Théorie du câble coaxial. I

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Théorie du câble coaxial. I

F. Pullaczek

To cite this version:

THÉORIE

DU

CÂBLE COAXIAL.

I. Par F. PULLACZEK.

Sommaire. -- L’auteur

établit, au moyen des notions et méthodes classiques de la Physique

mathé-matique (fonctions de _{Green, équations intégrales, développements} en séries suivant des fonctions

propres), une théorie rigoureuse du câble coaxial en _{régime périodique qui} est fondée immédia-tement sur les _équations de Maxwell: Il étudie _{particulièrement} la _partie du _{champ qui} ne _{subit pas}

d’affaiblissement _exponentiel et _{qui échappe complètement} à la théorie élémentaire des câbles fondée

sur les _équations de Kirchhoff.

1. Introduction. --- Dans

ce

_qui

suit,

nous

esquisserons,

pour le câble coaxial

droit,

de section

circulaire,

une théorie

rigoureuse

_qui

est

uniquement

fondée sur les

_équations

et la théorie

de Maxwell et non sur les notions secondaires de

résistance,

inductivité et

_capacité.

Nous

_supposons

que le

câble,

de

longueur

finie ou

infinie,

est

plongé

dans un milieu

_homogène

infiniment étendu en

direction radiale et

_qu’il

consiste en deux

conduc-teurs

_séparés

_par un isolant

_{homogène; cependant,}

nos formules

_{s’appliquent}

dans leur

_partie

essentielle

à un nombre arbitraire n de couches

_homogènes

coaxiales,

caractérisées

_{respectivement}

_{par les valeurs} de _{leur rayon extérieur} ri, leur constante

diélec-trique

Ei, leur

_{perméabilité pi}

et leur

conductibi-lité ci

_(i

=

1 , ...,

n).

On sait que dans bien des domaines des Sciences,

on est amené à étudier les fonctions _propres et les

valeur’s propres de certaines

_équations

différen-tielles

ordinaires,

ou à dérivées

_partielles,

sous des conditions aux limites

_homogènes;

on définit des

fonctions de Green

_{correspondant}

à ces

_problèmes,

on établit les

_équations

_intégrales

_auxquelles

satis-font les fonctions _propres et

_grâce

à des méthodes devenues

_classiques,

l’on

_parvient,

à résoudre les divers

_problèmes

aux limites

_qui

se

_posent

dans les

Applications.

Tous ces

_problèmes

et notions ont des

_analogies

dans la théorie du câble où,

toutefois,

l’on aboutit à des

_équations

différentielles et à des conditions

aux limites’ où

_figurent

des fonctions données

complexes;

mais,

jusqu’à présent,

une seule de ces

analogies,

celle concernant les constantes de

propa-gation

du câble et les

_champs

_qui

leur

_{correspondent,}

paraît

avoir été

étudiée,

bien _que de manière

incom-plète.

Nous verrons _{que le}

_spectre

des constantes de

propagation

du câble coaxial _que nous

repré-sentons dans le

_plan

de la variable

_complexe

y,

est _{constitué par} un ensemble

(non

nécessairement

infini)

de

_points

_{-~- yi, ±} Y2’ ...

(spectre ponctuel)

et en

outre,

par deux courbes

qui

sont

symétriques

par rapport à

_l’origire

de ce

_plan

_{(spectre continu).}

En des

_points

situés à

_grande

distance r de l’axe du

_câble,

les

_composantes

des

_{champs propres}

de

première espèce qui correspondent

au

_spectre

e-const. ,.

ponctuel,

sont de l’ordre de _{tandis que les}

B r

composantes

des

_champs

_propres de deuxième

espèce s’y comportent

comme

Deux

_champs

propres différentes sont

orthogonaux

en un sens

_qui

sera défini

_plus

tard et cette

_{propriété permet}

de résoudre les

_problèmes

aux limites les

plus simples

(problèmes

de

_Dirichlet)

au moyen de

dévelop-pements

de Fourier.

Pour des valeurs moyennes de la coordonnée axiale z, mesurée

depuis

la source

_{d’énergie,}

le

_champ

du câble est

_{approximativement égal}

au

_champ

propre de la constante yi de

partie

réelle

minimum,

et

_{proportionnel}

à

_Mais,

_{pour z tendant} vers

l’infini,

le

_champ

du câble est

_égal,

à une fraction

négligeable près,

au

_champ

_qui

_correspond

au

_premier

élément du

_spectre

continu,

et

_{proportionnel}

à où c

_désigne

la vitesse de la lumière et r~ la

pulsa-tion de la tension

_appliquée.

