La gure 1 représente un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de même axe Oz :

Ondes électriques

Les points du cours à connaître

I- Réexion et transmission

1. Propriétés d'une OPPM (cas d'un câble coaxial)

La gure 1 représente un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de même axe Oz :

• l'âme, conducteur électrique, pour r < a ;

• la gaine , isolant de permittivité relative ε

_r

, pour r ∈ [a; b] ;

• la masse, conducteur, pour r > b . Structure du câble coaxial schéma

Figure 1 Structure du câble coaxial

La gure 2 représente Les éléments du circuit (dipôles) sont des constantes localisées : on notera l'inductance propre par unité de longueur l et la capacité propre par unité de longueur c .

Modélisation électrique du câble coaxial sans pertes schéma

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert et que la célérité des ondes dans le câble est c

₀

=

^√1

` c

.

1 Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte exercice

Une loi des mailles donne :

` dx ∂I (x, t)

∂t = −V (x + dx, t) + V (x, t) = − ∂V

∂x dx La loi des n÷uds donne :

I(x, t) − I(x + dx, t) = c.dx ∂V (x + dx, t)

∂t soit − ∂I

∂x dx ≈ c dx ∂V

∂t

Figure 2 Modélisation électrique du câble coaxial sans pertes

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance ` dx et une capacité c dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x = −` ∂I (x, t)

∂t et ∂I

∂x = −c ∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace x commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

^∂_∂x^2V2

= ` c

^∂_∂t^2V2

.

De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première, on trouve :

^∂_∂x^2I2

= ` c

^∂_∂t²2^I

. Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation de propagation, celle de D'Alembert :

∂

²

V

∂t

²

= c

²₀

∂

²

V

∂x

²

et ∂

²

I

∂t

²

= c

²₀

∂

²

I

∂x

²

avec la célérité c

₀

= 1

√

` c

Montrer que

V ˜

₊

= Z

_c

I ˜

₊

pour une propagation selon x % V ˜

−

= −Z

_c

I ˜

−

pour une propagation selon x &

2 Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dans un câble coaxial exercice

On a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x croissants V

t − x

c

₀

= Z

c

I

t − x c

₀

et on a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x décroissants V

t + x

c

0

= −Z

_c

I

t + x c

0

L'impédance ne dépend que des caractéristiques du câble : Z

_c

= ` c

₀

=

r ` c = 1

c c

0

car c

₀

=

^√1

` c

. Elle est réelle, positive et s'exprime en Ω . Dans le cas du câble d'antenne Z

_c

v 50Ω .

Impédance caractéristique d'un câble coaxial s'y retrouver

Attention au signe !

Pour une onde plane quelconque, il y a superposition d'une onde se propageant vers les x croissants ( I

₊

) et d'une onde se propageant vers les x décroissants ( I

−

) :

I (t, x) = I

₊

t − x c

₀

+ I

−

t + x

c

₀

⇒ V (t, x) = Z

c

I

+

t − x

c

₀

− Z

c

I

−

t + x

c

₀

remarque

l'énergie dans ` dx est dE

_L

=

¹₂

` dx I

²

, qui donne une densité linéique d'énergie inductive e

_L

= 1

2 ` I

²

L'énergie dans c.dx est dE

_C

=

¹₂

c dx V

²

, qui donne une densité linéique d'énergie capa- citive

e

_C

= 1 2 c V

²

L'énergie dans le petit élément de longueur dx est dE = dE

L

+dE

C

=

¹₂

` dx I

²

+

¹₂

c dx V

²

qui fait apparaître la densité linéique d'énergie

e = e

_L

+ e

_C

= 1

2 ` I

²

+ 1 2 c V

²

Densités d'énergies s'y retrouver

la partie du câble pour les abscisses x < x

0

transfère une puissance à la partie x > x

0

: P (t) = V (x

₀

, t) I(x

₀

, t)

On peut le retrouver en électricité : c'est la puissance qu'échange un dipôle, celui qui correspond à la partie x > x

₀

du câble.

Puissance transférée d'un morceau à l'autre du câble s'y retrouver

Déterminer le signe de la puissance transférée de la partie du câble coaxial pour les abscisses x < x

0

à la partie x > x

0

dans le cas d'une onde plane progressive, suivant son sens de propagation.

3 Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagation exercice

Pour une onde se propageant vers les x croissants, comme V (x

₀

, t) = Z

_c

I(x

₀

, t) , on trouve P (t) = Z

_c

I(x

₀

, t)

²

> 0 : la partie x > x

₀

du câble gagne du travail électrique.

Pour une onde se propageant vers les x décroissants, comme V (x

₀

, t) = −Z

_c

I(x

₀

, t) , on trouve P (t) = −Z

_c

I(x

₀

, t)

²

< 0 : la partie x > x

₀

du câble perd du travail électrique.

Montrer que

∂e

∂t = − ∂P

∂x 4 Bilan énergétique local exercice

pour la partie du câble comprise entre x

₀

et x

₀

+ dx , la variation d'énergie électrique est dE

dt = +P (x

₀

, t) − P (x

₀

+ dx, t) = − ∂P

∂x dx D'autre part, comme E = e dx ,

dE dt = ∂e

∂t dx

On trouve donc le bilan local. On retrouve le fait qu'une onde correspond à un transfert d'énergie sans transfert de matière

2. Réexion en bout de ligne (cas d'un câble coaxial)

La gure 3 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

c

relié en x = x

0

à une impédance Z ˜ .

