onde amortie

L'onde est de la forme :

ψ ˜ = ψ

₀

e

^−kⁱ^x

e

^−j^(ω^t−k^r^x−ϕ⁰⁾

Donc l'amplitude de l'onde est

ψ

₀

e

^−kⁱ^x

= ψ

₀

e

⁻^x^δ

L'amplitude de l'onde décroît sur une taille caractéristique (appelée longueur de pénétration)

δ = 1

k

_i

= 1 Im

k ˜

(36)

la "photographie" d'une onde amortie sur une corde. L'atténuation

a lieu dans le sens de propagation de l'onde. L'onde perd de

(37)

Vitesse de phase (dénition)

Pour une onde plane de pulsation ω ayant une partie réelle du vecteur d'onde k

_r

, on dénit une vitesse de phase

v

_ϕ

= ω

k

r

(38)

Milieu dispersif (dénition)

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase

dépend de la pulsation ω de l'onde plane.

(39)

Cas de l'équation de D'Alembert (exercice)

Montrer qu'un milieu qui suit l'équation de

D'Alembert est non dispersif.

(40)

Cas de l'équation de D'Alembert (exercice) L'équation de dispersion se réécrit

k˜²= ω² c₀² =

k_r²−k²_i +2j krk_i

k˜est alors réel :k˜=k=kr=±^ω c0 etk_i=0.

(41)

Exemple de la loi de Cauchy

en optique, on dénit l'indice optique par n =

_v^c

où v est la vitesse de l'onde électromagnétique dans un milieu (transparent) et c la vitesse de la lumière dans le vide. La loi empirique de Cauchy relie n à la longueur d'onde (dans le vide) λ =

_ν^c

=

²^π.c_ω

:

n = A + B λ

²

où A et B sont des constantes.

On voit donc que les milieux matériels sont dispersifs pour les

ondes lumineuses : v

_ϕ

=

^c

est fonction de λ donc de ω .

(42)

Nécessité du paquet d'ondes

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans

l'espace et dans le temps. Elle ne nit jamais, et a débuté il y a un

temps inni ! // L'OPPM est un outil mathématique intéressant car

on peut décomposer une onde sous la forme de superposition

d'OPPM.

(43)

Notion de paquet d'ondes Vitesse de groupe

Propagation d'un paquet d'ondes

Forme mathématique d'un paquet d'onde (dénition)

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ ˜ = Z

∞

0

A ˜ (ω) .e

^j^.(ωt−k.x)

d ω

où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

(44)

Extension d'un paquet d'ondes

Bien souvent A ˜ (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur

∆ω : on parle de paquet d'ondes.

Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension

∆ν =

^∆ω₂_π

.

(45)

Paquet d'ondes

un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine

(46)

"Petit" paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée

∆t telle que

∆t ∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x, reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x ∆k ≈ 1

(47)

Petit paquet d'ondes

On s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que

k = k

₀

+ δk et ω = ω

₀

+ δω , avec δω ω

₀

et δk k

₀

(48)

Vitesse de groupe (dénition) On dénit la vitesse de groupe par

v

g

= d ω

d k

au voisinage de (k

₀

; ω

₀

) .

(49)

Enveloppe d'un paquet d'ondes (exercice) Montrer que

ψ ˜ = ˜ A

⁰

e

^j^(ω⁰^t−k⁰^x)

pour peu que l'on pose l'enveloppe A ˜

⁰

=

Z

A ˜ (ω

₀

+ δω) e

^j^δω

t−_vg^x

d δω

(50)

Enveloppe d'un paquet d'ondes (exercice)

On peut faire un développement limité autour de(k₀;ω₀):

k(ω)≈k(ω₀) +dk

dω(ω−ω₀) =k₀+δω v_g

En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve

ψ˜= Z

A˜(ω₀+δω)e^j

ω0t+δωt−k0x−δω vgx

dδω

(51)

Interprétation du paquet d'onde

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k

₀

; ω

₀

) : e

^j^(ω⁰^t−k⁰^x)

), modulée par une enveloppe A ˜

⁰

qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe v

g

car on retrouve le facteur e

^j^δω

t−^x

vg

.

(52)

Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert (exercice)

Montrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :

v

ϕ

= v

g

= c

₀

Il n'y a pas de dispersion.

(53)

Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert (exercice) Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit

k²= ω² c₀² ⇒k= ω

c₀ pour une onde se propageant vers lesxcroissants. Donc

v_ϕ=v_g=c₀

(54)

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caractérise par la transmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.

Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site

alain.lerille.free.fr.

(55)

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et

absorbant

(56)

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargissement de ce paquet d'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aaiblissement de l'amplitude du paquet d'ondes au cours de la propagation.

Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site

alain.lerille.free.fr.

(57)

Transmission de l'information

pour transmettre une information, un émetteur doit envoyer à un récepteur une onde limitée dans le temps et l'espace : une impulsion, un petit paquet d'ondes.

Le récepteur détectera le passage de ce paquet d'onde, c'est à dire, en gros, le passage du maximum de l'enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe.

La transmission de l'information se fait donc à la vitesse v

g

.

(58)

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a

• une inductance propre par unité de longueur ` ,

• une capacité propre par unité de longueur c ,

• une résistance par unité de longueur r

₁

• et une conductance par unité de longueur g

₂

.

(59)

Modélisation de la propagation dans un câble coaxial

1) Etude générale

1.a) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.

1.b) Déterminer la relation de dispersion qui correspond à

l'équation d'onde des télégraphistes. En déduire que le milieu est ni

absorbant ni dispersif.

(60)

2) Cas non résistif.

On suppose r

₁

= 0 et g

₂

= 0.

2.a) Montrer que l'on retrouve l'équation d'onde de D'Alembert et que la relation de dispersion nous permet de réécrire une OPPM.

2.b) Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie sous ses deux

formes (inductive et capacitive) pour une onde plane dans un câble

coaxial.

(61)

3) Réexion en bout de ligne

Le câble coaxial d'impédance caractéristique Z

_c

non résistif est relié en x = x

₀

à une impédance Z ˜ .

3.a) Calculer les coecients de réexion en amplitude r

I

=

^˜^I_˜^r^(x=x⁰^,t)

Ii(x=x₀,t)

et r

V

=

^V^˜_˜^r^(x=x⁰^,t)

Vi(x=x₀,t)

.

3.b) En déduire le coecient de réexion en énergie R =

hPri hP_ii

∈ [0, 1].

3.c) Que vaut R dans le cas :

• d'une ligne ouverte

• d'une ligne en court-circuit

• d'une ligne fermée sur une inductance pure

• d'une ligne fermée sur une capacité pure

(62)

4) On suppose maintenant le câble résistif mais r

₁

c + ` g

₂

≈ 0.

4.a) Montrer que la relation de dispersion est celle de Klein-Gordon :

ω c

₂

= k

²

+ ω

c

₂