Les _{méthodes que} nous

_appliquerons

_{ont, pour} une

_grande

_partie

été

_exposées

dans un Mémoire

antérieur

_{(1) qui}

ne sera _pas

_supposé

ici comme

connu;

cependant,

dans le

présent

article où la

propagation

dans des

_systèmes

à

_symétrie

de révo-lution est étudiée de manière

_rigoureuse

et

_plus

détaillée,

une

_partie

de la théorie a été

_développée

de manière différente et

_{plus simple}

_{que dans} le Mémoire mentionné.

Pour être

bref,

nous ne considérons ici que des

champs

qui

sont

sinusoïdaux,

de

_pulsation

donnée oo,

(1) F. _POLLACZEK, La propagation des _phénomènes

élec-tromagnétiques dans des milieux à structure cylindrique

.R. G. E., ~g36, 40, p. 1o3-112 et

par

rapport

au

_temps

et nous _supposons, en outre, que ces

_champs

sont de

_symétrie

circulaire

d

_{= 0 )}

et _que leur

_composante

_magnétique

axiale est

nulle; d’ailleurs,

la théorie des

_champs

_que nous

excluons ainsi est tout

_analogue

à celle des

_champs

de

_symétrie

circulaire.

Nous utilisons des unités de

_{Gauss; toutefois,}

vers la fin de cet

_article,

certaines

_applications

de

nos calculs seront données en des unités

électro-magnétiques

pratiques.

Les

_composantes

de tous les vecteurs

_{qui figurent}

ici sont des fonctions

complexes

des coordonnées

_cylindriques

r et z et de certains

_paramètres

réels ou

_complexes,

multi-pliées

[sauf pour

E’’", Hl"’,

E(; ),

E y,

H(!)]

par

le facteur

2.

_Spectre

des constantes de

_propagation

et

champs

propres. - Pour des états sinusoïdaux

en t,

donc pour

les

_équations

de

Maxwell

_prennent,

dans un miliet

homogène,

la forme

où _{l’on posera}

selon les

_quatre

milieux de la

_figure

i : conducteur

Fig. 1. - Section normale du câble coaxial.

intérieur, isolant,

conducteur

extérieur,

diélectrique

extérieur. Nous utiliserons

_quelquefois

la forme

intégrale

de la I re

_équation

de

_Maxwell,

à savoir

où I

_désigne

le courant

_qui

_passe à travers une

surface bordée par la courbe C.

En

_multipliant

la I re

_équation

_par - l wJ. et en

c

posant

-On sait

_qu’avec

les

_hypothèses

H- = o et

les

_composantes

HI’ et

_Eo

s’annulent elles aussi. Il vient donc

l-l- = 11..= 1+°,~ = n 1 6 N

de sorte _{que les}

_équations

vectorielles

₍₄₎

sont

équivalentes

aux trois

_équations

scalaires

Nous cherchons d’abord les solutions

_partielles

de

ces

_{équations qui}

ne contiennent la variable z que

par un facteur en

outre,

sur les surfaces de

discontinuité r =

r,, r2, r3, les

composantes

tangen-tielles

E:5

et

Ns

doivent être continues selon les

postulats

de la théorie de Maxwell.

_Enfin,

en

appli-quant

cette théorie au cas d’un câble de

_longueur

infinie,

nous ne considérerons comme

_physiquement

réalisables que des

champs

dont les

_composantes

disparaissent,

pour r tendant vers

_l’infini,

au moins

1

comme -. co

il En

_posant

nous tirons des

_{équations (7)}

et avec la notation - ., ... - , ,

nous obtenons

Pour fixer le

_signe

de x, convenons de

désigner

ici par x, sauf

pour k2

+ y2

> o, celle des deux

racines carrées du 2 ~ membre de

₍₉₎

dont la

_partie

imaginaire

est

_positive,

donc

(11 )

De

même,

nous

_comprendrons

sous k

_{[voir (3)]}

un

nombre à

_{parle imaginaire}

non

_négative;

_mais,

217

conductibilité tend vers

_7éro,

nous aurons ,

En

_portant

les

_{expressions (8)}

et

₍₁₀₎

dans la

I re

_{équation (7),}

nous obtenons

_{l’équation}

qui,

de même _{que toutes les formules}

_{précédentes,}

est valable _pour des ê, p, o~

_qui

sont des fonctions

continues

_quelconques

de r.