Câble coaxial terminé par une impédance schéma

Figure 3 Câble coaxial terminé par une impédance

On dénit le coecient de réexion

en intensité : r

_I

= I ˜

_r

(x = x

₀

, t)

I ˜

_i

(x = x

₀

, t) et en tension : r

_V

= V ˜

_r

(x = x

₀

, t) V ˜

_i

(x = x

₀

, t) Coecients de réexion en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de réexion énergétique par R =

hP

_r

i hP

i

i

∈ [0, 1]

où la puissance moyenne est hP i =

¹₂

Re V ˜ I ˜

^∗

. Coecient de réexion en énergie s'y retrouver

On dit qu'il y a "adaptation d'impédance" si toute l'énergie est absorbée dans l'impé- dance terminale. C'est le cas si Z ˜ = Z

_c

.

Adaptation d'impédance s'y retrouver

3. Réexion et transmission à une interface (cas d'un câble coaxial)

La gure 4 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

₁

relié en x = x

₀

à un autre câble coaxial d'impédance caractéristique Z

₂

.

Deux câbles coaxiaux schéma

Figure 4 Deux câbles coaxiaux

on dénit le coecient de transmission par en intensité : t

_I

= I

_t

(x = x

₀

, t)

I

_i

(x = x

₀

, t) et en tension : t

_V

= V

_t

(x = x

₀

, t) V

_i

(x = x

₀

, t) Coecient de transmission en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de transmission énergétique par T =

hP

_t

i hP

_i

i

⇒ R + T = 1 Coecient de transmission en énergie s'y retrouver

II- Dispersion et absorption

1. Equations d'onde et relation de dispersion

La gure 5 représente On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur ` , une capacité propre par unité de longueur c , une résistance par unité de longueur r

₁

et une conductance par unité de longueur g

₂

.

Modélisation d'un câble coaxial résistif ^schéma

Figure 5 Modélisation d'un câble coaxial résistif

Déterminer l'équation d'onde (dite "des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans le câble et vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r

1

= 0 et g

2

= 0 .

5 Equation de propagation dans un câble coaxial résistif exercice

Une loi des mailles donne :

` dx ∂I(x, t)

∂t + r

₁

dx I(x, t) = −V (x + dx, t) + V (x, t) = − ∂V

∂x dx

La loi des n÷uds donne :

I(x, t) − I(x + dx, t) = c dx ∂V (x + dx, t)

∂t + g

₂

dx V (x + dx, t) soit −

^∂I_∂x

dx ≈ c dx

^∂V_∂t

+ g

₂

dx V (x, t) .

On arrive à deux équations couplées : c ∂V

∂t + g

₂

V (x, t) = − ∂I

∂x et l ∂I (x, t)

∂t + r

₁

I(x, t) = − ∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace x commutant. En dérivant la seconde par rapport à x , on trouve :

^∂_∂x^2V2

=

−`

_∂t^∂

∂I(x,t)

∂x

−r

₁^∂I(x,t)_∂x

et en utilisant la première,

^∂_∂x^2V2

= l

_∂t^∂

c

^∂V_∂t

+ g

2

V (x, t)

+r

1

c

^∂V_∂t

+ g

2

V (x, t) . Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂

²

V

∂x

²

= ` c ∂

²

V

∂t

²

+ (r

₁

c + ` g

₂

) ∂V

∂t + r

₁

g

₂

V (x, t) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r

₁

= 0 et g

₂

= 0 .

On va chercher des solutions sous la forme : ψ (~ r, t) = Re

ψ(~ ˜ r, t)

où ψ ˜ = ψ

₀

.e

^j

(

^{˜k x−ω t+ϕ0}

)

où ψ

₀

et ϕ sont des constantes. Cette fois, ˜ k est a priori complexe.

Recherche des solutions d'une équation d'onde s'y retrouver

La relation de dispersion est l'équation entre le vecteur d'onde complexe k ˜ et la pulsation ω des OPPM qui composent l'onde qui se propage dans ce milieu.

Relation de dispersion dénition

Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégra- phistes.

6 Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif exercice

Cela donne l'équation de dispersion

k ˜

²

= ` c ω

²

+ j (r

₁

c + ` g

₂

) ω − r

₁

g

₂

En général, on cherche un vecteur d'onde complexe k ˜ = k

r

+ j k

i

avec k

r

= Re

k ˜

et k

i

= Im k ˜

Solution d'une équation de dispersion s'y retrouver

La forme de l'onde sera :

ψ ˜ = ψ

₀

e

^−kix

e

^{−j(ω t−krx−ϕ0)}

2. Milieu absorbant / Onde amortie

L'onde est de la forme :

ψ ˜ = ψ

₀

e

^−kix

e

^{−j(ω t−krx−ϕ0)}

Donc l'amplitude de l'onde est

ψ

₀

e

^−kix

= ψ

₀

e

^−xδ

L'amplitude de l'onde décroît sur une taille caractéristique (appelée longueur de péné- tration)

δ = 1 k

i

= 1

Im

˜ k

Puisque l'amplitude de l'onde décroît avec x si l'onde se propage vers les x croissants, on parle d'onde absorbée.

Onde amortie s'y retrouver

La gure 6 représente la "photographie" d'une onde amortie sur une corde. L'atténuation a lieu dans le sens de propagation de l'onde. L'onde perd de l'énergie au prot du milieu de propagation : il y a absorption de l'onde.

"Photographie" d'une onde amortie sur une corde ^schéma

Figure 6 "Photographie" d'une onde amortie sur une corde

3. Milieu dispersif

Pour une onde plane de pulsation ω ayant une partie réelle du vecteur d'onde k

_r

, on dénit une vitesse de phase

v

_ϕ

= ω k

_r

Vitesse de phase dénition

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase dépend de la pulsation ω de l'onde plane.

Milieu dispersif dénition

Montrer qu'un milieu qui suit l'équation de D'Alembert est non dispersif.

7 Cas de l'équation de D'Alembert ^exercice

L'équation de dispersion se réécrit k ˜

²

= ω

²

c

²₀

= k

_r²

− k

²_i

+ 2 j k

r

k

i

k ˜ est alors réel : ˜ k = k = k

_r

= ±

_c^ω

0

et k

_i

= 0 .

en optique, on dénit l'indice optique par n =

^c_v

où v est la vitesse de l'onde électroma- gnétique dans un milieu (transparent) et c la vitesse de la lumière dans le vide. La loi empirique de Cauchy relie n à la longueur d'onde (dans le vide) λ =

_ν^c

=

^2π.c_ω

:

n = A + B λ

²

où A et B sont des constantes.

On voit donc que les milieux matériels sont dispersifs pour les ondes lumineuses : v

ϕ

=

_n^c

est fonction de λ donc de ω .

Exemple de la loi de Cauchy s'y retrouver

III- Paquet d'ondes

1. Notion de paquet d'ondes

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans le temps. Elle ne nit jamais, et a débuté il y a un temps inni ! // L'OPPM est un outil ma- thématique intéressant car on peut décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.

Nécessité du paquet d'ondes s'y retrouver

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ ˜ = Z

∞

0

A ˜ (ω) .e

^{j.(ωt−k.x)}

dω

où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dénition

Bien souvent A ˜ (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquet d'ondes.

Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν =

^∆ω_2π

. Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

La gure 7 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine d'OPPM.

Paquet d'ondes schéma

Figure 7 Paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t ∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x , reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x ∆k ≈ 1

"Petit" paquet d'ondes s'y retrouver

2. Vitesse de groupe

On s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k

0

+ δk et ω = ω

0

+ δω , avec δω ω

₀

et δk k

₀

Petit paquet d'ondes s'y retrouver

On dénit la vitesse de groupe par

v

g

= dω dk au voisinage de (k

₀

; ω

₀

) .

Vitesse de groupe ^dénition

Montrer que

ψ ˜ = ˜ A

⁰

e

^{j(ω0t−k0x)}

pour peu que l'on pose l'enveloppe

A ˜

⁰

= Z

A ˜ (ω

₀

+ δω) e

^{j δω}

t−_vg^x

dδω 8 Enveloppe d'un paquet d'ondes exercice

On peut faire un développement limité autour de (k

₀

; ω

₀

) : k (ω) ≈ k (ω

₀

) + dk

dω (ω − ω

₀

) = k

₀

+ δω v

g

En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve ψ ˜ =

Z

A ˜ (ω

0

+ δω) e

^j

ω0t+δω t−k₀x−^δω

vgx

dδω

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k

₀

; ω

₀

) : e

^{j(ω0t−k0x)}

), modulée par une enveloppe A ˜

⁰

qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe v

g

car on retrouve le facteur e

^{j δω}

t−^x

vg

.

Interprétation du paquet d'onde s'y retrouver

3. Propagation d'un paquet d'ondes

Montrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :

v

_ϕ

= v

_g

= c

₀

Il n'y a pas de dispersion.

9 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exercice

Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit k

²

= ω

²

c

²₀

⇒ k = ω c

₀

pour une onde se propageant vers les x croissants. Donc

v

_ϕ

= v

_g

= c

₀

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caracté- rise par la transmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.

Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant

animation

La gure 8 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va se déformer : il va s'étaler et s'amenuiser.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma

Figure 8 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargisse- ment de ce paquet d'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aai- blissement de l'amplitude du paquet d'ondes au cours de la propagation.

Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant animation

pour transmettre une information, un émetteur doit envoyer à un récepteur une onde limitée dans le temps et l'espace : une impulsion, un petit paquet d'ondes.

Le récepteur détectera le passage de ce paquet d'onde, c'est à dire, en gros, le passage du maximum de l'enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe.

La transmission de l'information se fait donc à la vitesse v

_g

.

Transmission de l'information s'y retrouver

Exercice traité en n de cours

exo 11.1) Modélisation de la propagation dans un câble coaxial

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur ` , une capacité propre par unité de longueur c , une résistance par unité de longueur r

₁

et une conductance par unité de longueur g

₂

.

1) Etude générale

1.a) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.

1.b) Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégraphistes. En déduire que le milieu est ni absorbant ni dispersif.

2) Cas non résistif.

On suppose r

1

= 0 et g

2

= 0 .

2.a) Montrer que l'on retrouve l'équation d'onde de D'Alembert et que la relation de dispersion nous permet de réécrire une OPPM.

2.b) Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie sous ses deux formes (inductive et capacitive) pour une onde plane dans un câble coaxial.

3) Réexion en bout de ligne

Le câble coaxial d'impédance caractéristique Z

_c

non résistif est relié en x = x

₀

à une impédance Z ˜ . 3.a) Calculer les coecients de réexion en amplitude r

_I

et r

_V

.

3.b) En déduire le coecient de réexion en énergie R . 3.c) Que vaut R dans le cas :

• d'une ligne ouverte

• d'une ligne en court-circuit

• d'une ligne fermée sur une inductance pure

• d'une ligne fermée sur une capacité pure

• d'une ligne fermée sur une impédance égale à l'impédance caractéristique du câble ? 4) On suppose maintenant le câble résistif mais r

1

c + ` g

2

≈ 0 .

4.a) Montrer que la relation de dispersion est celle de Klein-Gordon : ω

c

2

= k

²

+ ω

c

c

2

En déduire que le milieu est non absorbant.

4.b) tracer ω en fonction de k et donner une interprétation géométrique aux vitesses de phase et de groupe. En déduire que le milieu est dispersif.

4.c) Montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérentes et que v

g

v

ϕ

= c

²

L'information se propage-t-elle plus vite que la lumière ? 5) On suppose enn le câble résistif mais g

₂

= 0 .

5.a) Réécrire la relation de dispersion.

5.b) Pour une propagation vers les x croissants, montrer que k

_i

> 0 . En déduire que le milieu est

absorbant. Pourquoi faut-il régénérer le signal au bout d'une certaine distance ?