Avec les notations

7 "

(13)

prend

la forme

°

et cette

_équation

devient

si E, cr sont constants par morceaux; c’est la forme

_simple

_que

_{prend l’équation}

des ondes à

laquelle chaque composante rectangulaire

de E et H satisfait dans un milieu

homogène,

dans notre cas

particulier

où

La solution

_partielle

selon

₍₈₎

dlit satisfaire

à La solution

_partielle

selon

₍₈₎

doit satisfaire à

l’équation

(16),

auf pour r _{= ri, r2, r3,}

_points

des discontinuité de k _{et ~.;} mais en ces

points,

les

composantes

tangentielles

E§71

=

uv

et doivent

rester continues. En outre, toutes les

_composantes

doivent

s’évanouir,

pour r -+ 00, au moins

_{comme § .}

En

_désignant

_par

_{0 (ra)}

des

_grandeurs

_{a (r)}

telles que

on a donc

_{[vomir (10)}

et

_(14)]

pour un

_champ

physi-quement réalisable,

outre

_(16),

les conditions

supplé-mentaires suivantes :

est

_{l’équation}

des fonctions

_cylindriques

d’ordre zéro.

Rappelons

que

(19)

possède

comme solutions linéai-rement

_{indépendantes}

les fonctions de Bessel d’ordre zéro, de 1 re et ’), e

_espèces,

et _{que, pour} les

_grandes

valeurs de

_{x ,}

_on utilise les fonctions de Hankel d’ordre

zéro,

de 1 re et

2 e

_{espèces :}

Dans nos formules

figureront

aussi les dérivées de ces fonctions

_qui

sont,

au

_{signe près,}

les fonctions

cylindriques

d’ordre I, donc

Pour les fonctions de

_Hankel,

les formules

asympto-tiques

suivantes sont valables dans le

_plan

des

découpé

le

_long

de son demi-axe

_négatif

Nous

_utiliserons,

en

outre,

la formule bien connue :

Comme la solution

_uy

= de

(16), qui

n’est

définie

_qu’à

un facteur constant

_près,

est finie à

l’origine,

on

_peut

_poser

_{u~ ~}

_{Jo (xir) pour}

_{0 L r L r l’}

tandis que, dans les autres

_{intervalles, uy}

_peut

être

exprimé

comme forme linéaire en et On a

_donc,

_{pour certaines valeurs} de _y

_qui

seront

précisées

dans ce

_qui

_suit,

où al, ..., as sont des constantes. A

l’infini,

uy

être nul; mais comme selon

_(23),

on a _{nécessairement, pour} la constante

figure

dans

_{équation (25),}

. A l’aide des formules

(25)

et de la natatian

la condition

₍₁₇₎

cuntm.uite des fonctions u

du , .

1 et p

Jr

pour r =

y, 1’3

s exprime

au _moyen des six

_équations

linéaires et

_homogènes

suivants :

Supposons

d’abord,

selon

_(11),

_{que I~n (k~ ~} o;

alors,

la constante Q6 est nulle et les

_{équations (28)}

ne

_peuvent

être _{résolues que si} le déterminant

s’annule. Tous

_{les y}

_susceptibles

d’être des constantes de

_propagation

de notre câble doivent donc satis-faire ou à

_{l’équation}

ou à

_{l’équation}

nous excluons _par une

_hypothèse

les cas

_où,

_pour

certains ~y, ces deux

_équations

sont satisfaites

simul-tanément,

cas dont l’étude

_{n’apporterait}

rien

d’essen-i

tiellement nouveau.

1

A l’aide des formules

_{(20), (21), (22),}

on voit

qu’aux

points

y ib

ik2

et y _ ±

ik,

où

respec-tivement _X2

_et

sont

nuls,

la fonction

analy-tique

D

_(y)

est

_régulière;

_par contre, en _{y = +}

_ik4,

D

_(1’)

a des

_points

de ramification

_{logarithmique.}

Mais,

comme l’on doit avoir nécessairement

o,

afin que la fonction

_u.