1) Etude générale

1.a) Une loi des mailles donne : l.dx. ∂I(x, t)

∂t + r

₁

.dx.I(x, t) = −V (x + dx, t) + V (x, t) = − ∂V

∂x dx La loi des n÷uds donne :

I(x, t) − I(x + dx, t) = c.dx ∂V (x + dx, t)

∂t + g

₂

.dx.V (x + dx, t) soit

− ∂I

∂x dx ≈ c.dx ∂V

∂t + g

2

.dx.V (x, t) On arrive à deux équations couplées :

c ∂V

∂t + g

₂

.V (x, t) = − ∂I

∂x et l ∂I (x, t)

∂t + r

₁

.I(x, t) = − ∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace x commutant. En dérivant la seconde par rapport à x , on trouve :

∂

²

V

∂x

²

= −l ∂

∂t

∂I(x, t)

∂x

− r

₁

∂I(x, t)

∂x et en utilisant la première,

∂

²

V

∂x

²

= l ∂

∂t

c ∂V

∂t + g

2

.V (x, t)

+ r

1

c ∂V

∂t + g

2

.V (x, t)

Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂

²

V

∂x

²

= l.c ∂

²

V

∂t

²

+ (r

₁

c + ` g

₂

) ∂V

∂t + r

₁

.g

₂

.V (x, t) Cela donne l'équation de dispersion 1.b)

˜ k

²

= ` c ω

²

+ j (r

₁

c + ` g

₂

) ω − r

₁

g

₂

2) Cas non résistif.

2.a) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r

₁

= 0 et g

₂

= 0 et l'équation de dispersion devient

˜ k

²

= ` c ω

²

soit k = ±

_c^ω

0

avec c

0

=

^√1

` c

.

2.b) En utilisant l'impédance caractéristique Z

c

= ` c

0

= q

`

c

=

_{c c}¹

0

, on montre que, s'il s'agit d'une onde plane progressive (dans un sens ou dans l'autre),

e

L

= e

C

⇒ e = ` I

²

= c V

²

3) Réexion en bout de ligne

3.a) 3.b) On peut montrer que le coecient de réexion en énergie au bout d'un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

_c

fermé sur une impédance terminale Z ˜ est :

R =

Z ˜ − Z

c

2

Z

c

+ ˜ Z

2

3.c) Dans le cas où Z ˜ → ∞ , R = 1 : la réexion est totale.

Dans le cas où Z ˜ = 0 , R = 1 : la réexion est encore totale.

Dans le cas où Z ˜ = j.L.ω , R = 1 : la réexion est totale.

Dans le cas où Z ˜ =

_j.C.ω¹

=

_C.ω^−j

, R = 1 : la réexion est totale.

R =

Z ˜ − Z

c

2

Z

c

+ ˜ Z

2

= 0 ⇔ Z ˜ = Z

c

4) On suppose le câble résistif mais 3.d) r

1

c + ` g

2

≈ 0 .

4.a) La relation de dispersion est celle de Klein-Gordon : ω

c

2

= k

²

+ ω

c

c

2

avec

^ω_c^c

2

= r

1

g

2

. Comme k réel, le milieu n'est pas absorbant.

4.b)

v

ϕ

est variable donc le milieu est dispersif.

4.c)

k =

p ω

²

− ω

_c²

c pour tout ω > ω

c

La vitesse de groupe se calcule ainsi :

dk

dω = 2 ω 2 c p

ω

²

− ω

_c²

v

ϕ

= c

q

1 −

^ω_ω^c

²

la vitesse de groupe est :

v

g

= c r

1 − ω

c

ω

²

et vitesses de phase et de groupe sont diérentes car v

_g

v

_ϕ

= c

²

Le vecteur d'onde est réel, et pour tout ω > ω

c

k = k

r

=

p ω

²

− ω

_c²

c On a alors pour tout ω > ω

c

v

ϕ

= c

q

1 −

^ω_ω^c

²

La vitesse de phase dépend de ω : le milieu est dispersif.

5) 5.a) On aboutissait à l'équation de dispersion

k ˜

²

= ` c ω

²

+ j (r

1

c + ` g

2

) ω − r

1

g

2

= k

_r²

− k

²_i

+ 2 j k

r

k

i

donc k ˜

²

= ` c ω

²

+ j r

1

c ω

5.b) ˜ k

²

= k

²_r

− k

²_i

+ 2 j k

r

k

i

Dans le cas d'une propagation vers les x croissants, c'est à dire pour k

r

> 0 , on trouve : k

i

= r

₁

c ω

2 k

r

> 0

Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Reconnaître une équation de d'Alembert.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx , et on prend garde à faire la diérence entre les actions qui s'exercent à gauche ( − F ~ (x) ) et à droite ( + F ~ (x + dx) ).

A) Etablir une équation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n , on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donne une équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus en faisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n , n − 1 et n + 1 . On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Etablir une équation de propagation dans un milieu discontinu ^méthode

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx , et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.

On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.

C) Etablir une équation de propagation dans un câble électrique méthode

11.1.1) Corde verticale

On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µ

l

, accrochée en un point O , l'axe Ox étant vertical, vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t) , la coordonnée orthogonale à Ox .

On note T(x, t) ~ la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de l d'abscisse inférieure à x . On négligera pas l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t . Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.

Le théorème du centre de masse s'écrit : µ

_l

.dx d

²

~ r

dt

²

= T ~ (x + dx, t) − T ~ (x, t) + µ

_l

.dx.~ g dont la projection suivant ~ u

x

donne :

µ

_l

.dx d

²

x

dt

²

≈ 0 = T

_x

(x + dx, t) − T

_x

(x, t) + µ

_l

.g.dx = ∂T

_x

∂x dx + µ

_l

.g.dx

Aussi, on pourra considérer T

_x

=

T ~

cos α ≈

T ~

= T

₀

− µ

_l

.g.x , constante. Donc, la projection suivant ~ u

_y

du théorème du centre de masse donne :

µ

_l

.dx ∂

²

y

∂t

²

= (T.α)

_(x+dx,t)

− (T.α)

_(x,t)

= ∂ (T.α)

∂x dx

Comme l'angle est α(t) ≈

^∂y_∂x

on en déduit l'équation

µ

_l

∂

²

y

∂t

²

= (T

₀

− µ

_l

.g.x) . ∂

²

y

∂x

²

+ ∂T

∂x

∂y

∂x = (T

₀

− µ

_l

.g.x) . ∂

²

y

∂x

²

− µ

_l

.g ∂y

∂x

soit ∂

²

y

∂t

²

= T

0

µ

l

− g.x

. ∂

²

y

∂x

²

− g ∂y

∂x

11.1.2) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et la capacité propre par unité de longueur c .

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dans le câble ?

Une loi des mailles donne :

l.dx. ∂I(x, t)

∂t = −V (x + dx, t) + V (x, t) = − ∂V

∂x dx La loi des n÷uds donne :

I(x, t) − I(x + dx, t) = c.dx ∂V (x + dx, t)

∂t soit − ∂I

∂x dx ≈ c.dx ∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacité c.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x = −l ∂I (x, t)

∂t et ∂I

∂x = −c ∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace x commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂

²

V

∂x

²

= l.c ∂

²

V

∂t

²

De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première, on trouve :

∂

²

I

∂x

²

= l.c ∂

²

I

∂t

²

Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation de propagation, celle de D'Alembert :

∂

²

V

∂t

²

= c

²₀

∂

²

V

∂x

²

et ∂

²

I

∂t

²

= c

²₀

∂

²

I

∂x

²

avec la célérité c

0

=

^√1

l.c

.

11.1.3) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l , une capacité propre par unité de longueur c , une résistance par unité de longueur r

1

et une conductance par unité de longueur g

2

.

1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.

2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r

1

= 0 et g

2

= 0 .

1) Une loi des mailles donne : l.dx. ∂I(x, t)

∂t + r

₁

.dx.I(x, t) = −V (x + dx, t) + V (x, t) = − ∂V

∂x dx

La loi des n÷uds donne :

I(x, t) − I(x + dx, t) = c.dx ∂V (x + dx, t)

∂t + g

2

.dx.V (x + dx, t) soit

− ∂I

∂x dx ≈ c.dx ∂V

∂t + g

₂

.dx.V (x, t) On arrive à deux équations couplées :

c ∂V

∂t + g

2

.V (x, t) = − ∂I

∂x et l ∂I (x, t)

∂t + r

1

.I(x, t) = − ∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace x commutant. En dérivant la seconde par rapport à x , on trouve :

∂

²

V

∂x

²

= −l ∂

∂t

∂I(x, t)

∂x

− r

₁

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,

∂

²

V

∂x

²

= l ∂

∂t

c ∂V

∂t + g

2

.V (x, t)

+ r

1

c ∂V

∂t + g

2

.V (x, t)

Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂

²

V

∂x

²

= l.c ∂

²

V

∂t

²

+ (r

₁

.c + l.g

₂

) ∂V

∂t + r

₁

.g

₂

.V (x, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r

1

= 0 et g

2

= 0 .

11.1.4) Propriétés ondulatoires d'un câble

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm et b = 3, 5mm .

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique (polyéthylène) de permittivité diélectrique relative ε

r

= 2, 26 . La capacité et l'inductance linéiques du câble sont respectivement :

( c =

^2π.ε0.εr

ln

(

_a^b

) l =

^µ_2π⁰

ln

_a^b

1) Calculer la vitesse c

0

de propagation des signaux électriques.

2) Calculer l'impédance caractéristique Z

c

du câble.

1) La célérité des ondes est :

c

0

= 1

√

l.c = 1

√ µ

0

.ε

0

.ε

r

= 2.10

⁸

m.s

⁻¹

2) L'impédance caractéristique est : Z

c

=

r l c = 1

2π r µ

0

ε

0

.ε

r

ln b

a

II- Etablissement de la relation de dispersion

An d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la forme ψ ˜ = ψ

0

e

^−j

(

ω t−˜k x−ϕ0

) . NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ ˜ = ψ

0

.e

^+j.

(

ω.t−˜k.x−ϕ0

) . Mais une fois fait le choix, on n'en change plus !

On trouve ensuite ˜ k = f (ω) .

D) Déterminer la relation de dispersion méthode

11.2.1) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

∂

²

ψ ˜

∂t

²

= c

²₀

∂

²

ψ ˜

∂x

²

⇒ k ˜

²

= ω

²

c

²₀

11.2.2) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif

Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :

∂

²

ψ ˜

∂x

²

= l.c ∂

²

ψ ˜

∂t

²

+ (r

1

.c + l.g

2

) ∂ ψ ˜

∂t + r

1

.g

2

. ψ ˜ Déterminer alors l'équation de dispersion.

Cela donne l'équation de dispersion

˜ k

²

= l.c.ω

²

+ j. (r

1

.c + l.g

2

) ω − r

1

.g

2

11.2.3) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés

La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L , couplés par des ressorts de raideur K , disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation des milieux continus suit l'équation :

^∂_∂t^2ψ2

+ ω

²_p

.ψ = c

^2∂_∂x^2ψ2

avec c

²

= a

²

.ω

_p²

.

Déterminer l'équation de dispersion.

L'équation de dispersion est celle de Klein Gordon : ω

²

= ω

_p²

+ c

²

.k

²

III- Utilisation de la relation de dispersion

Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k ˜ = k

r

+ j.k

i

qui donne deux équations réelles.