_(r)

selon

_(25),

₍₂₆₎

s’annule

à

l’infini,

nous n’aurons à considérer D

_(y)

_que dans le domaine où cette

_inégalité

est satisfaite en vertu de nos conventions

_{antérieures,}

donc dans le

_plan

des y,

découpé

le

long

des deux branches de la

courbe

_{(30) qui}

est

_{représentée}

_figure

2. Dans ce

domaine,

D

_(y)

est une fonction

_paire

de _y et

l’équa-tion

₍₃₁₎

y

possède

des solutions -~- y,

(u

=

I, ...)

en nombre fini ou infini

_{qui sont les valeurs propres}

de

_{l’équation}

₍₁₆₎

dans les conditions

_{(17), (18).}

Car _pour ces _y,,, les

_{équations (28), (26) peuvent}

être résolues _pour

les

et les fonctions _propres

correspondan.tes U,,

=

E1’J(r)

selon

(25),

(26)

four-nissent,

à l’aide de

₍₈₎

et

₍₁₀₎

des solutions

_partielles

des

_équations

du câble.

Fig. 2. - La courbe Im

(xj = _o.

Comme nous l’avons

_indiqué

dans

l’introduction,

ordinairement seules les racines ± _yi de

_partie

réelle minimum sont

_prises

en _{considération pour}

la

_propagation

de

_{signaux téléphoniques}

ou

télé-graphiques.

Pour les valeurs usuelles de ri, r2, r3 et de c~, les nombres = ri +

"(~.

et i =1, 2, 3 sont

petits,

si bien que, dans

(28)

et

_(29),

les fonctions

H~1’

...,

H~’’ (X4

T3)

se

219

raison de la

_petitesse

_{de "(1’}

_z.,’>

et

_peuvent

respectivement

être

_remplaces

_{par k1}

et

_k3.

Dans ces circonstances,

_{l’équation (31)}

fournit,

pour la même

valeur,

et les

_équations

₍₂₅₎

à

₍₂₈₎

donnent

pour le

champ

les mêmes

_expressions

_{que la théorie} usuelle des câbles.

Outre les _{solutions propres ordinaires} ou de

i re

_espèce

u.,

_(r)

dont les valeurs propres -+ ...

forment le

_spectre

_ponctuel

de

_{(16) [avec (17), (18)],}

il existe une variété continue de solutions _propres

de ?e

_espèce

_u,~

_{(r) correspondant}

aux

points

_y de

la courbe

₍₃₀₎

_{(fig. 2)}

_qui

forment le

_spectre

continu de

_{(16) [avec (17)].}

On obtiendra en résol-vant d’abord les deux 1 l’es

_{équations (28)}

_{pour a,}

et a2, ensuite les 3 e

et 4 e

équations

pour U3 et u4’

etc.;

car les déterminants

_(24),

_(27)]

de ces

_paires

_{d’équations}

sont différents de zéro.

En

_particulier,

on déduit ainsi les formules

A56

et

_{A66 désignant}

ici des mineurs de la 6e colonne

de la matrice

_(29);

la 2 e

_{équation (33)}

met en évidence que pour les

points y,,

du

_spectre

_ponctuel,

Uy se

confond avec _u,,.

On voit aussi que la fonction

Uy

(r)

formée ainsi

est une fonction entière de y, ce _que nous

utili-serons _{par la}

_suite;

mais il _{faut retenir que}

u-n’a _pas de

_{signification}

_physique,

_{sauf pour} les

points

des

_spectres

_ponctuel

₍₃₁₎

et continu

_(30).

Il nous reste encore à étudier les fonctions propres de 2e

_espèce

_pour r -oJ.

Or,

les formules

₍₂₃₎

montrent que pour x, réel et r -P co, le 2 e membre de la

_4e

_équation

₍₂₅₎

est seulement

0 (;,:) ;

a

r

les

_{Uy (r)}

de 2e

_espèce

ne

_remplissent

_{donc pas la}

condition

_(18).

Mais en

_intégrant

sur un arc

_quelconque

du

_spectre

continu,

on obtient une fonction

_{Ez(r, z)}

dont on tire une solution

E~ Er,

H,

des

équa-tions

₍₇₎

du câble

_qui

satisfait aussi à toutes les conditions

_{supplémentaires}

de la théorie de Maxwell. Pour montrer

_{cela, formons,}

avec une fonction

analytique f (),

les

_intégrales

v_ 1

la sommation sera étendue a

un arc

_quelconque

_{yl-(2 de la courbe}

_(30),

dont les

extrémités sont

_supposées

différentes de ±

_ik,.