Une fois déterminés k

r

et k

i

, on réinjecte dans la forme de l'onde :

ψ ˜ = ψ

0

.e

^−j.

(

ω t−˜k x−ϕ0

) = ψ

0

.e

^−ki.x

.e

^{−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)}

E) Forme de l'onde solution méthode

On repasse ensuite aux réels.

11.3.1) Equation de dispersion de Klein Gordon

On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon : ω

²

= ω

_p²

+ k

²

.c

²

1) Calculer en fonction de ω , ω

_p

et c : 1.a) la vitesse de phase v

_ϕ

, 1.b) la vitesse de groupe v

_g

. 2) Exprimer v

_g

en fonction de c et v

_ϕ

. 3) Comparer chacune des vitesses à c .

1) 1.a) la vitesse de phase :

v

ϕ

= c

q

1 −

^ω_ω^p

²

1.b) la vitesse de groupe :

v

_g

= c.

r

1 − ω

_p

ω

2

2)

v

g

= c

²

v

ϕ

3) v

_g

< c < v

_ϕ

.

11.3.2) Diverses ondes à la surface de l'eau

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnée par :

ω

²

=

g.k + γ.k

³

µ

th (k.h)

où g = 9, 81m.s

⁻²

est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10

⁻³

SI la tension supercielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde : 1.a) de marée ( λ = 1000km et h = 5km ), 1.b) de houle ( λ = 5m ),

1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde ( λ = 1cm ),

1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde ( λ = 2cm et h = 1mm ).

1) NB : en eaux profondes, th (k.h) ≈ 1 . On trouve :

1.a) pour une onde de marée de λ = 1000km et h = 5km , v

g

= 800km/h

1.b) pour une onde de houle ( λ = 5m ),

v

_g

= 5km/h

1.c) pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde ( λ = 1cm ),

v

_g

= 30cm.s

⁻¹

1.d) et pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde ( λ = 2cm et h = 1mm ),

v

_g

= 20cm.s

⁻¹

11.3.3) Onde absorbée

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par un volume élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dans le milieu (loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?

2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km

⁻¹

. Au bout de quelle longueur l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

1) La puissance incidente sur une tranche de section transversale S comprise entre les abscisses z et z +dz est I(z).S où I(z) est l'intensité de l'onde à l'abscisse z . De même, la puissance transmise est I(z + dz).S .

La puissance absorbée est proportionnelle au volume S.dz traversé et à l'intensité incidente, on a donc : I(z + dz).S − I(z).S = −β.S.I(z).dz où β est un coecient positif.

1.a) On a donc

^dI_dz

= −β.I(z) qui s'intègre en : I(z) = I

0

.e

^−β.z

L'intensité décroît exponentiellement.

1.b) L'intensité en décibels est I

dB

= 10log

_I(z)

I_ref

. C'est donc une fonction ane décroissante de z de pente −

_ln(10)^10.β

:

I

dB

= 10.log I

0

I

_ref

− 10.β ln(10) z

2)

_ln(10)^10.β

= 0, 1dB.km

⁻¹

. La longueur L au bout de laquelle

^I(L)_I0

=

¹₂

est :

L = 2

β = 30km

IV- Paquets d'onde

Associer la vitesse de groupe à la propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.

ce qu'il faut savoir faire capacités

L'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques : ψ ˜ =

Z

∞ 0

A ˜ (ω) .e

^{j.(ωt−k.x)}

dω

où A ˜ (ω) est le spectre de cette onde.

En faisant le développement limité autour de ω

₀

, k

₀

: ω = ω

₀

+ u

k(ω) ≈ k

0

+

_∂ω^∂k

u = k

0

+

_v^u

g

F) Paquets d'onde méthode

on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u : ψ ˜ =

Z

∞

−∞

A ˜ (ω

0

+ u) .e

^j.

u t−_vg^u

e

^{j.(ω0t−k0x)}

du

11.4.1) Paquet d'onde à spectre rectangulaire

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire : A(ω) =

_∆ω^A0

si ω ∈

ω

m

−

^∆ω₂

; ω

m

+

^∆ω₂

A(ω) = 0 sinon

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'une superposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = Re

Z

ω=∞

ω=0

A(ω).e

j.(ω.t−k(ω).x)

.dω

La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposera que la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ω

_m

du paquet.

On notera v

_g

la vitesse de groupe correspondante.

On trouve :

ψ(x, t) = A

₀

.sinc ∆ω

2

t − x v

g

. cos (ω

_m

.t − k

_m

.x)

11.4.2) Paquet d'onde à spectre gaussien

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien : A(ω) = A

₀

√ 2.π.∆ω e

^{−(ω−ωm)22.∆ω2}

On donne :

Z

∞

−∞

e

^{−α2.x2+j.β.x}

.dx =

√ π α e

^{− β}

2 4.α2

pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre −

^π₄

et +

^π₄

.

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'une superposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = Re

Z

ω=∞

ω=0

A(ω).e

j.(ω.t−k(ω).x)

.dω

La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposera que la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ω

m

du paquet.

On notera v

_g

la vitesse de groupe correspondante.

On trouve :

ψ(x, t) = A

₀

.e

⁻

(∆ω)2 2

t−_vg^x2

. cos (ω

_m

.t − k

_m

.x)

11.4.3) Interférence d'un paquet d'onde

On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω , faible devant la pulsation moyenne ω

m

du paquet.

1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant : ψ(x, t) =

n=+^N−1₂

X

n=−^N−1₂

A

0

. cos (ω

n

.t − k

n

.x)

où ω

_n

= ω

_m

+

_Nⁿ

∆ω . On supposera pour simplier les calculs que N est impair.

2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bouées d'ondes de ce paquet ? Commenter sa dépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω .

1) On peut changer ψ(x, t) en : ψ(x, t) = A

0

. Re



e

^{j.(ωm.t−km.x)}

n=+^N−1₂

X

n=−^N−1₂

e

^j.

n N∆ω.

t−_vg^x





Il s'agit ensuite de calculer la série géométrique. On trouve pour nir : ψ(x, t) = A

0

.

sin h

∆ω 2

t −

_v^x

g

i

sin h

∆ω 2.N

t −

_v^x

g

i . cos (ω

m

.t − k

m

.x)

2) On peut associer à chaque " bouée " du paquet d'ondes une durée

∆t ≈ 1

∆ω d'autant plus courte que la largeur spectrale est étendue.

11.4.4) Vitesses de phase et de groupe

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variable la longueur d'onde λ :

v

g

= v

φ

− λ dv

φ

dλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.k

^α

où A et α sont indépendants de k . Exprimer la vitesse de groupe en fonction de v

_φ

et α .

1) On peut écrire

v

_g

= d(v

_φ

.k)

dk = v

_φ

+ k dv

_φ

dk = v

_φ

+ k dλ dk

dv

_φ

dλ qui donne la formule de Rayleigh car λ =

^2.π_k

, d'où k

^dλ_dk

= k

^−2.π_k2

= −λ .

2) On peut faire la dérivée logarithmique de la relation de dispersion, et on trouve : v

g

= α.v

φ

V- Discontinuité à une interface

Expliciter des conditions aux limites à une interface.

Établir les expressions des coecients de transmission et de réexion.

Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.

ce qu'il faut savoir faire ^capacités

Il s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmise et rééchie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître les

G) Coecients de transmission et de réexion méthode

coecients de transmission et réexion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permet de déterminer les coecients.

Les conditions de continuité à l'interface sont : - la continuité de la déformation y y = y

₀⁻

, t

= y y = y

₀⁺

, t

∀t ; - la continuité de la force T

_y

y = y

₀⁻

, t

= T

_y

y = y

⁺₀

, t

∀t .

H) Transmission et de réexion pour une onde mécanique sur une corde méthode

11.5.1) Coecients de réexion au bout d'un câble coaxial

On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Z

_c

, pour x < x

₀

. Le câble se termine sur une impédance Z ˜ en x = x

₀

.

1) Déterminer les coecients de réexion en amplitude pour la tension et l'intensité.

2) En déduire le coecient de réexion en énergie.

1) En x = x

0

, le câble se termine sur une impédance Z ˜ . Cette impédance impose comme condition à la limite

V ˜ (x

₀

, t) = ˜ Z. I(x ˜

₀

, t) ∀t Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que se superposent

• une onde incidente qui se propage vers les x croissants : V ˜

_i

= Z

_c

. I ˜

_i

;

• une onde rééchie qui se propage vers les x décroissants : V ˜

_r

= −Z

c

. I ˜

_r

. L'onde dans le câble (pour x < x

0

), est

( I ˜ = ˜ I

_i

+ ˜ I

_r

V ˜ = ˜ V

i

+ ˜ V

r

= Z

c

.

I ˜

i

− I ˜

r

Donc, en x

0

, ∀t ,

Z

c

. I ˜

i

− I ˜

r

= ˜ Z.

I ˜

i

+ ˜ I

r

En x

0

, ∀t ,

I ˜

_i

.

Z

_c

− Z ˜

= ˜ I

_r

.

Z

_c

+ ˜ Z Il vient d'après la condition à la limite précédemment énoncée

r

I

= Z

c

− Z ˜

Z

c

+ ˜ Z et r

V

=

Z ˜ − Z

c

Z

c

+ ˜ Z = −r

I

2) Aussi,

R =

−Z

_c

. I ˜

_r²

Z

_c

. I ˜

_i²

=

I ˜

_r²

I ˜

_i²

=

V ˜

_r²

V ˜

_i²

ce qui permet de conclure

R = |r

V

|

²

= |r

I

|

²

=

Z ˜ − Z

_c

2

Z

c

+ ˜ Z

2

11.5.2) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x

0

:

• pour x < x

₀

, l'impédance est Z

_c1

;

• pour x > x

₀

, l'impédance est Z

_c2

.

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.

2) En déduire les coecients de réexion et transmission en énergie.

1) En x = x

0

, il y a continuité de l'intensité et de la tension à la limite : V ˜ (x

⁻₀

, t) = ˜ V (x

⁺₀

, t) et I(x ˜

⁻₀

, t) = ˜ I(x

⁺₀

, t) ∀t Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x

0

) vers les x croissants : V ˜

i

= Z

c₁

. I ˜

i

;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x

0

) vers les x décroissants : V ˜

r

= −Z

c₁

. I ˜

r

.

• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x

0

) vers les x croissants : V ˜

t

= Z

c₂

. I ˜

t

. L'onde dans le premier câble (pour x < x

0

), est

( I ˜ = ˜ I

i

+ ˜ I

r

V ˜ = ˜ V

_i

+ ˜ V

_r

= Z

_c1

.

I ˜

_i

− I ˜

_r

En x

0

, ∀t ,







V ˜

i

+ ˜ V

r

= ˜ V

t

⇒ Z

c1

. I ˜

i

− I ˜

r

= Z

c2

I ˜

t

I ˜

_i

+ ˜ I

_r

= ˜ I

_t

⇒

_Z¹

c1

V ˜

_i

− V ˜

_r

=

_Z¹

c2

V ˜

_t

On peut réécrire les conditions à la limite de la façon suivante



 

 

 

 

1 + r

I

= t

I

1 − r

I

=

^Z_Z^c2

c1

t

I

1 + r

V

= t

V

1 − r

V

=

^Z_Z^c1

c2

t

V

soit (

r

_I

=

^Z_Z^c1−Zc2

c1+Zc2

= −r

_V

t

I

=

_Z^2.Zc1

c1+Z_c2

=

^Z_Z^c1

c2

t

V

2) Du coup,



 

 

R = |r

_V

.r

_I

| = (

^Zc1−Zc2

)

²

(

^Zc1+Zc2

)

²

T = |t

V

.t

I

| =

^4.Zc1.Zc2

(

^Zc1+Z_c2

)

²

11.5.3) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux cordes

On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ

1

(si x < 0 ) et µ

2

(si x > 0 ), la tension étant toujours T

0

; le n÷ud en x = 0 est sans masse.

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude.

2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coecient α = q

_µ

2

µ₁

. 1) On écrit

• la continuité de la déformation en x = 0 : y (x = 0

⁻

, t) = y (x = 0

⁺

, t) ∀t ;

• la continuité des projections des tensions puisqu'il n'y a pas de masse discrète en x = 0 : T

y

(x = 0

⁻

, t) = T

y

(x = 0

⁺

, t) ∀t .

Or F

_y

= Z

_c

.v

_y

avec Z

_c

= √

µ.T

₀

. Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x

0

) vers les x croissants : T ˜

yi

= Z

_c1

.˜ v

_yi

= √

µ

₁

.T

₀

.j.ω.˜ y

_i

;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x

0

) vers les x décroissants : T ˜

yr

=

−Z

c1

.˜ v

yr

= − √

µ

1

.T

0

.j.ω. y ˜

r

.

• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x

0

) vers les x croissants : T ˜

y_t

= Z

c2

.˜ v

yt

= √

µ

2

.T

0

.j.ω.˜ y

t

.

Ainsi, la première relation donne : y ˜

i

+ ˜ y

r

= ˜ y

t

soit 1 + ˜ r = ˜ t . D'autre part, la seconde relation donne :

√ µ

1

− √

µ

1

r ˜ = √

µ

2

t ˜ . Ces deux conditions donnent : ( r ˜ =

√µ1−√ µ2

√µ1+√

µ2

=

^1−α_1+α

˜ t =

^2.

õ1

√µ₁+√

µ₂

=

_1+α²

2)

• α = 1 correspond à une seule corde de dimension innie, d'où r ˜ = 0 et ˜ t = 1 ;

• α = 0 correspond à une extrémité libre en x = 0 (attention l'onde transmise ne transporte pas d'énergie puisque la masse de la deuxième corde est nulle), d'où r ˜ = 1 et ˜ t = 0 ;

• α = ∞ correspond à un objet rigide en x = 0 , d'où ˜ r = −1 et t ˜ = 0 .

Les techniques mathématiques à connaître

Intégration d'équations aux dérivées partielles

Equation aux dérivées partielles

On cherche à déterminer une fonction ψ qui dépend de plusieurs variables et sur laquelle porte une équation aux dérivées partielles (EDP).

Exemples d'EDP :

• équation de D'alembert :

^∂_∂t^2ψ2

= c

^2∂_∂x^2ψ₂

;

• équation de diusion :

^∂ψ_∂t

= D

^∂_∂x^2ψ₂

;

• équation de Laplace :

^∂_∂x^2ψ2

+

^∂_∂y^2ψ2

+

^∂_∂z^2ψ2

= 0 . Méthode de la séparation des variables

La méthode de séparation des variables consiste à poser ψ (x, t) = f (x) g(t) et à remplacer dans l'EDP, pour voir si on arrive à obtenir des équations diérentielles sur f (x) et sur g(t) indépendamment.

Exemple pour l'équation de D'alembert :

∂

²

ψ

∂t

²

= c

²

∂

²

ψ

∂x

²

⇒ f(x) d

²

g

dt

²

= c

²

d

²

f

dx

²

g(t) ⇒ g”(t)

g(t) = c

²

f ”(x) f (x)

Comme le membre de gauche ne dépend que de t et le membre de droite que de x on en déduit qu'ils sont constants, c'est-à-dire qu'il existe K ∈ R tel que :

g”(t) − K g(t) = 0 et f ”(x) − K

c

²

f (x) = 0 On a ainsi obtenu deux équations à variables séparées...

Méthode des complexes

La méthode des complexes consiste à poser ψ (x, t) = Re ψ ˜

(x, t) avec ψ ˜ (x, t) = ˜ A e

^−j

(

^{ω t−˜k x}

) et à remplacer dans l'EDP (uniquement si elle est linéaire).

Cela mène à une équation reliant k ˜ à ω (relation de dispersion). Il s'agit ensuite de résoudre cette équation, en posant k ˜ = k

r

+ j k

i

(où k

r

= Re

k ˜

et k

i

= Im

˜ k ).

Il faut ensuite exprimer ψ ˜ (x, t) puis ψ = Re ψ ˜

. Exemple pour l'équation de diusion :

∂ψ

∂t = D ∂

²

ψ

∂x

²

⇒ ∂ ψ ˜

∂t = D ∂

²

ψ ˜

∂x

²

⇒ −j ω = −D ˜ k

²

On pose donc k ˜ = k

r

+ j k

i

, qui donne dans la relation de dispersion : j ω = D k

²_r

− k

²_i

+ 2 j k

r

k

i

c'est-à-dire deux équations réelles :

k

_r²

= k

_i²

et k

r

k

i

= ω

2 D

Etc...

Programmation en python

exo 11.2) Superpositions d'OPPM

1) Réaliser un programme qui permette de visualiser l'évolution dans le temps

1.a) d'une OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu non dispersif

1.b) d'une OPPM de même amplitude qui se propage vers les x décroissants dans le même milieu 1.c) de la superposition des deux, soit d'une OPSM,

1.d) d'un paquet d'OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu non dispersif

1.e) d'un paquet d'OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu dispersif et absorbant.