Ces fonctions satisfont évidemment aux

_{équations (7)}

et aux conditions de continuité

_requises

_pour r _{=r1, r~, fg,} car satisfait à

₍₁₆₎

et

_(17).

Pour démontrer

_qu’en

outre, les fonctions

₍₃₅₎

sont au moins de l’ordre pour r -~- 00, nous y

remplaçons

u.

par le

2e membre de la

_{équation. (25),}

_{et y}

_{par la variable}

d’intégration

réelle _r, = _z; on a alors des

inté-grales

de la forme

où ?

(x)

désigne

une fonction

_complexe

de x.

Or,

à l’aide de

₍₂₃₎

et en utilisant le fait

_qu’ici,

i e’~ ~ ~

1 =

1, on a, _par

_exemple,

_pour =

0, ’) = _1,

Donc,

les fonctions

₍₃₅₎

forment une solution

légitime

des

_équations

_(7);

en _y

remplaçant

par

f (Y)

[voir

(33)]

et en faisant tendre le

D(y)D (y)

point

YI vers -

on obtiendrait même des

solu-tions

_qui

sont exactement de l’ordre

de I

_pour r r

et les

_{développements}

ultérieurs montrent

qu’inver-sement,

on

_peut

_{représenter chaque champ}

maxwel-lien à l’aide des

_champs

_propres des deux

_espèces.

3.

_{Orthogonalité}

des fonctions _propres.

-Nous démontrerons _{maintenant que les} dÉri-vées da (r) ou deux solution.s _propres

vees

d i- ou

dr

de deux solutions propres différentes sont

_{orthogonales.}

Pour cette

démons-tration,

nous nous servirons de

_{l’équation (15) qui}

est

_plus

_générale

_que

₍₁₆₎

et n’utiliserons _pas

que k2

et ‘u sont constants par morceaux; par

consé-quent,

les formules

_qui

suivent seront

_valables,

du moins

formellement,

pour des k

_(r)

et

_{des p(r)}

qui

sont _{continus par} morceaux, et constants à

partir

d’un certain r =

Soient maintenant ui

(r)

et _{u2 (r)} deux solutions

propres de

(15), appartenant

aux

_{valeurs .111}

et

_{~2~ ~}

"(1 du

_{spectre ponctuel,}

donc des fonctions

qui

satisfont,

la

_première

_pour y ‘

y, et la

deuxième

pour y = _aux conditions

(15), (17), (18);

_on a alors la formule

En

effet,

on obtient à l’aide de deux

intégrations

partielles

qui

sont

_légitimes

en raison de

(17),

et comme la fonction à

_intégrer

du dernier terme est nulle en vertu de

_(15),

il vient

mais

_grâce

à

_(18),

le dernier membre tend vers zéro pour R - oo, ce

_qui

démontre la formule

_(37).

Remplaçons

dans ces

_{équations u2 (r)}

_par use

fonction propre de 2 e

_espèce

_ui

_(r);

dans nos

hypo-thèses,

l’équation

(15)

se confond pour

avec

_(16),

_{de sorte que} l’on a

_[voir

la

_4~

équa-tion

₍₂₅₎

et les formules

_{(23)] :}

.

, B . , rm , /.... v TT/ ., , 1 , / ....

’-Dans ces

_conditions,

_{I (R) (38)}

tend encore vers _{zéro pour R} -~ oo, de sorte que la formule

(37)

reste valable si l’une des deux fonctions _propres est de 2 e

_espèce.

Mais si u, et u, sont tous deux

remplacés

par des

fonctions propres de 2 ~

_espèce,

la condition

ne suffit _{pas pour} faire

_disparaître

1

_(R)

_{pour .R} --~ 00.

Cependant,

dans ce _cas, la formule

₍₃₇₎

subsiste entre les fonctions u,

(r)

=

uv

(r)

et

f (y) désignant

une fonction

_analytique

et

l’inté-gration

étant

_étendue,

comme dans

₍₃₅₎

et

_(36),

à un arc

_{’Y2 du}

_spectre

continu. En effectuant dans

_{l’équation}

_(38),

avec

_{u2 = u~~,}

l’opé-ration ...

d~y’,

on obtient

~0. ~~~~

1

et à l’aide de

_(40),

on a, pour le ge

membre,

l’expres-sion ,

Il faut maintenant

_distinguer

deux cas. Admet-tons _{d’abord que ni le point} y ni -

y ne sont situés

sur l’arc _{sorte que le facteur}

y ’2 -’l., -

_{y est}

Y --

z-borné;

en

_appliquant

alors la formule

_(36),

on voit

que (44), donc aussi le I er membre de

_(43),

est nul.

Supposons

maintenant _{que le}

_point

1 est situé

sur _{11 12 et}

_traçons

dans un

_voisinage

de y deux

arcs C’ et

_{C" qui}

soient convexes

_{respectivement}

vers le haut et vers le bas

(fig. 3).

Admettons _{que ié}

est

_positif

_{[ce qui}

est le cas, en raison de nos

conven-tions sur le

_signe

de la racine de

_{(9), respectivement}

sur les bords

_supérieur

et inférieur des branches droite et

_gauche

de la courbe

_(30)];

on a

alors,

à l’aide de (23),

En

_remplaçant

le chemin

_{d’intégration}

de

₍₄₄₎

dans un

_voisinage

de y par C’ ce

_qui

ne

_change

_pas

la valeur de cette

_intégrale,

on obtient donc _que les termes

_qui

sont

_multipliés

_par

_{(x;, r)}

ou

par H/1

(x~

r),

donnent pour résultat

zéro;

en

rem-plaçant

ensuite,

pour les autrestermes,

I ....

2 TT

f,-,-221

par

21, ,- i fcI, . - -

d",:’ -

Res

(y’

_

y),

_nous

voyons

2 sz 1

c"

que (44)

devient

égal

à la limite de ce

_résidu,

donc à

, rrl 1 1 / , . ; , , , ... l ... ,

w

-Fig. 3. - Déformation du chemin d’intégration de (44).

On obtient ainsi entre la fonction

_uy

_(r)

selon

_(15),

(17),

(40)

et la fonction

₍₄₂₎

la formule

d’ortho-gonalité

4. Introduction d’une fonction de Green G,,".

- Nous étudions ensuite la fonction de Green de

l’équation ’(16)

sous les conditions

₍₁₇₎

et

(18).

C’est une fonction G Y’

_{(r, r’)}

de la variable réelle r

et des

_paramètres

r’

_(réel)

_et

_(complexes),

définie pour toutes les valeurs ~ o de r et r’ et _pour tous

les y

qui n’appartiennent pas

aux

_{spectres ponctuel}

ou

continu;

G,Y, satisfait à

_{(16), (17), (18)}

sauf

....j . , ...

au

_point

arbitraire r = r’ ou _nous

imposons

à

dr

la discontinuité suivante :

Pour calculer on

_{procédera pareillement}

_que

lors du calcul de u,,

_(r)

=

(r)

dans

l’hypo-thèse

₍₁₁₎

_qui

avait comme suite la relation

_(26).

Admettons _{par exemple} que r’

appartienne

à l’inter-valle

( À>î )

.

Dans ce cas, GI";I satisfait à

_{l’équation (16),}

sauf

pour r =

rl,

r’,

r2l f3’ de sorte que l’on obtient les formules suivantes :

dont les coefficients

b§T’

(r’),

...

dépendent

des

paramètres

r’ _{et y~}

_ensuite,

les conditions

₍₁₇₎

et

₍₄₆₎

entraînent

_[en

utilisant les notations

₍₂₂₎

et

_(27)]

huit

_équations

linéaires non

_homogènes,

. à savoir :

Le déterminant de ce

_système

est

_égal

au

produit

des déterminants

_{(24) (avec, x}

et

_{- v2D(¡)}

_~(29)~

et de manière

_générale,

_égal

à

-- i,

_{D (1)}

si r’

_appartient

au jeine milieu

à rI ,

de la

_figure

1. Les

équations (49)

et celles

_qui

leur

correspondent

dans le cas où r’

_appartient

à un

intervalle différant de

_{(47), possèdent}

donc une

solution et G TJ

_{(r, r’)}

existe,

par

conséquent,

pourvu que

D (y) #

o, c’est-à-dire que y

n’appartienne pas

au

_spectre

_ponctuel

de

_(16).

Entre la fonction G."’ et les _{fonctions propres} existent des relations

_qui

sont

_{importantes pour}

la

solution des

_problèmes

aux limites et _pour le

déve-loppement

dJun

champ

arbitraire suivant les

_champs

propres

qui correspondent

aux _{fonctions propres} des deux

_espèces.

En

_procédant

de manière

_analogue

que lors de la démonstration de la formule

(37)

et

où uv

_(r)

=

E9i.,)

(r)

et

u.,

(r)

=

(r)

_sont

respec-tivement des solutions _{propres de i re} et de 2e

_espèces

de

₍₁₅₎

ou

_(16).

En

_appliquant

le même

_procédé

aux fonctions

(r, r’)

et

_{(r, r"),}

on obtient la formule bien connue

r‘ - r:.1 V}{ i, ’B ( .... l ’B

On

peut

se rendre

_compte

facilement _que,

pour y = _y,,, tous les mineurs

A ix

de la matrice

(29)

ne

_{peuvent pas être}

nuls à la

fois,

ce

_qui

entraîne

l’unicité des fonctions _{propres u,, (r)} et, de

là,

on

conclut que les

zéros y,

de

D(y)

sont

simples.

Dans

ces

_conditions,

u,,

_(r)

est

_égal,

à un facteur

_{près qui}

dépend

de

r’,

à la fonction

K,,

désignant

ici un

_petit

cercle autour du

_point

_{i,,, ;}

car la

dérivée,

par

rapport

à r, de cette fonction est

continue _pour r =

_r’,

de sorte

qu’elle

satisfait _aux

équations (16), (17), (18)

pour ~~ _ ~yv. En raison de

_(51),

on a donc

où e,, est une _{constante que} nous _{pouvons calculer} en introduisant ici pour r et r’ des valeurs

particu-lières

_quelconques.

En _{choisissant par}

_exemple

r = _o, r’ f =

rl, ce

qui

est

_compatible

avec

_{l’hypothèse}

₍₄₇₎

dans

_laquelle

nous avons établi les formules

_{(48), (49)}

de

on tire de

₍₂₅₎

et de la 1 re

équation (28),

Ensuite,

la I re

_{équation (48)}

et les

_{équations (49)}

donnent

oû

_A21

_{(y) désigne}

le mineur de l’élément Q21 de la matrice

_(29),

et il vient

.. ,

En introduisant ces

_expressions

dans

_(53),

on

obtient

r A i .. "

de sorte _que

₍₅₃₎

_prend

la forme

Cette

_équation

_{montre que} la fonction

analy-tique

de y

est

_régulière

aux

_points

_y == _1’1 du

_spectre

ponctuel,

quelles

que soient les valeurs de r et

_{r’; d’ailleurs,}

on

_peut

démontrer aisément _que le numérateur de cette

_expression

est

_{algébriquement}

divisible

_{par D (y).}

Désignons par

f *

(y)

la fonction en

_laquelle

une

fonction

_{analytique i}

_(y)

_[qui

soit

_holomorphe

dans le

_{plau ~ découpé}

selon la

_figure

_2]

se transforme

quand

~~ contourne le

point

une fois dans le sens

_positif;

on _a, en

_particulier,

et ces formules suffisent _{pour toutes} nos

applica-tions. Considérons maintenant la

_{différence ,}

entre les valeurs que

prend

sur les bords

supé-rieur et inférieur de la branche droite de la

cou-pure

(30).

Considéré comme fonction de r, .1GI";)

satisfait évidemment à

₍₁₆₎

et

_(17),

même _pour r =

r’,

et

_est,

_d’après

la

4 e

équation (48),

de l’ordre de

1

/-pour r - oo; c’est donc une fonction propre de

2 e

_espèce.

Comme

_c’est,

en outre

_{[voir (51)],}

une

fonction

_symétrique

en r et

r’,

on a

1âYj(n, n’) _ ’),, ,’)u; j’j)

= >

] (39)

et c

_(y)

_peut

être

calculé,

comme

_auparavant

c,,,

en introduisant ici pour r et r’ des valeurs

parti-culières.

Avec les valeurs

_{précédentes}

r = _o, .r’ =

r,, le calcul fait

_plus

haut fournit la relation

Comme la fonction } _{n’est pas ramifiée}

en y = +

ik4,

la dernière

équation peut

être écrite

sous la forme

donc, la fonction

₍₅₆₎

est

_régulière

aussi bien

en _y

_{= -~- i~~}

_{qu’aux points}

du

_spectre

_ponctuel,

et cette

_propriété

_qui

subsiste _{évidemment pour} les dérivées

_{(par rapport}

à r ou à

r’)

de

_(56),

sera utilisée

dans la suite lors du

_{développement}

de la compo-sante

_{(r, z)}

d’un

_{champ E}

_quelconque

_d’après

les fonctions _propres

_(r)

et

_(r).

223

les _{fonctions propres.} Pour obtenir la

_première

de

ces formules, faisons tendre y vers yv dans la

1 ré

_{équation (50)}

en utilisant la formule

(53);

il

vient

- - r- r , ,

, , _

-Appliquons

ensuite la formule

_(45),

pour y ;’2,

à la fonction propre de 2e

_espèce

_Uy

_(r)

selon

₍₂₅₎

et

_posons-y

_{f (~y)}

== y; il faut alors

introduire,

dans

_(45),

_pour a~1 = _a~ et a 2) =

a6 les expres-sions

₍₃₃₎

et l’on

obtient,

à l’aide de la

notation

_(32),

On vérifie maintenant à l’aide des

_{équations (24),}

(32), (34)

l’identité

~,», 1 1 ~ ,

grâce

à

_laquelle

on as

- - ,..,. - 1. n } 1 n . ri , ’1 " ,

en

outre,

on

_peut

établir,

au _moyen d’un calcul

simple qui

porte

sur les mineurs de la matrice

₍₂₉₎

et que nous laisserons au

_{lecteur, l’identité}

5.

_{Interprétation physique}

de G et des formules

_{d’orthogonalité.}

- Les formules du

dernier

_chapitre

admettent une

_{interprétation}

phy-sique simple.

Identifions d’abord la fonction

_{2 il CI)}

G,-,’

avec la fonction

Eg71

qui

figure

dans

₍₈₎

et

₍₁₀₎

et

_formons,

selon ces

_équations,

les

_expressions

Ces fonctions sont les

_composantes

du

_champ

électromagnétique

d’un câble selon la

figure

i,

car GYI satisfait aux conditions

_{(16), (17),}

sauf pour r

_{= r’,}

et à

_(18).

Sur la surface latérale de

_cylindre

/-=/-B

la

_composante

_Po

de ce

_champ

subit,

en vertu de

_(46),

la discontinuité

et à celle-ci

_{correspond, d’après l’équation (2),}

un courant de surface

Nous pouvons donc dire que le

champ

électro-magnétique

« de Green »

₍₆₈₎

est

_engendré

_par

une _nappe de courant sinusoïdal I =

qui

s’écoule en direction axiale le

_long

de la surface

_(69).

Multiplions

maintenant le 2e membre de la

formule

₍₃₇₎

_{[où u,, (r) (14)}

est l’abréviation

pour

E~_’’~

(r)

=

(r)]

par

compte

tenu des

_équations

(8)

et

_{(10), (37) prend}

alors la forme

Cette

_{équation exprime}

_{le fait que le} « flux

|

complexe

» du vecteur de

Poynting

mutuel

de deux

_champs

_propres

_(ordinaires)

différents à travers un

_{plan quelconque perpendiculaire}

à

l’axe,

est

_nul;

_{notons que} ce flux doit être formé au _moyen

des

_composantes

_complexes

des deux vecteurs

_qui

figurent

dans

_(73).

Comme des

_{intégrales pareilles}

à

₍₇₂₎

se trouvent dans une

_partie

des formules

_{ultérieures,}

nous

introduisons,

pour le flux du vecteur,

224

Supprimons

dans

₍₇₂₎

les facteurs

avec la notation

_(75),

cette

_équation

prend

alors la forme

E(J).H(2) == E(2).H(I)== 0

_{c-’(?~ =:t:: Yl) (70)}

et,

de la même

façon,

on a

E1»1 = _o

( i7)

pour le flux

complexe

mutuel de deux

_champs

propres de différentes

espèces.

Grâce à

_(74),

_{l’équation}

_(4~),

_{valable pour des}

solutions propres de

_{(16) qui}

sont _pour r >

_Ro

de la forme

_(40),

devient

c’est la loi

_{d’orthogonalité}

entre un

_champ

de

2e

_espèce

et

_{l’intégrale,}

_par

_rapport

à

_dy,

d’un tel

champ.

A , ... ,_.., .

les

_{équations (54), (63)}

et

_{(60), (.67)}

_donnent

respec-tivement

et en

d’après (68)

_par

C2

les

_équations

₍₅₃₎

et

_{(59) deviennent}

.

En

_multipliant

la Ire

_équation

₍₅₀₎

respecti-vement

par 1(

et _par

1r~ Yv ~,~,, ,

, on obtient

et,

de manière

_analogue,

on tire de la 2e

équa-tion

₍₅₀₎